Eigen3でクォータニオンをAngleAxisに変換する際の数値的安定性について

2025-04-26

このコンストラクタは、クォータニオン(q)を引数として受け取り、そのクォータニオンが表す回転を軸と角度の形式に変換します。変換された軸と角度は、AngleAxisオブジェクトのメンバ変数に格納されます。

詳細

- まず、入力されたクォータニオンqが正規化されていることを確認します。正規化されていない場合は、正規化を行います。正規化は、クォータニオンの長さを1にすることです。
- クォータニオンの正規化は、回転を表す上で重要です。正規化されていないクォータニオンは、スケール変換と回転の両方を表す可能性があるため、回転のみを抽出するために正規化が必要です。
角度の計算
- クォータニオンの虚部と実部から回転角度を計算します。
- クォータニオンは、以下の形式で表されます。
  - q=w+xi+yj+zk
  - ここで、wは実部、x,y,zは虚部です。
- 回転角度θは、以下の式で計算されます。
  - θ=2arccos(w)
軸の計算
- クォータニオンの虚部から回転軸を計算します。
- 回転軸の単位ベクトルは、以下の式で計算されます。
  - axis=x2+y2+z2(x,y,z)
- ただし、θ=0 (つまり、回転がない場合) は、軸は任意になります。Eigen3では(1,0,0)が選択されます。
AngleAxisオブジェクトの構築
- 計算された角度θと軸axisを使用して、AngleAxisオブジェクトを構築します。
- このオブジェクトは、回転を軸と角度の形式で格納します。

コード例

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    Eigen::Quaterniond q(0.7071, 0, 0.7071, 0); // 回転を表すクォータニオン

    Eigen::AngleAxisd angleAxis(q); // クォータニオンからAngleAxisを生成

    std::cout << "Angle: " << angleAxis.angle() << std::endl; // 回転角度を出力
    std::cout << "Axis: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl; // 回転軸を出力

    return 0;
}

一般的なエラーとトラブルシューティング

- エラー
  入力されたクォータニオンqが正規化されていない場合、期待しない結果が生じることがあります。
- トラブルシューティング
  - クォータニオンを正規化してからAngleAxisコンストラクタに渡すようにしてください。q.normalize()を使用できます。
  - クォータニオンが正規化されているか確認するために、q.norm()をチェックしてください。結果が1に近い値になっているべきです。
  - クォータニオンの生成元を確認し、生成過程で正規化されているか確認してください。
ゼロクォータニオン
- エラー
  クォータニオンがゼロベクトルである場合、AngleAxisの軸が不定になります。Eigen3では(1,0,0)が選択されます。
- トラブルシューティング
  - クォータニオンがゼロベクトルにならないように、入力データをチェックしてください。
  - ゼロクォータニオンが入力された場合に、特別な処理を行う必要があります。例えば、単位クォータニオンを生成する、エラー処理を行う等。
数値的な不安定性
- エラー
  クォータニオンがほぼ単位クォータニオンである場合、arccos()の計算で数値的な不安定性が生じることがあります。
- トラブルシューティング
  - arccos()の入力値が範囲[-1, 1]内であることを確認してください。
  - クォータニオンがほぼ単位クォータニオンである場合、回転角度が非常に小さくなります。このような場合、軸の方向が不安定になることがあります。
  - 場合によっては、クォータニオンから回転行列に変換し、回転行列からAngleAxisを生成する方が安定することがあります。Eigen::Matrix3d rotationMatrix = q.toRotationMatrix(); Eigen::AngleAxisd angleAxis(rotationMatrix);
型の不一致
- エラー
  QuaternionBase< QuatDerived >のテンプレート型QuatDerivedが期待される型と一致しない場合、コンパイルエラーが発生します。
- トラブルシューティング
  - クォータニオンの型がEigen::QuaterniondやEigen::Quaternionfなど、期待される型であることを確認してください。
  - テンプレート型が適切に指定されているか確認してください。
回転方向の曖昧さ
- エラー
  クォータニオンが180度の回転を表す場合、軸の方向が逆になる可能性があります。
- トラブルシューティング
  - 回転方向が重要な場合は、クォータニオンの生成方法と回転の解釈を慎重に検討してください。
  - 必要に応じて、回転方向を明示的に指定できる他の回転表現（回転行列など）を使用してください。

デバッグのヒント

問題が解決しない場合は、Eigen3のドキュメントやコミュニティフォーラムを参照してください。
assertを使用して、クォータニオンが正規化されているか、ゼロベクトルでないかなどをチェックしてください。
Eigen::Matrix3dに変換して、回転行列を確認してください。
std::coutを使用して、クォータニオンの値、角度、軸をデバッグ出力してください。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    // クォータニオンを生成（例：Z軸周りに90度回転）
    Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));

    // クォータニオンからAngleAxisを生成
    Eigen::AngleAxisd angleAxis(q);

    // 角度と軸を出力
    std::cout << "角度: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
    std::cout << "軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

    // AngleAxisからクォータニオンに戻す
    Eigen::Quaterniond q2(angleAxis);

