Eigen3のAngleAxisクラス：様々な回転表現との比較

Eigen3 は、C++ で線形代数計算を行うための非常に強力なライブラリです。その中でも AngleAxis クラスは、3次元回転を軸と回転角のペアで表現するクラスです。

fromRotationMatrix() メソッドは、この AngleAxis オブジェクトを、与えられた回転行列から生成する静的なメソッドです。つまり、回転行列が与えられたときに、その回転を表現する軸と回転角を計算し、AngleAxis オブジェクトとして返すという働きをします。

詳細な解説

• 戻り値
  

  • AngleAxis 型のオブジェクト。このオブジェクトは、与えられた回転行列 mat に対応する軸と回転角の情報を持っています。
• • mat: 回転行列を表す MatrixBase 型のオブジェクト。任意の型のスカラー値を持つ、3x3 の正方行列を指定できます。

具体的な使い方

#include <Eigen/Geometry>

// 回転行列を定義
Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
rotationMatrix << 0.5, -0.866, 0.0,
                  0.866,  0.5,   0.0,
                  0.0,  0.0,   1.0;

// AngleAxisオブジェクトを生成
Eigen::AngleAxisd angleAxis = Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(rotationMatrix);

// 軸と回転角を取得
Eigen::Vector3d axis = angleAxis.axis();
double angle = angleAxis.angle();

std::cout << "axis: " << axis.transpose() << std::endl;
std::cout << "angle: " << angle << std::endl;

このコードでは、まず回転行列 rotationMatrix を定義しています。その後、fromRotationMatrix() メソッドを使って、この回転行列に対応する AngleAxis オブジェクトを生成しています。最後に、axis() メソッドと angle() メソッドを使って、軸と回転角を取得しています。

• 他の表現との変換
  AngleAxis は、四元数やオイラー角などの他の回転表現との変換が容易です。
• 効率的
  多くの場合、軸と回転角の方が、回転行列よりもメモリ効率が良く、計算も高速です。
• 直感的
  軸と回転角は、人間の直感に合致した回転の表現方法です。

AngleAxis::fromRotationMatrix() メソッドは、回転行列から軸と回転角への変換を簡単に行うための便利なツールです。3次元回転を扱う多くの場面で活用することができます。

• AngleAxis クラスは、Geometry モジュールに定義されています。
• MatrixBase は、Eigen のテンプレートクラスで、様々な行列型を抽象化するための基底クラスです。

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よくあるエラーとその原因

Eigen3 の AngleAxis::fromRotationMatrix() を使用する際に、以下のようなエラーが発生することがあります。

• テンプレートパラメータの誤り
  
  • 型指定ミス
    MatrixBase<Derived> の Derived に適切な型を指定していない場合にエラーが発生します。
• 数値的な誤差
  
  • 浮動小数点誤差
    計算の過程で浮動小数点誤差が発生し、行列が厳密な回転行列ではなくなってしまうことがあります。
• 不正な行列
  
  • 非正方行列
    回転行列は3x3の正方行列である必要があります。
  • 非正規直交行列
    回転行列は正規直交行列でなければなりません。つまり、転置行列と元の行列の積が単位行列で、各行ベクトルと各列ベクトルのノルムが1で、互いに直交している必要があります。

トラブルシューティング

1. • 行列のサイズが3x3であることを確認します。
   • 行列の各要素が正しい値であることを確認します。
   • 行列が正規直交行列であることを数値的に確認します。
   • 計算の過程で意図しない値が代入されていないか確認します。

2. テンプレートパラメータの確認
   

   • MatrixBase<Derived> の Derived に、使用している行列の型を正しく指定しているか確認します。
   • 例えば、Eigen::Matrix3d を使用している場合は、Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(rotationMatrix) となります。

3. 数値的誤差の考慮
   

   • 浮動小数点誤差を考慮し、厳密な等号ではなく、ある程度の許容範囲を設定して比較を行うようにします。
   • Eigen は、数値計算に特化したライブラリであり、数値的な安定性を考慮した実装がされていますが、極端な値や多くの計算を行う場合は、注意が必要です。

4. デバッグ出力
   

   • 中間結果を出力して、どこで誤りが発生しているかを確認します。
   • Eigen は、行列のノルムや行列式の計算などの便利な関数を提供しているので、これらを利用して行列の状態を確認することができます。

