Eigen3 AngleAxis(MatrixBase) サンプルコード集！回転処理をマスターする

2025-04-07

出力
AngleAxisオブジェクト。このオブジェクトは、回転軸（単位ベクトル）と回転角（ラジアン）を格納します。
入力
const MatrixBase< Derived > &m - 回転を表す3x3の行列です。
目的
回転行列を回転軸と回転角の表現に変換します。

詳細

回転行列の検証
- コンストラクタは、与えられた行列mが有効な回転行列であるかどうかをチェックします。有効な回転行列は、直交行列であり、行列式が1である必要があります。
- 行列が有効な回転行列でない場合、結果は未定義になります。
回転軸と回転角の計算
- 回転行列から回転軸と回転角を計算します。
- 回転角は、回転行列のトレース（対角成分の合計）を使用して計算できます。
  - $$ \theta = \arccos\left(\frac{trace(m) - 1}{2}\right) $$
  - ここで、θは回転角、trace(m)は行列mのトレースです。
- 回転軸は、回転行列の反対称部分を使用して計算できます。
  - 反対称部分を計算し、回転角を使用して正規化します。
- もし回転角が0に非常に近い場合、回転軸は未定義になります。この場合、Eigenはデフォルトで(1,0,0)を回転軸として設定します。
AngleAxisオブジェクトの構築
- 計算された回転軸と回転角を使用してAngleAxisオブジェクトを構築します。

コード例（C++）

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix;
  // ここでrotationMatrixに回転行列を設定します。
  // 例: 45度回転する行列を設定
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ());
  rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(rotationMatrix);

  std::cout << "Rotation Angle: " << angleAxisFromMatrix.angle() << std::endl;
  std::cout << "Rotation Axis: " << angleAxisFromMatrix.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

Eigen::AngleAxis::AngleAxis (const MatrixBase< Derived > &m)コンストラクタは、3x3の回転行列を受け取り、その回転を回転軸と回転角の形式に変換します。この変換により、回転をより直感的に扱うことができます。回転角は行列のトレースから計算され、回転軸は行列の反対称部分から計算されます。

一般的なエラーとトラブルシューティング

- エラー
  Assertion failedのようなエラーが発生したり、予期しない結果（NaNや非常に大きな値）が出力されたりします。
- 原因
  - 与えられた行列が3x3の回転行列ではない（例えば、スケール変換やせん断変換を含む）。
  - 行列が直交行列でない（行ベクトルまたは列ベクトルが単位ベクトルでなく、互いに直交していない）。
  - 行列の行列式が1でない（回転行列の行列式は常に1であるべき）。
- トラブルシューティング
  - 行列が正しい形式であることを確認してください。
  - 行列が直交行列であるかチェックしてください。m.transpose() * mが単位行列に非常に近いことを確認します。
  - 行列の行列式が1であるかチェックしてください。m.determinant()の値が1に近いことを確認します。
  - 行列の成分が浮動小数点数演算の誤差によって、完全に直交行列にならない場合、正規化処理を施すと良いでしょう。
回転角が非常に小さい（または0）
- エラー
  回転軸が未定義になるか、予期しない値（例えば、(1, 0, 0)）になることがあります。
- 原因
  回転角が非常に小さいため、回転軸の計算が不安定になることがあります。
- トラブルシューティング
  - 回転角が0に近い場合、回転軸の精度が低下することを理解してください。
  - 回転角が0の場合、回転軸は任意になります。Eigenはデフォルトで(1, 0, 0)を選択します。
  - 特定の回転軸が必要な場合は、回転角が極めて小さい場合に、回転軸を自分で定義する処理を実装します。
浮動小数点数の精度の問題
- エラー
  わずかな誤差が累積し、回転軸や回転角の計算結果が予期しないものになることがあります。
- 原因
  浮動小数点数の演算は、丸め誤差の影響を受けやすいです。
- トラブルシューティング
  - Eigen::NumTraits<Scalar>::epsilon()を使用して、浮動小数点数の許容誤差を考慮してください。
  - 必要に応じて、行列を正規化したり、計算結果を丸めたりします。
  - より高精度の浮動小数点型（doubleなど）を使用することも検討してください。
行列の型の不一致
- エラー
  コンパイルエラーが発生することがあります。
- 原因
  テンプレートパラメータDerivedが、MatrixBaseと互換性のない型である可能性があります。
- トラブルシューティング
  - 行列の型がEigen::Matrix3fまたはEigen::Matrix3dであることを確認してください。
  - MatrixBaseのテンプレートパラメータが正しい型であることを確認してください。
回転行列の符号の間違い
- エラー
  回転方向が逆になるなど、予期しない回転が発生します。
- 原因
  回転行列の符号が間違っている可能性があります。
- トラブルシューティング
  - 回転行列の符号を慎重に確認してください。
  - 回転行列を生成する際の計算を確認してください。

トラブルシューティングの一般的な手順

入力行列の確認
入力行列が有効な回転行列であることを確認します。
出力値の確認
回転軸と回転角の出力値を注意深く確認し、予期しない値がないか確認します。
デバッグ
デバッガを使用して、計算過程をステップごとに確認します。
テストケースの作成
さまざまな回転行列に対してテストケースを作成し、結果を確認します。
Eigenのドキュメントとコミュニティ
Eigenのドキュメントやオンラインコミュニティを参照して、同様の問題が発生していないか確認します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 45度Z軸回転の回転行列を作成
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ());
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  // 回転行列からAngleAxisオブジェクトを構築
  Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(rotationMatrix);

