3Dプログラミングで役立つ！Eigen::AngleAxis::isApprox() の使い方

概説

Eigen::AngleAxis::isApprox() は、Eigenライブラリにおいて、2つの角度軸 (AngleAxis) がほぼ等しいかどうかを判定する関数です。数値計算において、厳密な等号ではなく、ある程度の誤差範囲内で等しいとみなすことが必要な場合に用いられます。

詳細

• 精度（prec）
  2つのAngleAxisが「ほぼ等しい」と判断するための許容誤差を指定します。この値が小さいほど、厳密な一致が求められます。デフォルトでは、Scalar型の精度が使用されます。
• isApprox()
  この関数は、引数として別のAngleAxisオブジェクトと精度（prec）を受け取ります。
• Eigen::AngleAxis
  Eigenライブラリで提供される、回転を表すクラスです。回転軸と回転角のペアで回転を表現します。

戻り値

• そうでない場合、falseを返します。
• 2つのAngleAxisが指定された精度内でほぼ等しい場合、trueを返します。

使用例

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::AngleAxisd aa1(M_PI/2, Eigen::Vector3d::UnitZ());
  Eigen::AngleAxisd aa2(1.5708, Eigen::Vector3d::UnitZ());

  // 精度を0.001に設定
  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2, 0.001);

  if (is_approx) {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しいです" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しくありません" << std::endl;
  }

  return 0;
}

この例では、2つのAngleAxisオブジェクトを作成し、isApprox()関数でそれらが0.001の精度でほぼ等しいかどうかを判定しています。M_PI/2と1.5708はどちらもほぼπ/2を表しており、回転軸が同じため、この場合はis_approxはtrueになるでしょう。

• 数値最適化
  最適化問題の解が収束したかどうかを判定する際に、isApprox()を用いることができます。
• 数値シミュレーション
  シミュレーションの結果と理論値を比較する場合、isApprox()を用いて、両者が一致しているかどうかを判定することができます。
• 数値計算の誤差評価
  浮動小数点数の計算では、丸め誤差などにより厳密な等号が成立しないことがあります。isApprox()を用いて、ある程度の誤差を許容し、数値計算の結果が正しいかどうかを評価できます。

Eigen::AngleAxis::isApprox()は、数値計算において、厳密な等号ではなく、ある程度の誤差範囲内で等しいとみなす必要がある場合に非常に便利な関数です。数値計算の精度管理や、シミュレーション結果の評価など、様々な場面で活用できます。

• テンプレート
  isApprox()はテンプレート関数であり、様々な数値型に対応しています。
• 注意
  isApprox()は、回転軸と回転角の両方を比較します。回転角は、2πの整数倍の差があっても同じ回転を表すため、isApprox()では適切に処理されるように設計されています。

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Eigen::AngleAxis::isApprox() 関数を使用する際に、以下のようなエラーやトラブルに遭遇することがあります。これらの原因と解決策をいくつかご紹介します。

コンパイルエラー

• 名前空間の指定ミス
  
  • Eigen 名前空間を明示的に指定するか、using宣言で名前空間のメンバーを現在の名前空間に取り込む必要があります。
  • using namespace Eigen;
• ヘッダーファイルのインクルード忘れ
  
  • Eigen/Core と Eigen/Geometry を必ずインクルードしてください。
  • #include <Eigen/Core>
  • #include <Eigen/Geometry>

実行時エラー

• 数値オーバーフロー
  
  • 非常に大きなまたは小さな数値が計算に含まれている可能性があります。
  • 数値範囲に注意し、必要であればスケーリングを行ってください。
• 精度設定の誤り
  
  • 精度 prec の値が適切でない可能性があります。
  • 問題に応じて、精度を調整してください。
• 不正な入力
  
  • AngleAxis オブジェクトの初期化に不正な値が渡されている可能性があります。
  • 回転軸のベクトルがゼロベクトルになっていないか確認してください。

期待と異なる結果

• 回転軸の向き
  
  • 回転軸の向きが逆の場合、isApprox() が false を返すことがあります。
  • 回転軸の向きを揃えるために、ベクトルを正規化したり、符号を反転させたりする必要があります。
• 数値誤差
  
  • 浮動小数点数の計算には、丸め誤差などが伴います。
  • 極めて厳密な比較が必要な場合は、誤差の許容範囲を適切に設定する必要があります。
• 回転角の範囲
  
  • 回転角は通常、-πからπの範囲で表されます。
  • 範囲外の値が与えられた場合、意図しない結果になることがあります。
  • normalize() メソッドを使用して、回転角を正規化することができます。

トラブルシューティングのヒント

• Eigen のドキュメントを参照
  
  • Eigen の公式ドキュメントには、より詳細な情報や例が記載されています。
• 簡単な例から始める
  
  • 簡単な例から始めて、徐々に複雑な問題に進んでいくと、問題の原因を特定しやすくなります。
• 単体テスト
  
  • isApprox() 関数を単体でテストし、正しい動作を確認してください。
• デバッグ出力
  
  • AngleAxis オブジェクトの内容をデバッグ出力して、値を確認してください。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI/2, Vector3d::UnitZ());
  AngleAxisd aa2(1.5708, Vector3d::UnitZ());

  // 精度を0.001に設定
  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2, 0.001);

  if (is_approx) {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しいです" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しくありません" << std::endl;
  }