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // 正しい回転行列
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  rotationMatrix << 0.5, -0.866, 0.0,
                   0.866,  0.5,   0.0,
                   0.0,  0.0,   1.0;

  // AngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis = Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(rotationMatrix);

  // 軸と回転角を取得
  Eigen::Vector3d axis = angleAxis.axis();
  double angle = angleAxis.angle();

  std::cout << "axis: " << axis.transpose() << std::endl;
  std::cout << "angle: " << angle << std::endl;

  // 非正規直交行列の場合
  Eigen::Matrix3d invalidMatrix;
  invalidMatrix << 1, 0, 0,
                   0, 1, 0,
                   0, 0, 2; // 第3行のノルムが1ではない

  // エラーが発生する可能性が高い
  // Eigen::AngleAxisd invalidAngleAxis = Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(invalidMatrix);

  return 0;
}

• 他の回転表現
  AngleAxis 以外にも、四元数やオイラー角など、回転を表す様々な方法があります。それぞれの表現方法の長所と短所を理解し、適切な方法を選択することが重要です。
• 特異な場合
  回転行列が単位行列の場合や、軸が不定となる場合など、特異な場合の扱いは注意が必要です。
• 数値的な安定性
  非常に小さな回転を表す行列に対して fromRotationMatrix() を適用すると、数値的な誤差が大きくなる可能性があります。

• 使用しているEigenのバージョン
• 特定のエラーメッセージ

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基本的な使い方

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // 回転行列を定義
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  rotationMatrix << 0.5, -0.866, 0.0,
                   0.866,  0.5,   0.0,
                   0.0,  0.0,   1.0;

  // AngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis = Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(rotationMatrix);

  // 軸と回転角を取得
  Eigen::Vector3d axis = angleAxis.axis();
  double angle = angleAxis.angle();

  std::cout << "軸: " << axis.transpose() << std::endl;
  std::cout << "回転角: " << angle * 180 / M_PI << "度" << std::endl; // ラジアンから度に変換

  return 0;
}

軸と回転角から回転行列へ

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // 軸と回転角を定義
  Eigen::Vector3d axis(0, 0, 1); // z軸周り
  double angle = M_PI / 2; // 90度

  // AngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis(angle, axis);

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = angleAxis.toRotationMatrix();

  std::cout << "回転行列:\n" << rotationMatrix << std::endl;

  return 0;
}

複数の回転の合成

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // 2つの回転を定義
  Eigen::AngleAxisd rotation1(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(1, 0, 0)); // x軸周り45度
  Eigen::AngleAxisd rotation2(M_PI / 3, Eigen::Vector3d(0, 1, 0)); // y軸周り60度

  // 回転の合成 (順序に注意)
  Eigen::AngleAxisd compositeRotation = rotation2 * rotation1;

  // 回転行列に変換
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix = compositeRotation.toRotationMatrix();

  std::cout << "合成された回転行列:\n" << rotationMatrix << std::endl;

  return 0;
}

ベクトルの回転

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // 回転行列を定義
  Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
  rotationMatrix << 0.5, -0.866, 0.0,
                   0.866,  0.5,   0.0,
                   0.0,  0.0,   1.0;

  // 回転させるベクトル
  Eigen::Vector3d vector(1, 0, 0);

  // 回転後のベクトル
  Eigen::Vector3d rotatedVector = rotationMatrix * vector;

  std::cout << "回転後のベクトル: " << rotatedVector.transpose() << std::endl;

  return 0;
}

四元数との変換

#include <Eigen/Geometry>
#include <iostream>

int main() {
  // AngleAxisオブジェクトを生成
  Eigen::AngleAxisd angleAxis(M_PI / 2, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));

  // 四元数に変換
  Eigen::Quaterniond quaternion(angleAxis);

