Eigen3の回転処理を効率化！Eigen::AngleAxis::fromRotationMatrixの代替手法比較

2025-04-07

以下に、この関数の詳細な説明をします。

関数の役割

Eigen::AngleAxisオブジェクトは、回転をクォータニオンや回転行列に変換するためのメソッドも提供します。
この変換によって、回転をより直感的に表現できるようになります。
与えられた回転行列(mat)を、回転軸と回転角のペアに変換します。

引数

const MatrixBase<Derived>& mat: 変換したい回転行列です。MatrixBaseはEigenの基底クラスで、様々な行列型を受け入れることができます。Derivedはテンプレート引数であり、実際の行列の型が渡されます。例えば、Eigen::Matrix3fやEigen::Matrix3dなどです。

戻り値

Eigen::AngleAxisオブジェクト: 回転軸と回転角のペアを保持するオブジェクトです。

処理の流れ

与えられた回転行列(mat)が有効な回転行列であるかを確認します。
回転行列から回転角と回転軸を計算します。
計算された回転角と回転軸をEigen::AngleAxisオブジェクトに格納します。
生成されたEigen::AngleAxisオブジェクトを返します。

使用例

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix;
  // 回転行列を何らかの方法で初期化する
  rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ()).toRotationMatrix(); //例としてZ軸回りに45度回転

  Eigen::AngleAxisf angleAxis(rotationMatrix);

  std::cout << "回転角: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

この例では、Z軸回りに45度回転する回転行列を生成し、fromRotationMatrixを使用してEigen::AngleAxisオブジェクトに変換しています。そして、回転角と回転軸を表示しています。

回転軸は単位ベクトルで表現されます。
回転角は常に0からπの範囲で表現されます。
与えられた行列が有効な回転行列でない場合、結果は未定義になります。

入力行列が有効な回転行列でない

解決策
- 行列を生成する際に、数値誤差を最小限に抑えるように注意してください。
- mat.isOrthogonal()やmat.determinant()を使用して、行列が有効な回転行列であるかを確認してください。
- 行列を正規化する（mat.normalize()）などの前処理を行うことも有効です。
- もし、行列がすこしだけの誤差を含んでいる場合は、ある程度の誤差の範囲で、有効な回転行列として扱うように自作関数で調整する。
原因
- 行列の生成過程での計算誤差。
- 行列が歪んだ変換（スケールやせん断など）を含んでいる。
エラー内容
- 与えられた行列が直交行列でない、または行列式が1でない場合、結果は不正になります。
- 数値誤差により、厳密な回転行列でない場合も同様です。

回転角が正しく計算されない

解決策
- 回転角の計算に使用される三角関数の逆関数（acosなど）の精度を確認してください。
- 回転角の符号が反転している場合は、回転軸の符号を反転させることで修正できます。
- 回転角が0,もしくはπに近い場合は、回転軸の計算方法を調整する必要がある。例えば、回転行列の対角成分や、オフダイアゴナル成分の計算結果から、回転軸を計算する。
原因
- 数値誤差による計算の不安定性。
- 回転角の範囲（通常は0からπ）に関する誤解。
エラー内容
- 回転角が期待した値と異なる、または符号が反転している。
- 回転角が0,もしくはπに近い場合、回転軸の計算が不安定になることがある。

回転軸が正しく計算されない

解決策
- 回転軸の計算に使用される固有ベクトル計算の精度を確認してください。
- 回転軸を正規化する（axis.normalize()）ことで、誤差を修正できます。
- 回転角が0,もしくはπに近い場合は、回転軸の計算方法を調整する必要がある。例えば、回転行列の対角成分や、オフダイアゴナル成分の計算結果から、回転軸を計算する。
原因
- 数値誤差による計算の不安定性。
- 回転軸の計算に使用される固有ベクトル計算の誤差。
エラー内容
- 回転軸が期待した方向と異なる。
- 回転角が0,もしくはπに近い場合、回転軸の計算が不安定になる。

