Eigen3チュートリアル: AngleAxisクラスによる回転計算

2024-07-31

Eigen::AngleAxis とは？

Eigen::AngleAxis は、3次元空間における回転を、回転軸と回転角のペアで表現する Eigen ライブラリのクラスです。直感的に回転を理解し、操作できるため、ロボット工学やコンピュータグラフィックスなど、回転を扱う分野で広く利用されています。

operator* (const AngleAxis &other) const の意味

この関数は、2つの AngleAxis オブジェクトに対して掛け算を行う演算子オーバーロードです。具体的には、2つの回転を合成する ことを意味します。

const
この関数は、元のオブジェクトを変更しないことを保証する const 修飾子が付いています。
const AngleAxis &other
掛け算するもう一方の AngleAxis オブジェクトです。

動作原理

- まず、2つの AngleAxis が表す回転を、それぞれ回転行列に変換します。
- 2つの回転行列を掛け合わせることで、2つの回転を合成した新しい回転行列を得ます。
- 得られた新しい回転行列を、再び AngleAxis の形式に変換します。
返り値
- 合成された回転を表す新しい AngleAxis オブジェクトが返されます。

#include <Eigen/Geometry>

// 2つの回転を作成
Eigen::AngleAxisd rotation1(0.5, Eigen::Vector3d(1, 0, 0)); // x軸周りに45度回転
Eigen::AngleAxisd rotation2(0.25, Eigen::Vector3d(0, 1, 0)); // y軸周りに22.5度回転

// 2つの回転を合成
Eigen::AngleAxisd rotation_combined = rotation1 * rotation2;

// 合成された回転を表示
std::cout << rotation_combined.angle() << std::endl; // 回転角
std::cout << rotation_combined.axis() << std::endl; // 回転軸

Eigen::AngleAxis::operator* は、2つの回転を合成するための非常に便利な関数です。ロボットの姿勢制御や、3Dモデルの回転など、様々な場面で利用できます。

Eigen3 の AngleAxis::operator* を使用中に発生する可能性のあるエラーやトラブル、そしてそれらの解決策について、より詳細に解説していきます。

よくあるエラーとその原因

実行時エラー
- ゼロ除算
  回転軸がゼロベクトルの場合、ゼロ除算が発生し、エラーになります。回転軸は必ず非ゼロベクトルであることを確認してください。
- 数値オーバーフロー
  非常に大きな回転角や、数値的に不安定な状況では、数値オーバーフローが発生する可能性があります。
- 不正な入力値
  AngleAxis のコンストラクタに渡す回転角や回転軸の値が不正な場合、予期せぬ結果になります。
コンパイルエラー
- ヘッダーファイルのインクルード漏れ
```
#include <Eigen/Geometry>
```
  を必ずインクルードしてください。
- 名前空間の指定不足
```
Eigen::AngleAxisd rotation1(0.5, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
```
  のように、Eigen の名前空間を明示的に指定する必要があります。
- テンプレートパラメータの誤り
  AngleAxis のテンプレートパラメータは、使用する数値型 (float, double など) に合わせて指定してください。

基本的な回転合成

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 2つの回転を作成
  Eigen::AngleAxisd rotation1(0.5, Eigen::Vector3d(1, 0, 0)); // x軸周りに45度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation2(0.25, Eigen::Vector3d(0, 1, 0)); // y軸周りに22.5度回転

  // 2つの回転を合成
  Eigen::AngleAxisd rotation_combined = rotation1 * rotation2;

  // 合成された回転を表示
  std::cout << "Rotation angle: " << rotation_combined.angle() * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;
  std::cout << "Rotation axis: " << rotation_combined.axis().transpose() << std::endl;

  // 回転行列に変換して確認
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_combined.toRotationMatrix();
  std::cout << "Rotation matrix:\n" << rotation_matrix << std::endl;

  return 0;
}

ベクトルへの回転の適用

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転を作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(0.5, Eigen::Vector3d(0, 0, 1)); // z軸周りに45度回転

  // 回転させるベクトル
  Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);

  // 回転後のベクトル
  Eigen::Vector3d v_rotated = rotation * v;

  std::cout << "Rotated vector: " << v_rotated.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

連続した回転の合成

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 複数の回転を作成
  Eigen::AngleAxisd rotation1(0.2, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
  Eigen::AngleAxisd rotation2(0.3, Eigen::Vector3d(0, 1, 0));
  Eigen::AngleAxisd rotation3(0.1, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));