  // 四元数からAngleAxisに変換
  Eigen::AngleAxisd angleAxis2(quaternion);

  std::cout << "四元数: " << quaternion.coeffs().transpose() << std::endl;
  std::cout << "変換後のAngleAxisの軸: " << angleAxis2.axis().transpose() << std::endl;
  std::cout << "変換後のAngleAxisの角度: " << angleAxis2.angle() << std::endl;

  return 0;
}

• 四元数との変換
  AngleAxis と四元数は相互に変換できます。
• ベクトルの回転
  回転行列とベクトルを掛け算することで、ベクトルを回転させることができます。
• 複数の回転の合成
  AngleAxis オブジェクト同士を掛け算することで、複数の回転を合成できます。
• 軸と回転角から回転行列へ
  toRotationMatrix() を使って AngleAxis オブジェクトを回転行列に変換します。
• 基本的な使い方
  fromRotationMatrix() を使って AngleAxis オブジェクトを作成し、軸と回転角を取得します。

• 可視化
  VTK や OpenGL などの可視化ライブラリを使って、回転の様子を可視化することができます。
• 効率性
  AngleAxis は、回転を表すための効率的な方法の一つです。
• 数値的安定性
  非常に小さな回転や、軸が不定となる場合など、数値的な問題が発生する可能性があります。

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Eigen::AngleAxis::fromRotationMatrix() は、回転行列から軸と回転角のペアに変換する便利な関数ですが、状況によっては他の方法も検討できます。

四元数 (Quaternion) を利用する方法

• デメリット
  
  • 概念がやや抽象的。
  • 計算量はやや多い。
• メリット
  
  • 球面線形補間 (Slerp) などの滑らかな回転補間が容易。
  • Gimbal lock の問題を回避できる。

#include <Eigen/Geometry>

Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
// ... (回転行列を定義)

// 回転行列から四元数に変換
Eigen::Quaterniond quaternion(rotationMatrix);

// 四元数から軸と回転角を取得 (AngleAxisのコンストラクタで)
Eigen::AngleAxisd angleAxis(quaternion);

オイラー角 (Euler Angles) を利用する方法

• デメリット
  
  • Gimbal lock の問題が発生する可能性がある。
  • 回転の順序によって結果が異なる。
• メリット
  
  • 直感的に理解しやすい。

#include <Eigen/Geometry>

Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
// ... (回転行列を定義)

// 回転行列からオイラー角に変換 (Eigenには直接的な関数はないため、自分で実装するか、外部ライブラリを利用)
// ... (オイラー角の計算)

// オイラー角から回転行列を再構築し、AngleAxisに変換
Eigen::Matrix3d rotationMatrixFromEulerAngles = ...; // オイラー角から回転行列を計算
Eigen::AngleAxisd angleAxis = Eigen::AngleAxisd::fromRotationMatrix(rotationMatrixFromEulerAngles);

軸と回転角を直接計算する方法

• デメリット
  
  • 計算が複雑になり、誤りの可能性が増える。
• メリット
  
  • アルゴリズムを完全に制御できる。

#include <Eigen/Geometry>

Eigen::Matrix3d rotationMatrix;
// ... (回転行列を定義)

// 軸と回転角を直接計算 (Rodriguesの回転公式など)
// ... (軸と回転角の計算)

Eigen::AngleAxisd angleAxis(angle, axis);

• 計算量
  計算量を重視する場合は、四元数やオイラー角を利用する方法が効率的です。
• 制御
  アルゴリズムを完全に制御したい場合は、軸と回転角を直接計算する方法が適しています。
• 直感性
  オイラー角は、直感的に理解しやすいですが、Gimbal lock の問題に注意が必要です。
• 回転補間
  Slerp を用いた滑らかな回転補間が必要な場合は、四元数が最適です。

選択のポイント

• 実装の容易さ
  どの方法が実装しやすいのか
• 精度
  どの程度の精度が必要か
• アプリケーション
  どのような用途に使用するのか

• 外部ライブラリ
  Eigen 以外にも、Ceres Solver や Sophus などの最適化や幾何計算のためのライブラリが存在します。
• 数値的安定性
  浮動小数点演算による誤差に注意し、必要に応じて数値的な安定性を考慮したアルゴリズムを選択する必要があります。
• Eigen の他の機能
  Eigen は、 AngleAxis や Quaternion 以外にも、様々な線形代数計算のための機能を提供しています。

• 現在どのようなコードで実装していますか？
• どのような計算の効率性を求めていますか？
• 回転行列からどのような情報を取得したいですか？
• どのようなアプリケーションでEigenを使用していますか？