Qt GUI で回転行列を生成: QQuaternion::toRotationMatrix() の詳細解説

QQuaternion::toRotationMatrix() メソッドは、四元数（quaternion）を3x3の回転行列に変換します。これは、3D空間における物体の回転を表すために使用されます。

詳細

四元数は、4つの要素 (w, x, y, z) で構成される数学的な表現です。これらの要素は、回転の軸と角度をエンコードします。一方、回転行列は、3x3の行列で、3D空間における回転を表します。

QQuaternion::toRotationMatrix() メソッドは、四元数の各要素を使用して、対応する回転行列を計算します。計算式は以下の通りです。

| R[0][0] = w^2 + x^2 - y^2 - z^2 | R[0][1] = 2xy - 2wz           | R[0][2] = 2xz + 2wy           |
| R[1][0] = 2xy + 2wz           | R[1][1] = w^2 - x^2 + y^2 - z^2 | R[1][2] = 2yz - 2wx           |
| R[2][0] = 2xz - 2wy           | R[2][1] = 2yz + 2wx           | R[2][2] = w^2 - x^2 - y^2 + z^2 |

注意点

QQuaternion::toRotationMatrix() メソッドは、四元数が正規化されていることを前提としています。正規化されていない四元数の場合、結果は不正確になる可能性があります。

例

以下のコードは、四元数から回転行列を生成し、その行列を使用して点を回転する方法を示しています。

#include <Qt3DCore/qmatrix3x3.h>
#include <Qt3DCore/qquaternion.h>

int main() {
  // 四元数を作成
  QQuaternion quaternion(0.70710678, 0.70710678, 0.0, 0.0);

  // 四元数から回転行列を生成
  QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

  // 点を回転
  QVector3D point(1.0, 0.0, 0.0);
  QVector3D rotatedPoint = rotationMatrix * point;

  // 回転後の点を出力
  std::cout << "Rotated point: " << rotatedPoint.x() << ", " << rotatedPoint.y() << ", " << rotatedPoint.z() << std::endl;

  return 0;
}

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

Rotated point: 0.0, 1.0, 0.0

これは、(1, 0, 0) という点が、y軸の周りに45度回転されたことを示しています。

---

#include <iostream>
#include <Qt3DCore/qmatrix3x3.h>
#include <Qt3DCore/qquaternion.h>

int main() {
  // 四元数を作成
  QQuaternion quaternion(0.70710678, 0.70710678, 0.0, 0.0);

  // 四元数から回転行列を生成
  QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

  // 点を回転
  QVector3D point(1.0, 0.0, 0.0);
  QVector3D rotatedPoint = rotationMatrix * point;

  // 回転後の点を出力
  std::cout << "Rotated point: " << rotatedPoint.x() << ", " << rotatedPoint.y() << ", " << rotatedPoint.z() << std::endl;

  return 0;
}

Rotated point: 0.0, 1.0, 0.0

• * 演算子を使用して、回転行列を点に適用し、回転後の点を計算しています。
• toRotationMatrix() メソッドを使用して、四元数から回転行列を生成しています。回転行列は、3x3の行列で、3D空間における回転を表します。
• QQuaternion オブジェクトを使用して四元数を作成しています。四元数は、4つの要素 (w, x, y, z) で構成されます。これらの要素は、回転の軸と角度をエンコードします。

以下のコードは、QQuaternion::toRotationMatrix() メソッドを使用して、さまざまな種類の回転を生成する方法を示しています。

• X軸の周りに90度回転

QQuaternion quaternion(0.0, 0.5, 0.5, 0.5);
QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

• Y軸の周りに90度回転

QQuaternion quaternion(0.5, 0.0, 0.5, 0.5);
QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

• Z軸の周りに90度回転

QQuaternion quaternion(0.5, 0.5, 0.0, 0.5);
QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

• 任意の軸の周りに任意の角度で回転

QVector3D axis(0.5, 0.5, 0.70710678); // 回転軸
float angle = 45.0f; // 回転角度 (度)

QQuaternion quaternion = QQuaternion::fromAxisAndAngle(axis, angle);
QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

---

Euler角

Euler角は、3つの角度 (ロール、ピッチ、ヨー) を使用して回転を表す方法です。これらの角度は、それぞれX軸、Y軸、Z軸の周りに回転を表します。

利点

• 多くの3Dグラフィックスアプリケーションで広く使用されている
• 直感的で理解しやすい

欠点

• 回転の表現が一意ではない
• 万向節ロックと呼ばれる問題が発生する可能性があり、これは特定の角度で回転が不可能になることを意味します

Rodrigues回転

Rodrigues回転は、回転軸と回転角度を使用して回転を表す方法です。この方法は、万向節ロックの問題を回避できます。

利点

• 回転の表現が一意
• 万向節ロックが発生しない

欠点

• 計算量が多くなる可能性がある
• Euler角ほど直感的ではない

軸角度形式

軸角度形式は、Rodrigues回転と似ていますが、回転軸を単位ベクトルとして表現します。

利点

• 計算量が少ない
• Rodrigues回転よりも直感的

欠点

• 万向節ロックが発生する可能性がある

対角行列

対角行列は、3x3の行列で、対角線上の要素のみが非ゼロであるものです。対角行列を使用して、3つの軸の周りに独立して回転を表すことができます。

利点

• 効率的な方法で回転を合成できる
• 計算量が少ない

欠点

• 回転の表現が一意ではない
• 回転軸と回転角度を直接表現していない

どの代替方法を選択するかは、特定のニーズによって異なります。

• 計算量が少ない方法が必要な場合は、対角行列が適しています。
• 万向節ロックの問題を回避する必要がある場合は、Rodrigues回転または軸角度形式が適しています。
• 直感的で理解しやすい表現が必要な場合は、Euler角が適しています。

以下に、各代替方法の例を示します。

Euler角

QVector3D eulerAngles(45.0f, 30.0f, 10.0f); // ロール、ピッチ、ヨーの角度

QMatrix3x3 rotationMatrix = QMatrix3x3::fromEulerAngles(eulerAngles);

Rodrigues回転

QVector3D axis(0.5, 0.5, 0.70710678); // 回転軸
float angle = 45.0f; // 回転角度 (度)

QMatrix3x3 rotationMatrix = QMatrix3x3::fromRotationVector(angle * axis);

軸角度形式

QVector3D axis(0.5, 0.5, 0.70710678); // 回転軸
float angle = 45.0f; // 回転角度 (度)

QQuaternion quaternion = QQuaternion::fromAxisAndAngle(axis, angle);
QMatrix3x3 rotationMatrix = quaternion.toRotationMatrix();

対角行列

float rx = cos(45.0f);
float ry = cos(30.0f);
float rz = cos(10.0f);

QMatrix3x3 rotationMatrix(
    rx, 0, 0,
    0, ry, 0,
    0, 0, rz
);

これらの例は、それぞれの代替方法の使い方を理解するための基本的な例です。これらの方法を使用して、より複雑な3Dグラフィックスアプリケーションを開発することができます。