  // 回転角と回転軸の情報を取得して表示
  std::cout << "回転角 (ラジアン): " << angleAxisFromMatrix.angle() << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << angleAxisFromMatrix.axis().transpose() << std::endl;

  // 回転軸を単位ベクトルとして表示
  std::cout << "正規化された回転軸: " << angleAxisFromMatrix.axis().normalized().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

説明

Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ());：Z軸周りに45度回転するAngleAxisオブジェクトを作成します。
Eigen::Matrix3f rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();：AngleAxisオブジェクトを回転行列に変換します。
Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(rotationMatrix);：回転行列からAngleAxisオブジェクトを構築します。
angleAxisFromMatrix.angle()：回転角（ラジアン）を取得します。
angleAxisFromMatrix.axis()：回転軸ベクトルを取得します。
angleAxisFromMatrix.axis().normalized() : 回転軸を正規化します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 有効でない回転行列（スケール変換を含む）
  Eigen::Matrix3f invalidRotationMatrix;
  invalidRotationMatrix << 2, 0, 0,
                               0, 1, 0,
                               0, 0, 1;

  // AngleAxisオブジェクトの構築を試みる
  Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(invalidRotationMatrix);

  // 結果の確認（通常、未定義または予期しない値になる）
  std::cout << "回転角 (ラジアン): " << angleAxisFromMatrix.angle() << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << angleAxisFromMatrix.axis().transpose() << std::endl;

  // 有効な回転行列であることを確認する処理を追加することが望ましい。
  return 0;
}

説明

Eigen::Matrix3f invalidRotationMatrix;：スケール変換を含む、有効でない回転行列を作成します。
Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(invalidRotationMatrix);：有効でない回転行列からAngleAxisオブジェクトを構築しようとします。
結果として、回転角や回転軸が未定義になるか、予期しない値になる可能性があります。
この例では、有効な回転行列であることを確認する処理を追加することが推奨されます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 非常に小さい回転角の回転行列を作成
  Eigen::AngleAxisf smallAngleAxis(1e-6, Eigen::Vector3f::UnitX());
  Eigen::Matrix3f smallRotationMatrix = smallAngleAxis.toRotationMatrix();

  // 回転行列からAngleAxisオブジェクトを構築
  Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(smallRotationMatrix);

  // 回転軸の情報を取得して表示
  std::cout << "回転軸: " << angleAxisFromMatrix.axis().transpose() << std::endl;

  // 回転角が非常に小さい場合、回転軸が不安定になる可能性がある。
  // 必要に応じて、回転角が小さい場合の処理を追加する。
  return 0;
}

Eigen::AngleAxisf smallAngleAxis(1e-6, Eigen::Vector3f::UnitX());：非常に小さい回転角（1e-6ラジアン）のAngleAxisオブジェクトを作成します。
Eigen::Matrix3f smallRotationMatrix = smallAngleAxis.toRotationMatrix();：AngleAxisオブジェクトを回転行列に変換します。
Eigen::AngleAxisf angleAxisFromMatrix(smallRotationMatrix);：回転行列からAngleAxisオブジェクトを構築します。
回転角が非常に小さい場合、回転軸の計算が不安定になる可能性があります。必要に応じて、回転角が小さい場合の処理を追加します。

四元数 (Quaternion) を使用する方法

欠点
四元数の概念を理解する必要があります。
利点
四元数は回転の表現として安定しており、ジンバルロックの問題を回避できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix;
  // 回転行列を設定
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 3, Eigen::Vector3f::UnitY());
  rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  // 回転行列を四元数に変換
  Eigen::Quaternionf quaternion(rotationMatrix);

  // 四元数から回転軸と回転角を抽出
  Eigen::Vector3f axis = quaternion.axis();
  float angle = quaternion.angle();

  std::cout << "回転角 (ラジアン): " << angle << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

回転行列の特定の要素から回転角を計算する方法

欠点
回転軸の導出が複雑になる場合があります。
利点
特定の回転軸に関する回転角を直接計算できる場合があります。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix;
  // 回転行列を設定
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 6, Eigen::Vector3f::UnitX());
  rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  // 回転角の計算 (例: X軸周りの回転)
  float angle = std::acos((rotationMatrix(1, 1) + rotationMatrix(2, 2) - 1) / 2);

  // 回転軸の計算 (例: X軸周りの回転)
  Eigen::Vector3f axis(1, 0, 0);

  std::cout << "回転角 (ラジアン): " << angle << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

回転ベクトル (Rotation Vector) を使用する方法

欠点
回転軸と回転角を個別に抽出するには変換が必要です。
利点
回転をコンパクトに表現できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix;
  // 回転行列を設定
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ());
  rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  // 回転行列を回転ベクトルに変換
  Eigen::Vector3f rotationVector;
  rotationVector = rotationMatrix.log();

  // 回転ベクトルから回転角と回転軸を計算
  float angle = rotationVector.norm();
  Eigen::Vector3f axis = rotationVector.normalized();

  std::cout << "回転角 (ラジアン): " << angle << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

回転行列のトレースと固有ベクトルを使用する方法

欠点
計算が複雑になる場合があります。
利点
数学的に厳密な方法です。

これらの代替メソッドは、特定の状況や要件に応じて選択できます。四元数は一般的な回転の表現として安定しており、回転ベクトルはコンパクトな表現を提供します。回転行列の特定の要素を使用する方法やトレースと固有ベクトルを使用する方法は、特定の回転軸に関する計算に適しています。