EigenのAngleAxisクラス：回転行列と回転軸・角の変換を深堀りする

2024-07-31

この演算子の役割

Eigen::AngleAxis クラスは、回転を表すためのクラスです。このクラスの operator= は、与えられた回転行列を AngleAxis の形式に変換する役割を持ちます。つまり、回転行列から回転軸と回転角を計算し、AngleAxis オブジェクトに設定します。

詳細な解説

const MatrixBase< Derived > &mat
- 右辺の引数で、代入される回転行列を表します。
- MatrixBase は、Eigen の行列の基底クラスで、様々な種類の行列を扱えるように汎用化されています。
- const は、この関数が引数を変更しないことを示します。
operator=
- 代入演算子です。
- 右辺の値を左辺に代入します。
Eigen::AngleAxis
- Eigen ライブラリで提供される回転を表すクラスです。
- 回転軸と回転角のペアで回転を表現します。

コード例

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 3x3の回転行列を作成
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  // ... (回転行列に値を設定)

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis;

  // 回転行列からAngleAxisに変換
  angleAxis = rotationMatrix;

  // 回転軸と回転角を取得
  Eigen::Vector3d axis = angleAxis.axis();
  double angle = angleAxis.angle();

  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;
  std::cout << "回転角: " << angle << std::endl;
}

何のために使うのか

他の幾何計算への利用
AngleAxis は、他の幾何計算（例えば、ベクトルの回転、座標系の変換など）を行う際に便利です。
回転行列から直感的な回転表現へ
回転行列は数学的には厳密ですが、回転軸と回転角という形で表現することで、回転をより直感的に理解しやすくなります。

数値誤差
数値計算には誤差が伴うため、非常に小さな回転角の場合、計算結果が不安定になる可能性があります。
回転行列の形式
代入される回転行列は、正しい回転行列である必要があります。そうでない場合、計算結果が不正になる可能性があります。

Eigen::AngleAxis::operator= は、回転行列から回転軸と回転角への変換を簡単に行うための便利な関数です。この機能を活用することで、回転に関する様々な計算をより効率的に行うことができます。

Eigen::AngleAxis::operator= を使用中に発生する可能性のあるエラーやトラブル、そしてそれらの解決策について、より詳細に解説します。

よくあるエラーとその原因

コンパイルエラー
- 原因
  - Eigen ライブラリのインクルード漏れ。
  - テンプレート引数の型が合わない。
- 解決策
  - Eigen ライブラリを正しくインクルードする。
  - テンプレート引数の型を、使用している行列の型と合わせる。
NaN（Not a Number）が発生
- 原因
  - 数値計算の誤差が大きくなり、結果が NaN になってしまう。
  - 非常に小さな回転角に対する計算の不安定性。
- 解決策
  - 数値精度を高める（double 型を使用するなど）。
  - 小さな回転角に対する特別な処理を検討する。
Assertion failure
- 原因
  - 与えられた行列が正則でない（逆行列が存在しない）。
  - 回転行列として正しい形式ではない。
- 解決策
  - 与える行列が正則行列であることを確認する。
  - 回転行列の定義（転置行列が逆行列に等しい）を満たしているか確認する。

トラブルシューティングの一般的な手順

エラーメッセージを読む
エラーメッセージには、問題が発生した箇所や原因に関する手がかりが記載されていることが多いです。
コードを確認する
- 与えている行列が正しいか。
- 型が一致しているか。
- 計算式に誤りはないか。
デバッグ出力
- 問題が発生している部分で、変数の値を出力して確認する。
- デバッガを使用して、プログラムの実行をステップ実行し、変数の変化を追跡する。
Eigen のドキュメントを参照する
- Eigen の公式ドキュメントには、各関数の詳細な説明や使用例が記載されています。
- 特に、MatrixBase クラスや AngleAxis クラスに関するドキュメントをよく読むと、より深い理解が得られます。

特異なケース
- 非常に小さな回転角や、特定の回転行列に対しては、数値的な問題が発生する可能性があります。このような特異なケースに対しては、特別な処理が必要になることがあります。
回転の表現
- 回転を表す方法は、回転行列以外にもオイラー角、クォータニオンなどがあります。それぞれの表現方法には、メリットとデメリットがあるので、目的に合わせて適切な表現方法を選択する必要があります。
数値精度
- 浮動小数点演算には誤差がつきものなので、数値精度に敏感な場合は、より高精度の数値型を使用したり、数値計算アルゴリズムを工夫したりする必要があります。

// 問題のある回転行列
Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
rotationMatrix << 1, 0, 0,
                  0, 1, 0,
                  0, 0, 1; // 単位行列

Eigen::AngleAxisd angleAxis = rotationMatrix; // この行でエラーが発生する可能性

この例では、単位行列を与えているため、回転軸と回転角が一意に定まりません。この場合、エラーが発生するか、不定な結果が得られる可能性があります。このようなケースでは、回転行列が単位行列であるかどうかを事前にチェックするなどの対策が必要です。

例えば、

どの部分で問題が発生していますか？
どのようなコードを実行していますか？
どんなエラーメッセージが出ていますか？

基本的な使い方

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 3x3の回転行列を作成
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  rotationMatrix << 0.5, -0.866, 0,
                    0.866,  0.5,   0,
                    0,      0,     1;  // Z軸周りに30度回転

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis;

  // 回転行列からAngleAxisに変換
  angleAxis = rotationMatrix;

  // 回転軸と回転角を取得
  Eigen::Vector3d axis = angleAxis.axis();
  double angle = angleAxis.angle();

  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;
  std::cout << "回転角: " << angle << std::endl;

  // AngleAxisから回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix2 = angleAxis.toRotationMatrix();

  // 元の回転行列と一致するか確認
  std::cout << "元の回転行列と一致: " << (rotationMatrix - rotationMatrix2).norm() << std::endl;
}

ベクトルへの回転の適用

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転行列を作成 (上記と同じ)
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  // ...

