3D変換の基礎：Eigenを使って回転行列を生成する

2024-07-31

Eigenとは？

Eigenは、C++で書かれた高性能な線形代数ライブラリです。数値計算、特に行列やベクトルの操作を効率的に行うために広く利用されています。

AngleAxisとは？

Eigen::AngleAxisは、回転を表すクラスです。回転軸と回転角のペアで回転を表現します。直感的に回転を理解し、操作することができます。

toRotationMatrix()は、AngleAxisオブジェクトが表す回転を、同等の回転を表す3x3の回転行列に変換する関数です。

なぜ回転行列に変換するのか？

他のライブラリとの互換性
他のライブラリやツールとの連携において、回転行列形式が求められることがあります。
計算効率
特定の演算は、回転行列を用いた方が効率的に計算できる場合があります。
汎用性
多くの線形代数の操作は、行列形式で表現された回転を用いて行われます。

関数シグネチャ

Eigen::Matrix3d AngleAxis::toRotationMatrix(void) const;

const
元のAngleAxisオブジェクトを変更せずに、新しい回転行列を返すことを示します。
戻り値
3x3の回転行列（Eigen::Matrix3d型）

具体的な使い方

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main()
{
    // 回転軸と回転角を設定
    Eigen::Vector3d axis(1, 0, 0); // x軸
    double angle = M_PI / 2; // 90度

    // AngleAxisオブジェクトを作成
    Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

    // 回転行列に変換
    Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotation.toRotationMatrix();

    // 回転行列を表示（例）
    std::cout << rotationMatrix << std::endl;

    return 0;
}

効率化
Eigenは、SIMD命令や最適化されたアルゴリズムを用いて、数値計算を高速化しています。
他の変換
AngleAxisクラスは、Quaternionクラスなど、他の回転表現との相互変換もサポートしています。

Eigen::AngleAxis::toRotationMatrix()は、回転を直感的に表現するAngleAxisオブジェクトを、汎用的な回転行列に変換する重要な関数です。この関数を使うことで、様々な線形代数の操作を効率的に行うことができます。

Eigen::AngleAxis::toRotationMatrix() 関数を利用する際に、以下のようなエラーやトラブルに遭遇することがあります。これらの原因と解決策を解説します。

コンパイルエラー

型ミスマッチ
- angle はラジアン単位で指定する必要があります。
- axis は単位ベクトルである必要があります。
名前空間の指定ミス
- Eigenのクラスや関数は、Eigen 名前空間内に定義されています。
```
Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);
```
ヘッダーファイルのインクルード漏れ
- Eigen/Core と Eigen/Geometry の両方をインクルードする必要があります。
```
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
```

実行時エラー

メモリ不足
- 大量の計算を行う場合、メモリ不足が発生する可能性があります。Eigenのメモリ管理機能や、計算の分割を検討してください。
数値のオーバーフロー
- 極端に大きな回転角を指定すると、数値のオーバーフローが発生する可能性があります。回転角の範囲に注意してください。
ゼロベクトルでの回転
- 回転軸がゼロベクトルの場合、未定義の動作となります。回転軸には長さを持つベクトルを指定してください。

期待と異なる結果

数値誤差
- 浮動小数点演算には数値誤差が伴います。高精度な計算が必要な場合は、多倍長精度演算ライブラリなどを検討してください。
回転の順序
- 複数の回転を合成する場合、回転の順序によって結果が異なります。回転の順序を明確に定義してください。
回転行列の解釈
- 回転行列は、座標系やベクトルに対する変換を表現します。変換の方向や座標系の定義に注意してください。

トラブルシューティングのヒント

簡単な例から始める
- 複雑な計算の前に、簡単な例で動作を確認します。
デバッグ出力
- 中間結果を出力して、計算が意図した通りに行われているか確認します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸と回転角を設定
  Eigen::Vector3d axis(1, 0, 0); // x軸
  double angle = M_PI / 2; // 90度

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotation.toRotationMatrix();

  // 回転行列を表示
  std::cout << rotationMatrix << std::endl;

  // ベクトルに回転を適用
  Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);
  Eigen::Vector3d v_rotated = rotationMatrix * v;
  std::cout << v_rotated << std::endl;

  return 0;
}

この例では、x軸を中心に90度回転する回転行列を作成し、ベクトルに適用しています。

より複雑な計算を行う場合は、ステップごとに結果を確認する。
回転の順序が意図した通りか確認する。
回転行列の要素が正しい範囲にあるか確認する。
各変数の値が正しいか確認する。

関連するライブラリ
Ceres Solver、Sophusなど、非線形最適化や幾何学計算に特化したライブラリも存在します。

基本的な回転

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸と回転角を設定
  Eigen::Vector3d axis(0, 0, 1);  // z軸
  double angle = M_PI / 2;      // 90度

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotation.toRotationMatrix();

  std::cout << "回転行列:" << std::endl;
  std::cout << rotationMatrix << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、z軸を中心に90度回転する回転行列を作成し、標準出力に表示します。

ベクトルへの回転の適用

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸と回転角を設定
  Eigen::Vector3d axis(0, 1, 0);  // y軸
  double angle = M_PI / 4;      // 45度

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(angle, axis);

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotation.toRotationMatrix();

  // 回転させるベクトル
  Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);