コンパイルエラー

解決策
- 必要なヘッダーファイル（Eigen/Geometryなど）をインクルードしてください。
- コンパイラのバージョンを更新してください。
- Eigen3のインストールが正しいか確認してください。
原因
- Eigen3のヘッダーファイルが正しくインクルードされていない。
- コンパイラのバージョンがEigen3の要件を満たしていない。
- Eigen/Geometryヘッダーファイルをincludeしていない。
エラー内容
- MatrixBaseやDerivedに関連するテンプレートエラー。
- Eigen::AngleAxisが使用できない。

Eigen3のバージョンを最新のものに変更する。
Eigen3の公式ドキュメントやオンラインフォーラムで、同様の問題が報告されていないか検索してください。
回転角と回転軸の計算過程で、中間結果をログ出力して確認してください。
入力行列の値を詳細に確認し、有効な回転行列であるかを確認してください。

例1: 回転行列からAngleAxisへの変換と情報の取得

この例では、回転行列を生成し、fromRotationMatrixを使用してEigen::AngleAxisオブジェクトに変換し、回転角と回転軸を表示します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // Z軸周りに45度回転する回転行列を生成
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ()).toRotationMatrix();

  // 回転行列からAngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(rotationMatrix);

  // 回転角と回転軸を表示
  std::cout << "回転角: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

  //AngleAxisからクォータニオンへ変換し、表示
  Eigen::Quaternionf quaternion = angleAxis;
  std::cout << "クォータニオン: " << quaternion.coeffs().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

解説

Eigen::AngleAxisf(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ()).toRotationMatrix(): Z軸周りに45度回転する回転行列を生成します。
Eigen::AngleAxisf angleAxis(rotationMatrix);: 生成された回転行列をEigen::AngleAxisオブジェクトに変換します。
angleAxis.angle(): 回転角をラジアンで取得します。
angleAxis.axis(): 回転軸を単位ベクトルとして取得します。
Eigen::Quaternionf quaternion = angleAxis;: AngleAxisからクォータニオンに変換します。
quaternion.coeffs().transpose(): クォータニオンの係数を表示します。

例2: 誤差のある回転行列からの変換と補正

この例では、わずかな誤差を含む回転行列を生成し、fromRotationMatrixを使用してEigen::AngleAxisオブジェクトに変換し、必要に応じて補正を行います。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  // 誤差のある回転行列を生成
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 4, Eigen::Vector3f::UnitZ()).toRotationMatrix();
  rotationMatrix(0, 0) += 0.001f; // わずかな誤差を加える

  // 回転行列からAngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisf angleAxis(rotationMatrix);

  // 回転角と回転軸を表示(誤差あり)
  std::cout << "誤差あり回転角: " << angleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "誤差あり回転軸: " << angleAxis.axis().transpose() << std::endl;

  // 行列を正規化し、再度AngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::Matrix3f normalizedMatrix = rotationMatrix;
  normalizedMatrix.normalize();
  Eigen::AngleAxisf normalizedAngleAxis(normalizedMatrix);

  // 正規化後の回転角と回転軸を表示
  std::cout << "正規化後回転角: " << normalizedAngleAxis.angle() << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "正規化後回転軸: " << normalizedAngleAxis.axis().transpose() << std::endl;

  return 0;
}

解説

rotationMatrix(0, 0) += 0.001f;: 回転行列の要素にわずかな誤差を加えます。
normalizedMatrix.normalize();: 回転行列を正規化します。これにより、回転行列の誤差が補正されます。
正規化された回転行列からEigen::AngleAxisオブジェクトを生成し、回転角と回転軸を表示します。

例3: 回転行列が有効な回転行列であるかの確認

この例では、与えられた行列が有効な回転行列であるかを確認します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f validRotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 2, Eigen::Vector3f::UnitX()).toRotationMatrix();
  Eigen::Matrix3f invalidRotationMatrix = Eigen::Matrix3f::Identity() * 2; // スケールを含む無効な行列

  if (validRotationMatrix.isOrthogonal() && std::abs(validRotationMatrix.determinant() - 1.0f) < 1e-5f) {
    std::cout << "validRotationMatrixは有効な回転行列です。" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "validRotationMatrixは有効な回転行列ではありません。" << std::endl;
  }

    if (invalidRotationMatrix.isOrthogonal() && std::abs(invalidRotationMatrix.determinant() - 1.0f) < 1e-5f) {
    std::cout << "invalidRotationMatrixは有効な回転行列です。" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "invalidRotationMatrixは有効な回転行列ではありません。" << std::endl;
  }

  return 0;
}

validRotationMatrix.isOrthogonal(): 行列が直交行列であるかをチェックします。
std::abs(validRotationMatrix.determinant() - 1.0f) < 1e-5f: 行列式が1であるかをチェックします。
invalidRotationMatrixは、スケールを含むため、回転行列として無効です。

