C++で3D回転を扱う：EigenライブラリのAngleAxisクラス入門

2024-07-31

Eigen::AngleAxis とは？

Eigen::AngleAxis は、3次元回転を表現するための Eigen ライブラリ内のクラスです。回転軸と回転角のペアで回転を表します。

angle() メソッドは、Eigen::AngleAxis オブジェクトが表す回転の回転角を返す const メソッドです。つまり、このメソッドを呼び出しても、元のオブジェクトの状態は変化しません。

戻り値

double 型の値: 回転角 (ラジアン単位)

具体的な使い方

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main()
{
    // 回転軸 (任意の単位ベクトル)
    Eigen::Vector3d axis(1, 0, 0);

    // 回転角 (ラジアン)
    double angle = M_PI / 2; // 90度

    // Eigen::AngleAxis オブジェクトの作成
    Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

    // 回転角の取得
    double retrieved_angle = rotation.angle();

    std::cout << "Retrieved angle: " << retrieved_angle << " radians" << std::endl;
    return 0;
}

解説

回転軸と回転角の設定
- axis に回転軸となる単位ベクトルを、angle に回転角をラジアンで設定します。
Eigen::AngleAxis オブジェクトの作成
- rotation に、設定した回転軸と回転角を持つ Eigen::AngleAxis オブジェクトを作成します。
回転角の取得
- retrieved_angle に、rotation.angle() を呼び出して回転角を取得します。

他のメソッド
- Eigen::AngleAxis クラスには、回転行列への変換、クォータニオンへの変換など、様々なメソッドが用意されています。
ラジアン単位
- 戻り値はラジアン単位です。度に変換する場合は、π で割るなど適切な変換を行ってください。
const メソッド
- const が付いているため、このメソッドを呼び出しても元のオブジェクトの状態は変更されません。

Eigen::AngleAxis::angle() メソッドは、Eigen::AngleAxis オブジェクトが表す回転の回転角を簡単に取得できる便利なメソッドです。3次元回転の計算を行う際に、回転角を特定したい場合などに利用できます。

Eigen::AngleAxis::angle() を使用中に発生する可能性のあるエラーやトラブル、そしてそれらの解決策について解説します。

よくあるエラーとその原因

コンパイルエラー
- 原因
  - ヘッダーファイルのインクルード漏れ
  - 名前空間の指定ミス
  - テンプレート引数の誤り
- 解決策
  - 必要なヘッダーファイルをインクルードする。
  - 名前空間を正しく指定する。
  - テンプレート引数を適切に設定する。
不正な値
- 原因
  - 計算誤差により、非常に小さな値や大きな値が返されることがある。
  - 数値のオーバーフローやアンダーフローが発生している。
- 解決策
  - 許容誤差を設定し、数値の範囲をチェックする。
  - 高精度な数値計算ライブラリを使用する。
- 原因
  - 未初期化の Eigen::AngleAxis オブジェクトに対して angle() を呼び出している。
  - 無効なポインタが渡されている。
- 解決策
  - Eigen::AngleAxis オブジェクトを適切に初期化する。
  - ポインタの有効性を確認する。

トラブルシューティングのヒント

公式ドキュメント
- Eigen の公式ドキュメントを参照し、メソッドの仕様や使い方を正確に把握する。
簡略化
- 問題のコードをできるだけ簡略化し、最小限の再現コードを作成する。
デバッグ出力
- angle() の戻り値や、関連する変数の値をデバッグ出力して、問題箇所を特定する。

例1: セグメンテーションフォルト

Eigen::AngleAxisd rotation; // 未初期化
double angle = rotation.angle(); // セグメンテーションフォルトが発生する可能性

解決策

Eigen::Vector3d axis(1, 0, 0);
double angle = M_PI / 2;
Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis); // 正しく初期化
double retrieved_angle = rotation.angle();

例2: 不正な値

Eigen::AngleAxisd rotation(1e-10, Eigen::Vector3d::UnitX());
double angle = rotation.angle(); // 非常に小さな値が返される可能性

解決策

double tolerance = 1e-8;
if (angle < tolerance) {
    // 非常に小さな値の場合の処理
}

異なる回転表現
- Eigen::AngleAxis 以外にも、クォータニオンや回転行列など、様々な回転表現があります。それぞれの表現の特性を理解し、適切な表現を選択する必要があります。
数値の安定性
- 回転角が非常に小さい場合や、回転軸が数値的に不安定な場合、計算誤差が大きくなる可能性があります。

Eigen::AngleAxis::angle() を使用する際には、初期化、数値の範囲、コンパイル環境など、様々な要素に注意する必要があります。エラーが発生した場合は、デバッグ出力や簡略化など、段階的に問題の原因を特定していくことが重要です。

例えば、以下の情報があると、より詳細なサポートが可能です。

コンパイル環境
使用している Eigen のバージョン
関連するコードの抜粋
発生している具体的なエラーメッセージ

回転角の取得と表示

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸と回転角を設定
  Eigen::Vector3d axis(1, 2, 3);
  axis.normalize(); // 単位ベクトルに正規化
  double angle = M_PI / 3; // 60度

  // Eigen::AngleAxis オブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

  // 回転角を取得
  double retrieved_angle = rotation.angle();