  // 回転軸が異なる場合
  AngleAxisd aa3(M_PI/2, Vector3d::UnitX());
  std::cout << aa1.isApprox(aa3) << std::endl; // falseになる可能性が高い

  return 0;
}

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基本的な使い方

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ()); // Z軸周りに90度回転
  AngleAxisd aa2(1.5708, Vector3d::UnitZ());   // ほぼ同じ回転

  // 精度を0.001に設定
  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2, 0.001);

  if (is_approx) {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しいです" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "aa1とaa2はほぼ等しくありません" << std::endl;
  }

  return 0;
}

回転軸が異なる場合

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ());
  AngleAxisd aa2(M_PI / 2, Vector3d::UnitX()); // 回転軸が異なる

  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2); // falseになる可能性が高い

  std::cout << is_approx << std::endl;
}

回転角が異なる場合

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ());
  AngleAxisd aa2(M_PI, Vector3d::UnitZ());   // 回転角が異なる

  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2);

  std::cout << is_approx << std::endl;
}

複数のAngleAxisオブジェクトの比較

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  std::vector<AngleAxisd> angle_axes;
  angle_axes.push_back(AngleAxisd(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ()));
  angle_axes.push_back(AngleAxisd(1.5708, Vector3d::UnitZ()));
  angle_axes.push_back(AngleAxisd(M_PI / 2, Vector3d::UnitX()));

  AngleAxisd reference = angle_axes[0];
  for (int i = 1; i < angle_axes.size(); ++i) {
    if (reference.isApprox(angle_axes[i], 0.001)) {
      std::cout << "referenceと" << i << "番目のAngleAxisはほぼ等しいです" << std::endl;
    }
  }
}

Quaternionとの比較 (QuaternionをAngleAxisに変換)

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  Quaterniond q1(0.7071, 0, 0, 0.7071); // Z軸周りに90度回転
  AngleAxisd aa1(q1);

  AngleAxisd aa2(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ());

  bool is_approx = aa1.isApprox(aa2, 0.001);

  std::cout << is_approx << std::endl;
}

• 数値誤差
  浮動小数点数の計算には、丸め誤差などが伴うため、厳密な比較には注意が必要です。
• 回転角
  回転角は、2πの整数倍の差があっても同じ回転を表します。
• 回転軸
  回転軸の向きが異なると、たとえ回転角が同じでも異なる回転を表します。
• 精度
  isApprox の第2引数である prec は、比較の精度を決定します。数値計算の性質上、厳密な一致は期待できないため、適切な精度を設定することが重要です。

• Eigenのドキュメント
  より詳細な情報については、Eigenの公式ドキュメントを参照してください。
• パフォーマンス
  多くの比較を行う場合は、パフォーマンスに影響を与える可能性があります。
• より複雑な比較
  複数の条件を組み合わせた比較を行うことも可能です。

---

Eigen::AngleAxis::isApprox() は、2つの角度軸がほぼ等しいかどうかを判定する便利な関数ですが、より細かい制御や他の条件を加えた比較を行いたい場合、代替方法を検討する必要があります。

要素ごとの比較

• 回転行列への変換
  AngleAxis を回転行列に変換し、行列の要素を比較します。
• Quaternionへの変換
  AngleAxis を Quaternion に変換し、Quaternion の要素を直接比較します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ());
  AngleAxisd aa2(1.5708, Vector3d::UnitZ());

  // Quaternionに変換して比較
  Quaterniond q1(aa1), q2(aa2);
  if ((q1 - q2).norm() < 1e-6) {
    std::cout << "Quaternionとしてほぼ等しい" << std::endl;
  }

  // 回転行列に変換して比較
  Matrix3d R1 = aa1.toRotationMatrix(), R2 = aa2.toRotationMatrix();
  if ((R1 - R2).norm() < 1e-6) {
    std::cout << "回転行列としてほぼ等しい" << std::endl;
  }

  return 0;
}

角度と軸の個別比較

• 回転軸の内積
  aa1.axis().dot(aa2.axis()) >= threshold
• 回転角の差
  fabs(aa1.angle() - aa2.angle()) < threshold

#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

using namespace Eigen;

int main() {
  AngleAxisd aa1(M_PI / 2, Vector3d::UnitZ());
  AngleAxisd aa2(1.5708, Vector3d::UnitZ());

  double angle_diff = fabs(aa1.angle() - aa2.angle());
  double axis_dot = aa1.axis().dot(aa2.axis());

  if (angle_diff < 1e-3 && axis_dot > 0.99) {
    std::cout << "角度と軸がほぼ等しい" << std::endl;
  }
}

許容誤差の調整

• 要素ごとの比較の閾値
  許容誤差を適切に設定することで、より柔軟な比較を行うことができます。
• isApprox()の第2引数
  精度 prec を調整することで、より厳密な比較またはより緩い比較を行うことができます。

カスタム比較関数

• 特殊なケース
  特殊なケースに対応するために、カスタムの比較関数を作成できます。

• 可読性
  カスタムの比較関数を作成すると、コードの可読性が低下する可能性があります。
• 計算コスト
  Quaternion や回転行列への変換には、計算コストがかかります。
• 比較の目的
  どの程度厳密な比較が必要か、どのような条件を満たす必要があるかによって選択します。

どの方法を選択するかは、具体的な使用状況によって異なります。