クォータニオンを使用する

欠点
- クォータニオンの概念を理解する必要があります。
- fromRotationMatrixよりもステップが多くなる場合があります。
利点
- 数値安定性が高い。回転角が0またはπに近い場合でも、fromRotationMatrixよりも安定した結果が得られます。
- クォータニオンは回転の補間や合成に便利です。
方法
- 回転行列をEigen::Quaternionオブジェクトに変換し、そこから回転軸と回転角を抽出します。
- Eigen::Quaternion(mat)で回転行列からクォータニオンを生成できます。
- クォータニオンから回転軸と回転角を抽出するには、q.axis()と2.0f * std::acos(q.w())を使用します。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 3, Eigen::Vector3f::UnitY()).toRotationMatrix();

  // 回転行列からクォータニオンを生成
  Eigen::Quaternionf quaternion(rotationMatrix);

  // クォータニオンから回転軸と回転角を抽出
  Eigen::Vector3f axis = quaternion.axis();
  float angle = 2.0f * std::acos(quaternion.w());

  std::cout << "回転角: " << angle << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

回転行列の固有値と固有ベクトルを使用する

欠点
- 数値計算のコストが高い。
- 固有値と固有ベクトルの計算は複雑になる場合があります。
- 数値安定性の問題が発生しやすい場合があります。
利点
- 回転軸と回転角の計算原理を理解するのに役立ちます。
- 特殊な状況において、より直接的な制御が可能です。
方法
- 回転行列の固有値と固有ベクトルを計算します。
- 固有値が1である固有ベクトルが回転軸になります。
- 回転角は、他の固有値の複素数部分から計算できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Eigenvalues>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 6, Eigen::Vector3f::UnitX()).toRotationMatrix();

  Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix3f> eigenSolver(rotationMatrix);
  Eigen::VectorXcf eigenvalues = eigenSolver.eigenvalues();
  Eigen::MatrixXcf eigenvectors = eigenSolver.eigenvectors();

  Eigen::Vector3f axis;
  float angle = 0.0f;

  for (int i = 0; i < 3; ++i) {
    if (std::abs(eigenvalues(i).real() - 1.0f) < 1e-5f) {
      axis = eigenvectors.col(i).real();
      break;
    }
  }

  // 回転角の計算（例）
  angle = std::acos(0.5f * (rotationMatrix.trace() - 1.0f));

  std::cout << "回転角: " << angle << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

欠点
- 回転軸の計算は、回転角が0またはπに近い場合に不安定になる可能性があります。
- 回転軸の符号が曖昧になる場合があります。
利点
- 計算が簡単です。
- 高速に回転角を計算できます。
方法
- 回転行列のトレースから回転角を計算します。
- 回転軸は、回転行列の要素から計算できます。

#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>

int main() {
  Eigen::Matrix3f rotationMatrix = Eigen::AngleAxisf(M_PI / 2, Eigen::Vector3f::UnitZ()).toRotationMatrix();

  float angle = std::acos(0.5f * (rotationMatrix.trace() - 1.0f));
  Eigen::Vector3f axis;

  //回転軸の計算
  axis(0) = rotationMatrix(2, 1) - rotationMatrix(1, 2);
  axis(1) = rotationMatrix(0, 2) - rotationMatrix(2, 0);
  axis(2) = rotationMatrix(1, 0) - rotationMatrix(0, 1);
  axis.normalize();

  std::cout << "回転角: " << angle << " ラジアン" << std::endl;
  std::cout << "回転軸: " << axis.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

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