    // 戻したクォータニオンを出力
    std::cout << "戻したクォータニオン: " << q2.coeffs().transpose() << std::endl;

    return 0;
}

説明

クォータニオンqを生成します。ここでは、Z軸周りに90度回転するクォータニオンをEigen::AngleAxisdを使用して生成しています。
Eigen::AngleAxisd angleAxis(q);によって、生成したクォータニオンqからAngleAxisオブジェクトangleAxisを生成します。
angleAxis.angle()で回転角度（ラジアン）、angleAxis.axis()で回転軸の単位ベクトルを取得し、出力します。
Eigen::Quaterniond q2(angleAxis);によって、AngleAxisオブジェクトangleAxisからクォータニオンq2を生成します。
生成したクォータニオンq2を出力します。q2.coeffs()はクォータニオンの係数(x,y,z,w)をEigenのベクトルとして返します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    // 非正規化クォータニオンを生成
    Eigen::Quaterniond q(1.0, 2.0, 3.0, 4.0);

    // 正規化
    q.normalize();

    // AngleAxisを生成
    Eigen::AngleAxisd angleAxis(q);

    // 角度と軸を出力
    std::cout << "角度: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
    std::cout << "軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

    return 0;
}

説明

非正規化クォータニオンqを生成します。
q.normalize();によって、クォータニオンqを正規化します。
正規化されたクォータニオンqからAngleAxisオブジェクトangleAxisを生成します。
角度と軸を出力します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    // ゼロクォータニオンを生成
    Eigen::Quaterniond q(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);

    // ゼロクォータニオンをチェック
    if (q.norm() == 0.0) {
        std::cout << "ゼロクォータニオンが入力されました。" << std::endl;
        // 単位クォータニオンで初期化するか、エラー処理を行う
        q.coeffs() << 0,0,0,1; // 単位クォータニオンに置き換える例
    }

    // AngleAxisを生成
    Eigen::AngleAxisd angleAxis(q);

    // 角度と軸を出力
    std::cout << "角度: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
    std::cout << "軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

    return 0;
}

ゼロクォータニオンqを生成します。
q.norm() == 0.0でゼロクォータニオンかどうかチェックします。
ゼロクォータニオンの場合、エラーメッセージを出力し、単位クォータニオンで初期化します。
AngleAxisオブジェクトangleAxisを生成し、角度と軸を出力します。

代替方法1: 回転行列からのAngleAxis生成

クォータニオンから直接AngleAxisを生成する代わりに、回転行列を経由する方法があります。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    // クォータニオンを生成
    Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitY()));

    // クォータニオンから回転行列を生成
    Eigen::Matrix3d rotationMatrix = q.toRotationMatrix();

    // 回転行列からAngleAxisを生成
    Eigen::AngleAxisd angleAxis(rotationMatrix);

    // 角度と軸を出力
    std::cout << "角度: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
    std::cout << "軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

    return 0;
}

説明

クォータニオンqを生成します。
q.toRotationMatrix()によって、クォータニオンqから回転行列rotationMatrixを生成します。
Eigen::AngleAxisd angleAxis(rotationMatrix);によって、回転行列rotationMatrixからAngleAxisオブジェクトangleAxisを生成します。
角度と軸を出力します。

利点

回転行列を扱う必要がある場合に、変換のステップを減らすことができます。
クォータニオンから直接AngleAxisを生成するよりも、数値的に安定する場合があります。特に、クォータニオンがほぼ単位クォータニオンである場合に有効です。

欠点

クォータニオンから回転行列への変換と、回転行列からAngleAxisへの変換の2つのステップが必要になるため、計算コストが若干高くなります。

代替方法2: 軸と角度から直接AngleAxis生成

クォータニオンを経由せずに、軸と角度を直接指定してAngleAxisを生成する方法があります。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
    // 回転軸と回転角度を指定
    Eigen::Vector3d axis(0, 1, 0); // Y軸
    double angle = M_PI / 3; // 60度

    // AngleAxisを生成
    Eigen::AngleAxisd angleAxis(angle, axis);

    // 角度と軸を出力
    std::cout << "角度: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
    std::cout << "軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

    // AngleAxisからクォータニオンを生成
    Eigen::Quaterniond q(angleAxis);

    //クォータニオンを出力
    std::cout << "クォータニオン: " << q.coeffs().transpose() << std::endl;

    return 0;
}

説明

回転軸axisと回転角度angleを直接指定します。
Eigen::AngleAxisd angleAxis(angle, axis);によって、指定された軸と角度からAngleAxisオブジェクトangleAxisを生成します。
角度と軸を出力します。
Eigen::Quaterniond q(angleAxis);によって、AngleAxisからクォータニオンを生成し、出力します。

利点

回転を直感的に表現できます。
軸と角度が直接的に分かっている場合に、クォータニオンを経由する必要がないため、効率的です。

欠点

クォータニオンを扱う必要がある場合に、変換のステップが必要になります。

代替方法3: クォータニオンの係数から直接AngleAxisを計算

クォータニオンの係数から直接AngleAxisの角度と軸を計算する方法もあります。これは、Eigen3の内部で行われている計算を直接行うため、Eigen3のバージョンに依存しない実装をすることができます。しかし、この方法は複雑になる可能性があり、Eigen3の内部実装が変更された場合にコードを修正する必要があるため、推奨されません。