  // 連続して合成
  Eigen::AngleAxisd total_rotation = rotation1 * rotation2 * rotation3;

  // 結果を表示
  std::cout << "Total rotation angle: " << total_rotation.angle() * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;
  std::cout << "Total rotation axis: " << total_rotation.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

クォータニオンとの変換

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // AngleAxis から Quaternion へ
  Eigen::AngleAxisd rotation(0.5, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
  Eigen::Quaterniond quaternion = rotation;

  // Quaternion から AngleAxis へ
  Eigen::AngleAxisd rotation_back = quaternion;

  std::cout << "Quaternion: " << quaternion.coeffs().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Converted AngleAxis: " << rotation_back.angle() << ", " << rotation_back.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

クォータニオンとの変換
AngleAxis と Quaternion の間の変換を示します。
連続した回転の合成
複数の回転を連続して合成します。
ベクトルへの回転の適用
回転をベクトルに適用し、回転後のベクトルを表示します。
基本的な回転合成
2つの回転を合成し、結果を表示します。

ジンバルロック
オイラー角を用いた表現では、ジンバルロックが発生する可能性があります。クォータニオンはジンバルロックの問題を回避できます。
数値精度
浮動小数点演算のため、数値誤差が発生する可能性があります。
回転の順序
回転の合成は非可換です。回転の順序によって結果が異なります。

Eigen::AngleAxis::operator* は、2つの回転を合成する非常に便利な関数ですが、状況によっては、他の表現や手法を用いた方が効率的だったり、より直感的に理解できたりする場合があります。

回転行列を用いた合成

デメリット
- 計算量が多い場合がある。
- ギンバルロックの問題が発生する可能性がある。
メリット
- 線形代数の知識があれば、直感的に理解しやすい。
- 様々な線形変換との組み合わせが容易。

Eigen::Matrix3d rotation_matrix1 = rotation1.toRotationMatrix();
Eigen::Matrix3d rotation_matrix2 = rotation2.toRotationMatrix();
Eigen::Matrix3d combined_matrix = rotation_matrix1 * rotation_matrix2;
Eigen::AngleAxisd combined_rotation(combined_matrix);

クォータニオンを用いた合成

デメリット
- 直感的な理解が難しい場合がある。
メリット
- ギンバルロックの問題を回避できる。
- スムーズな補間が容易。
- 計算効率が良い場合がある。

Eigen::Quaterniond quaternion1(rotation1);
Eigen::Quaterniond quaternion2(rotation2);
Eigen::Quaterniond combined_quaternion = quaternion1 * quaternion2;
Eigen::AngleAxisd combined_rotation(combined_quaternion);

オイラー角を用いた合成

デメリット
- ギンバルロックの問題が発生しやすい。
- 表現範囲が制限される。
メリット
- 直感的に理解しやすい。

// オイラー角から回転行列に変換し、回転行列の積を求める
// ...

軸角表現以外の回転表現を用いる

軸角対
回転軸と回転角のペアを直接扱う。
Rodriguesの回転公式
回転軸と回転角から直接回転行列を計算する。

他の処理との連携
他のライブラリやツールとの連携を考慮する必要がある。
直感性
回転行列やオイラー角は、直感的に理解しやすい場合がある。
表現範囲
ギンバルロックを避けたい場合は、クォータニオンが適している。
計算効率
計算量が多い場合は、クォータニオンが有利な場合がある。

Eigen::AngleAxis::operator* は汎用的な方法ですが、状況に応じて最適な方法を選択することが重要です。

どの方法を選ぶべきか迷った場合は、以下の点を考慮してください。

実装の容易さ
既存のコードとの整合性や、開発者のスキルも考慮する。
数値精度
高い精度が要求される場合は、注意が必要。
回転の合成回数
少ない回数であれば、どの方法でも大きな差はない。

具体的な選択の例

姿勢制御
クォータニオンが利用されることが多い。
3Dグラフィックス
クォータニオンや回転行列が利用される。
ロボットアームのシミュレーション
クォータニオンが広く利用されている。

どのような性能が求められますか？（計算速度、精度など）
どのような回転表現をすでに使用していますか？
どのようなアプリケーションでEigenを使用していますか？