Eigen3のAngleAxis演算子を理解する：Quaternion変換の代替方法と最適化テクニック
2025-04-26
- この演算子は、クォータニオン
qをAngleAxisオブジェクトに代入し、クォータニオンの回転を角度と軸の表現に変換します。 Eigen::QuaternionBaseは、クォータニオンの基底クラスであり、Eigen::Quaternionなどが継承しています。Eigen::AngleAxisは、3次元回転を角度と回転軸で表現するクラスです。
詳細
-
const QuaternionBase< QuatDerived > &q: 代入するクォータニオンへの定数参照です。QuatDerivedは、クォータニオンの具体的な型（Eigen::Quaternionなど）を表します。
-
処理
- クォータニオン
qの回転を、回転角度と回転軸に変換します。 - 変換された角度と軸を、
AngleAxisオブジェクトの内部変数に格納します。 - クォータニオンが単位クォータニオンでない場合、内部的に正規化します。
- クォータニオンが恒等クォータニオンの場合（回転がない場合）、角度は0、軸は任意の単位ベクトルに設定されます。
- クォータニオン
-
出力
AngleAxisオブジェクト自身への参照を返します。これにより、演算子の連鎖使用が可能になります。
コードの概念的な例
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ())); // Z軸周りに90度回転するクォータニオンを作成
Eigen::AngleAxisd aa;
aa = q; // クォータニオンをAngleAxisに変換して代入
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
「Eigen::AngleAxis::operator= (const QuaternionBase< QuatDerived > &q) は、Eigen3の AngleAxis クラスの代入演算子であり、クォータニオン q を AngleAxis オブジェクトに変換して代入します。クォータニオンは3次元回転を表現する形式であり、AngleAxis は回転を角度と回転軸で表現する形式です。この演算子を使うことで、クォータニオンで表現された回転を、角度と回転軸の形式に変換し、AngleAxis オブジェクトに格納することができます。例えば、クォータニオンで表された回転を、どの軸を中心にどれだけ回転したかを直接的に把握したい場合に便利です。この演算子は、変換された AngleAxis オブジェクト自身への参照を返すため、複数の演算子を連続して使用することができます。」
AngleAxisは、回転を直感的に理解しやすい形式で表現します。- クォータニオンは、ジンバルロックの問題を回避するために、3次元回転を表現する際に広く使用されます。
- Eigen3は、線形代数、幾何学、数値計算のためのC++テンプレートライブラリです。
一般的なエラーとトラブルシューティング
- クォータニオンの正規化エラー
- エラー
入力されたクォータニオンqが単位クォータニオンでない場合、予期しない回転結果やエラーが発生する可能性があります。 - 原因
クォータニオンは、回転を正確に表現するために単位長である必要があります。 - トラブルシューティング
- クォータニオンを代入する前に、
q.normalize()を呼び出して正規化します。 - クォータニオンの生成元を確認し、生成時に正規化されていることを確認します。
q.isNormalized()を使用して、クォータニオンが正規化されているか確認します。
- クォータニオンを代入する前に、
- エラー
- 恒等クォータニオンの処理
- エラー
入力されたクォータニオンqが恒等クォータニオン（回転なし）の場合、AngleAxisの軸が不定になる可能性があります。 - 原因
恒等クォータニオンは、回転角度が0であるため、回転軸を一意に定めることができません。 - トラブルシューティング
- 恒等クォータニオンの場合、
AngleAxisの軸は任意の単位ベクトルに設定されます。必要に応じて、特定の軸を設定します。 - 回転がない場合、
AngleAxisの角度が0であることを確認し、軸の値を無視するか、デフォルトの軸を設定します。
- 恒等クォータニオンの場合、
- エラー
- 型の不一致
- エラー
QuaternionBase< QuatDerived >の型とAngleAxisの型が一致しない場合、コンパイルエラーまたは実行時エラーが発生する可能性があります。 - 原因
Quaternionの型（Quaterniond,Quaternionfなど）とAngleAxisの型（AngleAxisd,AngleAxisfなど）が一致しないと、内部的な型変換で問題が発生する可能性があります。 - トラブルシューティング
QuaternionとAngleAxisの型を一致させます。例えば、Quaterniondを使う場合はAngleAxisdを使います。- 型変換が必要な場合は、明示的に型変換を行います。
- エラー
- 数値的な安定性
- エラー
回転角度が非常に小さい場合、数値的な誤差により、回転軸が不安定になる可能性があります。 - 原因
数値演算の精度制限により、非常に小さい値の計算結果が不安定になることがあります。 - トラブルシューティング
- 回転角度が非常に小さい場合、
AngleAxisの軸の値を無視するか、別の回転表現を使用します。 - 必要に応じて、数値演算の精度を高めるために、
double型を使用します。
- 回転角度が非常に小さい場合、
- エラー
- コンパイラエラー
- エラー
Eigen3ライブラリのインクルードやリンク設定が正しくない場合、コンパイルエラーが発生する可能性があります。 - 原因
Eigen3ライブラリが見つからない、またはコンパイルオプションが正しくない。 - トラブルシューティング
- Eigen3ライブラリが正しくインストールされ、インクルードパスとライブラリパスが設定されていることを確認します。
- コンパイラオプションを確認し、Eigen3ライブラリに必要なオプションが設定されていることを確認します。
- エラー
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
Eigen::Quaterniond q(1, 1, 1, 1); // 正規化されていないクォータニオン
Eigen::AngleAxisd aa;
q.normalize(); // クォータニオンを正規化
aa = q;
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
if (aa.angle() == 0) {
std::cout << "Rotation angle is 0, axis is arbitrary." << std::endl;
}
return 0;
}
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// Z軸周りに90度回転するクォータニオンを作成
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// AngleAxisオブジェクトを作成
Eigen::AngleAxisd aa;
// クォータニオンをAngleAxisに代入
aa = q;
// 角度と軸を表示
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
説明
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));: Z軸周りに90度（π/2ラジアン）回転するクォータニオンqを作成します。Eigen::AngleAxisd aa;:AngleAxisdオブジェクトaaを宣言します。aa = q;: クォータニオンqをAngleAxisオブジェクトaaに代入します。これにより、クォータニオンの回転が角度と軸に変換されます。std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;: 回転角度をラジアンで表示します。std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;: 回転軸を転置して表示します。