  // 回転後のベクトル
  Eigen::Vector3d v_rotated = rotationMatrix * v;

  std::cout << "回転前のベクトル:" << v.transpose() << std::endl;
  std::cout << "回転後のベクトル:" << v_rotated.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、y軸を中心に45度回転する回転行列を作成し、ベクトル(1, 0, 0)に適用します。

複数の回転の合成

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 回転軸と回転角を設定
  Eigen::Vector3d axis1(0, 0, 1);  // z軸
  double angle1 = M_PI / 2;      // 90度
  Eigen::Vector3d axis2(1, 0, 0);  // x軸
  double angle2 = M_PI / 4;      // 45度

  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation1(angle1, axis1);
  Eigen::AngleAxisd rotation2(angle2, axis2);

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix1 = rotation1.toRotationMatrix();
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix2 = rotation2.toRotationMatrix();

  // 複数の回転の合成
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotationMatrix2 * rotationMatrix1;

  std::cout << "合成された回転行列:" << std::endl;
  std::cout << rotationMatrix << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、z軸を中心に90度回転、その後x軸を中心に45度回転する合成回転行列を作成します。回転の順序は重要です。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // AngleAxisオブジェクトを作成
  Eigen::AngleAxisd rotation(M_PI / 2, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));

  // クォータニオンに変換
  Eigen::Quaterniond quaternion = rotation;

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

  std::cout << "回転行列:" << std::endl;
  std::cout << rotationMatrix << std::endl;

  return 0;
}

このコードでは、AngleAxisオブジェクトをクォータニオンに変換し、再度回転行列に変換しています。

Euler角
Euler角と回転行列の相互変換も可能です。
回転行列の分解
Eigen::AngleAxisd のコンストラクタに回転行列を渡すことで、回転軸と回転角を抽出できます。
Rodriguesの回転公式
Eigen::AngleAxisd::toRotationMatrix() の内部では、Rodriguesの回転公式が用いられています。

回転軸の正規化
回転軸は単位ベクトルである必要があります。
数値誤差
浮動小数点演算には数値誤差が伴います。
回転の順序
複数の回転を合成する際は、回転の順序に注意してください。

クォータニオンを用いた変換

デメリット
- 概念がやや複雑。
- Quaternionクラスのメソッドを利用する必要がある。
メリット
- 球面補間など、滑らかな回転の表現に適している。
- Gimbal Lockの問題を回避できる。

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

// ... (省略)

// AngleAxisからQuaternionに変換
Eigen::Quaterniond quaternion(rotation);

// Quaternionから回転行列に変換
Eigen::Matrix3d rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

Rodriguesの回転公式の直接実装

デメリット
- 手計算や実装ミスが発生しやすい。
- 効率性で劣る場合がある。
メリット
- アルゴリズムを深く理解できる。
- 特殊な用途にカスタマイズしやすい。

#include <Eigen/Core>

// ... (省略)

// Rodriguesの回転公式
Eigen::Matrix3d rotationMatrix =
    Eigen::Matrix3d::Identity() +
    sin(angle) * skewSymmetric(axis) +
    (1 - cos(angle)) * skewSymmetric(axis) * skewSymmetric(axis);

ここで、skewSymmetric(axis) は軸ベクトルから反対称行列を作成する関数です。

Euler角を用いた変換

デメリット
- Gimbal Lockの問題が発生する可能性がある。
- Euler角の種類（XYZ, ZYXなど）によって変換行列が異なる。
メリット
- 直感的に理解しやすい。
- 多くの3Dソフトウェアで採用されている。

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

// ... (省略)

// AngleAxisからEuler角に変換
Eigen::Vector3d eulerAngles = rotation.toRotationMatrix().eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX順

// Euler角から回転行列に変換
Eigen::AngleAxisd rotationZ(eulerAngles[0], Eigen::Vector3d::UnitZ());
Eigen::AngleAxisd rotationY(eulerAngles[1], Eigen::Vector3d::UnitY());
Eigen::AngleAxisd rotationX(eulerAngles[2], Eigen::Vector3d::UnitX());
Eigen::Matrix3d rotationMatrix = rotationZ * rotationY * rotationX;

外積代数

デメリット
- 概念が抽象的で、実装が複雑になる。
- 一般的なプログラミング言語では直接サポートされていないことが多い。
メリット
- 数学的に厳密な表現が可能。
- 高次元への拡張が容易。

拡張性
高次元への拡張や、特殊な回転が必要な場合は、Rodriguesの回転公式や外積代数などが有効です。
直感性
Euler角は、直感的に理解しやすいですが、Gimbal Lockの問題に注意が必要です。
表現力
球面補間など、滑らかな回転が必要な場合は、クォータニオンが適しています。
計算効率
高速な計算が必要な場合は、Eigenの最適化された実装である toRotationMatrix() を利用するのが良いでしょう。

Eigen::AngleAxis::toRotationMatrix() は、多くの場合で十分な性能と使いやすさを提供します。しかし、特定の用途や制約がある場合は、他の代替方法も検討する価値があります。

表現力
球面補間など、高度な表現が必要か。
実装の容易さ
既存のライブラリを利用できるか。
計算速度
リアルタイム処理など、高速な計算が必要か。
計算の精度
数値誤差が許容できる範囲か。