Eigen::AngleAxis::angle() を使った3D回転の基礎解説

2024-07-31

Eigen::AngleAxisとは?

Eigen::AngleAxisは、3次元回転を軸と回転角のペアで表現するEigenライブラリのクラスです。これは、3Dグラフィックスやロボット工学など、回転を扱う様々な分野で非常に便利なツールです。

angle() 関数とは?

angle() 関数は、Eigen::AngleAxisオブジェクトが表す回転の回転角を返す関数です。

具体的な使い方

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main()
{
  // 回転軸を(1, 0, 0)とし、回転角を45度(ラジアン)とする回転を表すEigen::AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI/4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));

  // 回転角を取得
  double angle = rotation.angle();
  std::cout << "Rotation angle: " << angle << " rad" << std::endl;
}

解説

    • Eigen::AngleAxisdは、double型の要素を持つEigen::AngleAxisクラスのオブジェクトです。
    • コンストラクタに回転角(ラジアン)と回転軸を与えることで、回転を表すオブジェクトを作成します。
  1. rotation.angle()

    • 作成したrotationオブジェクトのangle()関数を呼び出すことで、回転角(ラジアン)を取得します。

出力

Rotation angle: 0.785398 rad
  • クォータニオンとの変換
    Eigen::AngleAxisは、クォータニオンに変換したり、クォータニオンから生成したりすることができます。
  • 複数の回転の合成
    複数のEigen::AngleAxisオブジェクトを合成して、一つの回転を表すことができます。
  • 回転行列との変換
    Eigen::AngleAxisは、回転行列に変換したり、回転行列から生成したりすることができます。

Eigen::AngleAxis::angle()関数は、Eigen::AngleAxisオブジェクトが表す回転の回転角を簡単に取得できる便利な関数です。3D回転を扱う際に、ぜひ活用してみてください。

  • オーバーロード
    angle()関数は、様々な型に対してオーバーロードされています。
  • 回転軸
    回転軸は、Eigen::Vector3d型で表されます。
  • 単位
    回転角はラジアンで表されます。度に変換する場合は、適切な定数をかける必要があります。


Eigen::AngleAxis::angle() 関数を使用する際に、様々なエラーやトラブルに遭遇する可能性があります。以下に、一般的なエラーとその解決策をいくつか紹介します。

コンパイルエラー

  • テンプレートパラメータの誤り
    • AngleAxisd のように、適切なテンプレートパラメータを指定しているか確認してください。
  • 名前空間の指定漏れ
    • Eigen 名前空間を使用していることを確認してください。
  • ヘッダーファイルのインクルード漏れ
    • Eigen/CoreEigen/Geometry の両方をインクルードしているか確認してください。

実行時エラー

  • ライブラリのリンクエラー
    • Eigenライブラリが正しくリンクされているか確認してください。
  • メモリ不足
    • 使用しているコンピュータのメモリ容量が不足している可能性があります。
  • 不正な入力
    • 回転角や回転軸にNaNや無限大などの不正な値が渡されていないか確認してください。

意図しない結果

  • 複数の回転の合成
    • 複数の回転を合成する際は、合成の順番に注意してください。一般に、回転の合成は非可換です。
  • 回転軸の正規化
    • 回転軸は単位ベクトルである必要があります。正規化されていない場合は、正規化してください。
  • 単位の誤り
    • 回転角はラジアンで指定する必要があります。度で指定している場合は、ラジアンに変換してください。

一般的なトラブルシューティング

  • Googleで検索する
    • 同じようなエラーに遭遇している人がいるかもしれません。Googleで検索することで、解決策が見つかることがあります。
  • シンプルな例から始める
    • 複雑なコードをいきなり実行するのではなく、シンプルな例から始めて、徐々に機能を追加していくことで、問題を特定しやすくなります。
  • デバッガを使用する
    • デバッガを使用して、変数の値や実行の流れを確認することで、問題の原因を特定することができます。
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main()
{
  // 回転軸を(1, 0, 0)とし、回転角を45度(ラジアン)とする回転を表すEigen::AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI/4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));

  // 回転角を取得
  double angle = rotation.angle();
  std::cout << "Rotation angle: " << angle << " rad" << std::endl;

  // 誤った例: 回転軸が正規化されていない
  Eigen::AngleAxisd incorrect_rotation(M_PI/4, Eigen::Vector3d(2, 0, 0)); // 正しくない
}

上記のように、回転軸が正規化されていない場合、意図しない結果が得られる可能性があります。

  • テンプレートメタプログラミング
    Eigenはテンプレートメタプログラミングを積極的に利用しているため、コンパイルエラーが発生した場合、エラーメッセージがわかりにくいことがあります。
  • 数値誤差
    浮動小数点演算には数値誤差がつきものです。特に、多くの計算を繰り返す場合、誤差が蓄積されて大きな影響を与える可能性があります。


基本的な使い方:

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸を(1, 0, 0)とし、回転角を45度とする回転
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));

  // 回転角を取得
  double angle = rotation.angle();
  std::cout << "回転角: " << angle * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation.toRotationMatrix();
  std::cout << "回転行列:\n" << rotation_matrix << std::endl;
}