  // AngleAxisに変換
  Eigen::AngleAxisd angleAxis = rotationMatrix;

  // 回転させるベクトル
  Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);

  // 回転後のベクトル
  Eigen::Vector3d v_rotated = angleAxis * v;

  std::cout << "回転後のベクトル: " << v_rotated.transpose() << std::endl;
}

複数の回転の合成

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 2つの回転を作成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis1(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitX()); // X軸周りに45度回転
  Eigen::AngleAxisd angleAxis2(M_PI/3, Eigen::Vector3d::UnitZ()); // Z軸周りに60度回転

  // 2つの回転を合成
  Eigen::AngleAxisd angleAxisCombined = angleAxis2 * angleAxis1;

  // 合成された回転の回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = angleAxisCombined.toRotationMatrix();

  // ...
}

クォータニオンとの変換

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // AngleAxisからクォータニオンに変換
  Eigen::AngleAxisd angleAxis; // ...
  Eigen::Quaterniond quaternion = angleAxis;

  // クォータニオンからAngleAxisに変換
  Eigen::AngleAxisd angleAxis2 = quaternion;

  // ...
}

エラーハンドリングの例

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  // ...

  try {
    Eigen::AngleAxisd angleAxis = rotationMatrix;
  } catch (const std::exception& e) {
    std::cerr << "エラーが発生しました: " << e.what() << std::endl;
  }
}

エラーハンドリングの例
例外処理を用いて、エラーが発生した場合に適切な処理を行う方法を示しています。
クォータニオンとの変換
AngleAxis とクォータニオンの相互変換を示しています。
複数の回転の合成
複数の回転を合成する方法を示しています。回転の合成は、クォータニオンを用いるとより効率的に行える場合があります。
ベクトルへの回転の適用
AngleAxis を用いてベクトルを回転させる方法を示しています。
基本的な使い方
回転行列から AngleAxis へ、そして再び回転行列へ変換する基本的な流れを示しています。

特異なケース
非常に小さな回転角や、特定の回転行列に対しては、数値的な問題が発生する可能性があります。このような特異なケースに対しては、特別な処理が必要になることがあります。
回転の表現
回転を表す方法は、回転行列以外にもオイラー角、クォータニオンなどがあります。それぞれの表現方法には、メリットとデメリットがあるので、目的に合わせて適切な表現方法を選択する必要があります。
数値精度
浮動小数点演算には誤差が伴うため、数値精度が重要な場合は、より高精度の数値型を使用したり、数値計算アルゴリズムを工夫したりする必要があります。

Eigen::AngleAxis::operator= は、回転行列から回転軸と回転角への変換を行う便利なメソッドですが、必ずしもこれが唯一の選択肢というわけではありません。状況や目的に応じて、より適切な代替方法が存在します。

クォータニオンを用いた変換

方法
- 回転行列からクォータニオンに変換
- クォータニオンからAngleAxisに変換
デメリット
- 概念が少し複雑
メリット
- 球面線形補間 (Slerp) による滑らかな回転補間が可能
- Gimbal Lockの問題を回避できる
- よりコンパクトな表現

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  // ...

  // 回転行列からクォータニオンに変換
  Eigen::Quaterniond quaternion(rotationMatrix);

  // クォータニオンからAngleAxisに変換
  Eigen::AngleAxisd angleAxis(quaternion);
}

オイラー角を用いた変換

方法
- 回転行列からオイラー角に変換
- オイラー角から回転軸と回転角に変換
デメリット
- Gimbal Lockの問題が発生する可能性がある
- 複数の表現方法が存在し、注意が必要
メリット
- 直感的に理解しやすい

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  // ...

  // 回転行列からオイラー角に変換 (XYZオイラー角の例)
  Eigen::Vector3d eulerAngles = rotationMatrix.eulerAngles(2, 1, 0);

  // オイラー角から回転軸と回転角に変換 (ここでは省略)
  // ...
}

Rodriguesの回転公式を用いた変換

方法
- 回転行列から回転軸と回転角を直接計算
デメリット
- 実装がやや複雑
メリット
- 幾何学的な意味が分かりやすい

Eigenの他の関数を利用

例
- Eigen::Quaterniond::FromRotationMatrix など
デメリット
- 状況によって適切な関数を選ぶ必要がある
メリット
- Eigenが提供する他の便利な関数を利用できる

Eigenの機能を活用
Eigenの他の関数
幾何学的な意味
Rodriguesの回転公式
直感的な理解
オイラー角
滑らかな回転補間
クォータニオン

選択のポイント

実装の容易さ
どの程度複雑な実装でも良いか
計算コスト
計算速度は重要か
精度
どの程度の精度が必要か
問題設定
どのような問題を解きたいのか

Eigen::AngleAxis::operator= は汎用的な方法ですが、状況に応じてより適切な方法を選ぶことで、より効率的かつ正確な計算を行うことができます。各方法のメリットとデメリットを理解し、問題に合わせて最適な方法を選択することが重要です。

球面線形補間とは何か
Gimbal Lockとは何か
特定の状況でどの方法が最適か