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// 恒等クォータニオン（回転なし）を作成
Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond::Identity();
Eigen::AngleAxisd aa;
aa = q;
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
if (aa.angle() == 0) {
std::cout << "Rotation angle is 0, axis is arbitrary." << std::endl;
}
return 0;
}
説明
Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond::Identity();: 恒等クォータニオンqを作成します。aa = q;: クォータニオンqをAngleAxisオブジェクトaaに代入します。if (aa.angle() == 0) { ... }: 回転角度が0の場合、軸は不定であるため、メッセージを表示します。
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// 正規化されていないクォータニオンを作成
Eigen::Quaterniond q(1, 1, 1, 1);
Eigen::AngleAxisd aa;
// クォータニオンを正規化
q.normalize();
aa = q;
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
説明
Eigen::Quaterniond q(1, 1, 1, 1);: 正規化されていないクォータニオンqを作成します。q.normalize();: クォータニオンqを正規化します。aa = q;: 正規化されたクォータニオンqをAngleAxisオブジェクトaaに代入します。
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// double型のクォータニオン
Eigen::Quaterniond qd(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// float型のAngleAxis
Eigen::AngleAxisf aaf;
// 型変換して代入
aaf = qd.cast<float>();
std::cout << "Angle: " << aaf.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aaf.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
Eigen::Quaterniond qd(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));: double型のクォータニオンを作成します。Eigen::AngleAxisf aaf;: float型のAngleAxisを作成します。aaf = qd.cast<float>();: クォータニオンをfloat型にキャストしてAngleAxisに代入します。
- Eigen::AngleAxisd(const Quaterniond& q) コンストラクタの使用
AngleAxisオブジェクトを直接初期化するコンストラクタを使用できます。- この方法は、新しい
AngleAxisオブジェクトを作成する場合に便利です。
- Eigen::Quaterniond::toRotationMatrix() と Eigen::AngleAxisd(const Matrix3d& matrix) の組み合わせ
- クォータニオンを回転行列に変換し、その回転行列から
AngleAxisオブジェクトを作成します。 - 回転行列が必要な場合に便利です。
- クォータニオンを回転行列に変換し、その回転行列から
- 手動での変換
- クォータニオンの成分から角度と軸を計算する数式を直接実装します。
- 特定の要件や最適化が必要な場合に便利です。
- Eigen::AngleAxisd(const Quaterniond& q) コンストラクタの使用
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// コンストラクタを使用してAngleAxisオブジェクトを初期化
Eigen::AngleAxisd aa(q);
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
Eigen::AngleAxisd aa(q);の部分で、クォータニオンqを引数としてAngleAxisdオブジェクトaaを直接初期化します。
- Eigen::Quaterniond::toRotationMatrix() と Eigen::AngleAxisd(const Matrix3d& matrix) の組み合わせ
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// クォータニオンを回転行列に変換
Eigen::Matrix3d rotationMatrix = q.toRotationMatrix();
// 回転行列からAngleAxisオブジェクトを作成
Eigen::AngleAxisd aa(rotationMatrix);
std::cout << "Angle: " << aa.angle() << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << aa.axis().transpose() << std::endl;
return 0;
}
Eigen::AngleAxisd aa(rotationMatrix);で、回転行列rotationMatrixを引数としてAngleAxisdオブジェクトaaを作成します。Eigen::Matrix3d rotationMatrix = q.toRotationMatrix();で、クォータニオンqを回転行列rotationMatrixに変換します。
- 手動での変換
#include <iostream>
#include <Eigen/Geometry>
#include <cmath>
int main() {
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 2, Eigen::Vector3d::UnitZ()));
// クォータニオンの成分を取得
double w = q.w();
double x = q.x();
double y = q.y();
double z = q.z();
// 角度を計算
double angle = 2.0 * acos(w);
// 軸を計算
Eigen::Vector3d axis;
double s = sqrt(1.0 - w * w);
if (s < 1e-6) { // 角度が非常に小さい場合
axis = Eigen::Vector3d::UnitX(); // 任意の軸を設定
} else {
axis.x() = x / s;
axis.y() = y / s;
axis.z() = z / s;
}
std::cout << "Angle: " << angle << " radians" << std::endl;
std::cout << "Axis: " << axis.transpose() << std::endl;
return 0;
}
- この方法では、クォータニオンから角度と軸への変換を直接制御できます。
- 角度が非常に小さい場合、軸が不安定になるため、任意の軸を設定します。
- クォータニオンの成分
w,x,y,zを取得し、角度と軸を数式に基づいて計算します。