Eigen3 回転合成プログラミング：AngleAxis の代替手法と実装例

演算子の機能

Eigen::AngleAxis::operator* (const AngleAxis &other) const は、現在の AngleAxis オブジェクト（this）と、引数として与えられた other という別の AngleAxis オブジェクトの二つの回転を合成し、その結果の回転を新しい AngleAxis オブジェクトとして返します。

具体的な処理

1. 回転の合成
   内部的には、この演算子は二つの AngleAxis オブジェクトをそれぞれ回転行列に変換し、それらの回転行列を掛け合わせます。
2. 結果の AngleAxis への変換
   掛け合わせた回転行列を再び AngleAxis 表現に変換し、新しい AngleAxis オブジェクトとして返します。

数式での表現

現在の AngleAxis オブジェクトを A、引数の AngleAxis オブジェクトを B とします。それぞれの回転行列を RAと RBとすると、合成された回転行列 Rresultは次のようになります。

$$ R_{result} = R_A \cdot R_B $$

この Rresultを再び AngleAxis 表現に変換し、それが演算子の結果として返されます。

コード例

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ()); // Z軸周りに45度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX()); // X軸周りに90度回転

  Eigen::AngleAxisd combinedRotation = rotation1 * rotation2;

  std::cout << "Rotation 1: " << rotation1.angle() << " radians around " << rotation1.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Rotation 2: " << rotation2.angle() << " radians around " << rotation2.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Combined Rotation: " << combinedRotation.angle() << " radians around " << combinedRotation.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

• AngleAxis は回転をコンパクトに表現できますが、回転の合成は回転行列を経由して行われるため、計算コストがかかる場合があります。
• 回転の順序が重要です。rotation1 * rotation2 と rotation2 * rotation1 は異なる結果になります。

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一般的なエラーとトラブルシューティング

1. • エラー
     rotation1 * rotation2 と rotation2 * rotation1 は異なる結果になるため、回転の順序を間違えると意図しない回転が発生します。
   • トラブルシューティング
     目的の回転の順序をよく確認し、正しい順序で演算子を使用してください。回転の順序が逆転すると、結果が大きく変わることがあります。

2. 数値誤差の蓄積
   

   • エラー
     複数の回転を合成すると、浮動小数点演算の性質上、数値誤差が蓄積し、結果が正確でなくなることがあります。
   • トラブルシューティング
     
     • 回転の合成回数を最小限に抑えるように設計してください。
     • Eigen::Quaternion を使用して回転を表現し、必要に応じて AngleAxis に変換すると、数値誤差を軽減できる場合があります。クォータニオンは回転をより安定して表現できます。
     • 結果の AngleAxis オブジェクトを正規化することで、誤差を修正できる場合があります。

3. 想定外の回転軸
   

   • エラー
     回転の合成結果が、想定していた回転軸と異なる場合があります。
   • トラブルシューティング
     
     • 各回転の回転軸と角度を個別に確認し、合成結果がどのように変化するかを把握してください。
     • 回転を可視化するツール（例えば、OpenGLやUnity）を使用して、合成結果を視覚的に確認すると、問題の特定に役立ちます。

4. 初期化されていない AngleAxis オブジェクトの使用
   

   • エラー
     初期化されていない AngleAxis オブジェクトを演算子に渡すと、予期しない結果やクラッシュが発生することがあります。
   • トラブルシューティング
     AngleAxis オブジェクトを使用する前に、必ず適切な回転軸と角度で初期化してください。

5. コンパイルエラー（型不一致など）
   

   • エラー
     AngleAxis オブジェクトの型が一致しない場合や、必要なヘッダーファイルがインクルードされていない場合にコンパイルエラーが発生します。
   • トラブルシューティング
     
     • Eigen/Geometry ヘッダーファイルをインクルードしていることを確認してください。
     • AngleAxis オブジェクトの型（AngleAxisd、AngleAxisf など）が一致していることを確認してください。

6. 特殊な回転（180度回転など）
   

   • エラー
     180度回転などの特殊な回転を合成する場合、回転軸の表現が一意でなくなることがあります。
   • トラブルシューティング
     180度回転の合成結果を扱う場合は、回転軸の表現に注意し、必要に応じてクォータニオンを使用してください。

デバッグのヒント

• Eigen3のデバッグモードを有効にして、エラーメッセージや警告を確認してください。
• 回転行列に変換して、回転行列の積を計算し、AngleAxis の結果と比較してください。
• 各 AngleAxis オブジェクトの回転軸と角度をログ出力して、中間結果を確認してください。

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#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // Z軸周りに45度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  // X軸周りに90度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  // 回転の合成
  Eigen::AngleAxisd combinedRotation = rotation1 * rotation2;

  // 結果の表示
  std::cout << "Rotation 1: " << rotation1.angle() << " radians around " << rotation1.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Rotation 2: " << rotation2.angle() << " radians around " << rotation2.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Combined Rotation: " << combinedRotation.angle() << " radians around " << combinedRotation.axis().transpose() << std::endl;

  // 回転行列への変換とベクトルへの適用
  Eigen::Vector3d vec(1, 0, 0); // 初期ベクトル
  Eigen::Vector3d rotatedVec = combinedRotation * vec; // 回転適用
  std::cout << "Rotated Vector: " << rotatedVec.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