複数の回転の合成:

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転1: x軸周りに45度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));

  // 回転2: y軸周りに30度回転
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 6, Eigen::Vector3d(0, 1, 0));

  // 回転1と回転2を合成
  Eigen::AngleAxisd rotation_combined = rotation2 * rotation1;

  // 合成後の回転角を取得
  double angle = rotation_combined.angle();
  std::cout << "合成後の回転角: " << angle * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;
}

ベクトルの回転:

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸を(0, 0, 1)とし、回転角を90度とする回転
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 2, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));

  // 回転するベクトル
  Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);

  // ベクトルを回転
  Eigen::Vector3d rotated_v = rotation * v;

  std::cout << "回転後のベクトル: " << rotated_v.transpose() << std::endl;
}

クォータニオンとの変換:

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸を(1, 1, 1)とし、回転角を60度とする回転
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 3, Eigen::Vector3d(1, 1, 1));

  // クォータニオンに変換
  Eigen::Quaterniond quaternion = rotation;

  std::cout << "クォータニオン: " << quaternion.coeffs().transpose() << std::endl;
}

エラー処理:

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸がゼロベクトルの場合のエラー処理
  Eigen::Vector3d axis(0, 0, 0);
  if (axis.norm() == 0) {
    std::cerr << "回転軸はゼロベクトルであってはなりません。" << std::endl;
    return 1;
  }

  // それ以外の処理
  // ...
}
  • クォータニオンからAngleAxisへの変換
    rotation = quaternion;
  • 回転行列からAngleAxisへの変換
    rotation.fromRotationMatrix(rotation_matrix);
  • 数値誤差
    浮動小数点演算には数値誤差がつきものです。特に、多くの計算を繰り返す場合、誤差が蓄積されて大きな影響を与える可能性があります。
  • 回転の合成
    回転の合成は一般に非可換です。合成する順番に注意してください。
  • 回転軸の正規化
    回転軸は必ず正規化してください。
  • 「複数のオブジェクトを同時に回転させたい」
  • 「特定の座標系で回転させたい」


Eigen::AngleAxis::angle() 関数は、回転を表す AngleAxis オブジェクトから回転角を取得する便利な関数です。しかし、特定の状況下では、他の方法がより適している場合があります。

回転行列から直接計算

  • デメリット
    計算量が増える可能性がある。
  • メリット
    より柔軟な計算が可能。
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix;
  // ... 回転行列を生成 ...

  // トレースから回転角を計算 (近似的な方法)
  double trace = rotation_matrix.trace();
  double angle = std::acos((trace - 1) / 2);

  std::cout << "回転角: " << angle * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;
}

注意
上記の方法は近似的な計算であり、すべてのケースで正確な結果が得られるとは限りません。

クォータニオンから計算

  • デメリット
    クォータニオンの計算が必要。
  • メリット
    スムーズな補間が可能。
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Quaterniond quaternion;
  // ... クォータニオンを生成 ...

  // 角度を取得
  double angle = 2 * std::acos(quaternion.w());

  std::cout << "回転角: " << angle * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;
}

軸角から直接計算

  • デメリット
    軸角表現を保持している必要がある。
  • メリット
    軸角表現からの直接的な計算。
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Vector3d axis;
  double angle;
  // ... 軸角を生成 ...

  // 角度はすでに計算済み
  std::cout << "回転角: " << angle * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;
}

オイラー角から計算

  • デメリット
    ジャイロロック問題など、注意が必要な点が多い。
  • メリット
    直感的な理解が可能。
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Vector3d euler_angles;
  // ... オイラー角を生成 ...

  // オイラー角の各成分が回転角に対応
  double angle_x = euler_angles[0];
  double angle_y = euler_angles[1];
  double angle_z = euler_angles[2];

  // 必要な回転角に応じて選択
  std::cout << "x軸周りの回転角: " << angle_x * 180 / M_PI << " 度" << std::endl;
}
  • 用途
    シミュレーション、可視化など、用途によって適切な方法が異なる。
  • 表現
    軸角、クォータニオン、オイラー角など、どの表現が適しているかによって選択する。
  • 精度
    より正確な結果が必要な場合は、適切な方法を選ぶ。
  • 計算効率
    計算量が少ない方法を選ぶ。

一般的に、Eigen::AngleAxis::angle() 関数は、シンプルで使いやすいという点で優れています。 しかし、より高度な操作や、他のライブラリとの連携など、特定の状況下では、他の方法がより適している場合があります。

選択のポイント

  • オイラー角
    直感的な理解が容易で、シンプルな回転表現が必要な場合。
  • 軸角
    軸と角を直接操作したい場合。
  • クォータニオン
    スムーズな補間や、球面線形補間が必要な場合。
  • 回転行列
    回転行列から他の表現に変換したい場合。

注意
オイラー角は、ジャイロロック問題など、注意が必要な点があります。

Eigen::AngleAxis::angle() 関数の代替方法は、回転表現の種類や、計算の目的によって様々です。それぞれの方法のメリットとデメリットを理解し、適切な方法を選択することが重要です。