  // ラジアンから度に変換して表示
  std::cout << "Retrieved angle: " << retrieved_angle * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、回転軸と回転角を設定し、Eigen::AngleAxis オブジェクトを作成します。その後、angle() メソッドで回転角を取得し、度に変換して表示します。

回転行列との比較

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // Eigen::AngleAxis オブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ());

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation.toRotationMatrix();

  // 回転行列から回転角を計算 (Rodrigues' rotation formula)
  Eigen::Vector3d axis;
  double angle;
  rotation_matrix.computeRotationAngleAndAxis(angle, axis);

  std::cout << "Angle from AngleAxis: " << rotation.angle() * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;
  std::cout << "Angle from rotation matrix: " << angle * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、Eigen::AngleAxis オブジェクトから回転行列に変換し、Rodrigues' rotation formula を用いて回転行列から回転角を計算します。両者の結果が一致することを確認できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 2つの回転を作成
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitX());
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 3, Eigen::Vector3d::UnitZ());

  // 2つの回転を合成
  Eigen::AngleAxisd total_rotation = rotation2 * rotation1;

  // 合成後の回転角を取得
  double total_angle = total_rotation.angle();

  std::cout << "Total angle: " << total_angle * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、2つの異なる回転を合成し、合成後の回転角を取得します。Eigen::AngleAxis は、* 演算子で回転の合成を行うことができます。

カメラの姿勢推定
カメラの画像から3次元空間内のカメラの姿勢を推定する際に使用されます。
ロボットの運動学
ロボットの関節の角度を計算し、エンドエフェクタの姿勢を計算する際に使用されます。
3Dモデルの回転
3Dモデルの各頂点に回転を適用することで、モデル全体を回転させることができます。

スプライン補間
複数の回転を滑らかに補間するために使用できます。
オイラー角との変換
オイラー角は直感的な回転表現ですが、ジンバルロック問題が発生する可能性があります。Eigen::AngleAxis は、ジンバルロック問題を回避することができます。
クォータニオンとの変換
Eigen::AngleAxis は、クォータニオンとの相互変換が可能です。

注意点

回転の順序
回転の合成は、一般に非可換です。回転の順序によって結果が異なります。
数値精度
非常に小さな回転角や、数値的に不安定な回転軸の場合、計算誤差が大きくなる可能性があります。

Eigen::AngleAxis::angle() メソッドは、回転軸と回転角で表現された回転の、回転角部分を取得するための便利なメソッドです。しかし、特定の状況下では、他の方法を用いる方がより効率的であったり、より柔軟に対応できたりすることがあります。

代替方法とその特徴

- メリット
  回転行列は、線形代数の一般的な表現であり、多くのライブラリでサポートされています。
- デメリット
  回転角を計算するために、Rodriguesの回転公式などの数値計算が必要になります。
- 方法
  - Eigen::AngleAxis オブジェクトから回転行列に変換します。
  - 変換された回転行列を用いて、Rodriguesの回転公式などを使って回転角を計算します。
クォータニオンからの計算
- メリット
  クォータニオンは、回転をコンパクトに表現でき、球面線形補間など、滑らかなアニメーションに適しています。
- デメリット
  クォータニオンから回転角を計算するためには、三角関数などを用いた計算が必要になります。
- 方法
  - Eigen::AngleAxis オブジェクトをクォータニオンに変換します。
  - 変換されたクォータニオンから、回転角を計算します。
オイラー角からの計算
- メリット
  オイラー角は、直感的に理解しやすい回転表現です。
- デメリット
  ジンバルロック問題が発生する可能性があり、数値的な不安定性がある場合があります。
- 方法
  - Eigen::AngleAxis オブジェクトをオイラー角に変換します。
  - 変換されたオイラー角から、必要な回転角を抽出します。

どの方法を選ぶべきか？

他の計算との連携
使用する他のライブラリやアルゴリズムとの連携性も考慮する必要があります。
直感性
オイラー角は、直感的に理解しやすいですが、ジンバルロック問題に注意が必要です。
表現の簡潔さ
クォータニオンは、回転をコンパクトに表現できます。
計算効率
回転行列からの計算は、一般的に高速です。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 4, Eigen::Vector3d::UnitZ());

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation.toRotationMatrix();

  // 回転行列から回転角を計算 (Rodrigues' rotation formula)
  Eigen::Vector3d axis;
  double angle;
  rotation_matrix.computeRotationAngleAndAxis(angle, axis);

  std::cout << "Angle from AngleAxis: " << rotation.angle() * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;
  std::cout << "Angle from rotation matrix: " << angle * 180 / M_PI << " degrees" << std::endl;

  return 0;
}

Eigen::AngleAxis::angle() メソッドは、回転角を取得する上で非常に便利な方法ですが、状況に応じて他の方法も検討する価値があります。どの方法を選ぶかは、計算効率、表現の簡潔さ、直感性、そして他の計算との連携性などを総合的に判断する必要があります。

どのようなプログラミング言語を使用していますか？
他のライブラリとの連携は必要ですか？
どのような精度が求められますか？
どのような計算を行いたいですか？ (例: 3Dモデルの回転、ロボットの運動学など)