説明

• また、合成された回転をベクトルに適用し、回転後のベクトルを表示しています。
• combinedRotation.angle() と combinedRotation.axis() で、合成された回転の角度と軸を取得し、表示します。
• rotation1 * rotation2 で二つの回転を合成し、combinedRotation に結果を格納します。
• このコードでは、Z軸周りの45度の回転とX軸周りの90度の回転を合成し、その結果を表示します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  Eigen::AngleAxisd combinedRotation12 = rotation1 * rotation2;
  Eigen::AngleAxisd combinedRotation21 = rotation2 * rotation1;

  std::cout << "Rotation 1 * Rotation 2: " << combinedRotation12.angle() << " radians around " << combinedRotation12.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Rotation 2 * Rotation 1: " << combinedRotation21.angle() << " radians around " << combinedRotation21.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

説明

• rotation1 * rotation2 と rotation2 * rotation1 の結果をそれぞれ表示し、順序が重要であることを確認します。
• このコードでは、回転の順序を入れ替えて合成し、結果が異なることを示します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  Eigen::AngleAxisd combinedRotation = rotation1 * rotation2;

  // AngleAxisからQuaternionへの変換
  Eigen::Quaterniond quaternion1(rotation1);
  Eigen::Quaterniond quaternion2(rotation2);
  Eigen::Quaterniond combinedQuaternion = quaternion1 * quaternion2;

  // QuaternionからAngleAxisへの変換
  Eigen::AngleAxisd combinedRotationFromQuaternion(combinedQuaternion);

  std::cout << "Combined Rotation (AngleAxis): " << combinedRotation.angle() << " radians around " << combinedRotation.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "Combined Rotation (Quaternion to AngleAxis): " << combinedRotationFromQuaternion.angle() << " radians around " << combinedRotationFromQuaternion.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

• Quaternion を利用することで、数値誤差を軽減できる場合があります。
• Eigen::AngleAxisd(combinedQuaternion) で Quaternion を AngleAxis に変換します。
• quaternion1 * quaternion2 で Quaternion を合成します。
• Eigen::Quaterniond(rotation) で AngleAxis を Quaternion に変換します。
• このコードでは、AngleAxis を Quaternion に変換し、回転を合成し、再び AngleAxis に変換して結果を比較します。

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クォータニオン (Quaternion) を使用する方法

クォータニオンは、回転を表現するための別の方法であり、AngleAxis よりも数値的に安定しているため、複数の回転を合成する場合に推奨されます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  // AngleAxis から Quaternion への変換
  Eigen::Quaterniond quaternion1(rotation1);
  Eigen::Quaterniond quaternion2(rotation2);

  // Quaternion を使用して回転を合成
  Eigen::Quaterniond combinedQuaternion = quaternion1 * quaternion2;

  // Quaternion から AngleAxis への変換 (必要に応じて)
  Eigen::AngleAxisd combinedRotation(combinedQuaternion);

  std::cout << "Combined Rotation (Quaternion to AngleAxis): " << combinedRotation.angle() << " radians around " << combinedRotation.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

利点

• 回転の補間 (slerp) が容易。
• 数値的に安定しており、複数の回転を合成する際に誤差が蓄積しにくい。

回転行列 (Rotation Matrix) を使用する方法

AngleAxis を回転行列に変換し、回転行列を掛け合わせることで回転を合成できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  // AngleAxis から回転行列への変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix1 = rotation1.toRotationMatrix();
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix2 = rotation2.toRotationMatrix();

  // 回転行列を掛け合わせる
  Eigen::Matrix3d combinedRotationMatrix = rotationMatrix1 * rotationMatrix2;

  // 回転行列から AngleAxis への変換 (必要に応じて)
  Eigen::AngleAxisd combinedRotation(combinedRotationMatrix);

  std::cout << "Combined Rotation (Rotation Matrix to AngleAxis): " << combinedRotation.angle() << " radians around " << combinedRotation.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

利点

• 回転行列は、回転を直接表現するため、理解しやすい場合があります。

欠点

• 数値誤差が蓄積しやすい場合があります。
• 回転行列は、クォータニオンよりも多くのメモリを使用します。

複数の AngleAxis を直接合成せず、個別に回転を適用する方法

複数の AngleAxis を合成する代わりに、各 AngleAxis をベクトルに個別に適用することができます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitX());

  Eigen::Vector3d vec(1, 0, 0);

  // 個別に回転を適用
  Eigen::Vector3d rotatedVec = rotation2 * (rotation1 * vec);

  std::cout << "Rotated Vector: " << rotatedVec.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

利点

• 回転の合成を明示的に行う必要がないため、コードが簡潔になる場合があります。

欠点

• 複数の回転を一つの AngleAxis オブジェクトとして扱うことができないため、回転の状態を保持するのが難しい場合があります。

• 複数の回転をベクトルに個別に適用するだけで十分な場合は、個別に回転を適用する方法を使用します。
• 回転行列を使用して回転を直接操作する必要がある場合は、回転行列を使用します。
• 複数の回転を合成し、その結果を AngleAxis として保持する必要がある場合は、クォータニオンを使用するのが推奨されます。