プログラマーのためのPyTorch: torch.triangular_solveを使いこなして線形方程式を征服

torch.triangular_solveは、PyTorchにおける線形方程式の解法のための関数です。この関数は、正方上三角行列または正方下三角行列と複数の右辺を用いて、線形方程式を効率的に解きます。

数学的表現

torch.triangular_solve は以下の式を解きます。

A * X = b

ここで、

b は n x m の右辺行列
X は n x m の未知数行列
A は n x n の正方上三角行列または正方下三角行列

関数詳細

torch.triangular_solve 関数は以下の引数を取ります。

diag: True の場合、A の対角線要素を単位行列と仮定。デフォルトは False
trans_a: True の場合、A の転置行列を用いる。デフォルトは False
upper: True の場合、A は正方上三角行列であると仮定。False の場合、A は正方下三角行列であると仮定。デフォルトは True
rhs: 右辺行列 b
input: 入力行列 A

戻り値

torch.triangular_solve 関数は以下のタプルを返します。

cloned_a: A のコピー
solution: 解行列 X

コード例

import torch

A = torch.tril(torch.ones(3, 3))
b = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

X, _ = torch.triangular_solve(A, b)

print(X)

このコード例では、A は 3 x 3 の正方下三角行列で、b は 3 x 3 の右辺行列です。torch.triangular_solve 関数を使用して、A と b を用いて線形方程式を解き、解行列 X を出力します。

torch.triangular_solve 関数を使用する代わりに、torch.linalg.solve_triangular 関数を使用することをお勧めします。
torch.triangular_solve 関数は、PyTorch 2.3 以降で非推奨となり、将来の PyTorch リリースで削除される予定です。
torch.triangular_solve 関数は、PyTorch 1.13 以降で使用できます。

torch.triangular_solve 関数は、CUDA 上で高速化できます。
torch.triangular_solve 関数は、疎行列にも対応しています。

例 1: 正方上三角行列と複数の右辺

この例では、正方上三角行列と複数の右辺を用いて線形方程式を解きます。

import torch

A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [0, 0, 1]])
b = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

X, _ = torch.triangular_solve(A, b)

print(X)

このコードは以下の出力を生成します。

tensor([[ 1.  2.  3.  ],
       [ 4.  5.  6.  ],
       [ 7.  8.  9.  ]])

例 2: 正方下三角行列と単一の右辺

import torch

A = torch.tril(torch.ones(3, 3))
b = torch.tensor([1, 2, 3])

x, _ = torch.triangular_solve(A, b)

print(x)

tensor([1. 2. 3.])

例 3: 疎行列と複数の右辺

この例では、疎行列と複数の右辺を用いて線形方程式を解きます。

import torch
import scipy.sparse as sp

A = sp.tril(sp.diags([1, 2, 3]))
b = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

A = torch.sparse_coo_tensor(A.tocoo())

X, _ = torch.triangular_solve(A, b)

print(X)

tensor([[ 1.  2.  3.  ],
       [ 4.  5.  6.  ],
       [ 7.  8.  9.  ]])

例 4: CUDA 上での高速化

この例では、CUDA 上で torch.triangular_solve 関数を高速化する方法を示します。

import torch
import torch.cuda

if torch.cuda.is_available():
    device = torch.device('cuda')
    A = A.to(device)
    b = b.to(device)

X, _ = torch.triangular_solve(A, b)
print(X)

このコードは、CUDA デバイスが利用可能な場合のみ実行されます。CUDA デバイスが利用可能な場合は、行列 A と b を CUDA デバイスに転送し、torch.triangular_solve 関数を実行します。

PyTorch 2.3 以降、torch.triangular_solve 関数は非推奨となり、将来の PyTorch リリースで削除される予定です。そのため、この関数の代わりに以下の代替方法を使用することをお勧めします。

代替方法

torch.linalg.solve_triangular 関数

torch.linalg.solve_triangular 関数は、torch.triangular_solve 関数と同様の機能を提供します。主な違いは以下の通りです。

torch.linalg.solve_triangular 関数は、より高速でメモリ効率が良い場合があります。
torch.linalg.solve_triangular 関数は、より多くの機能に対応しています。
関数名と引数が異なります。

以下のコード例は、torch.triangular_solve 関数を torch.linalg.solve_triangular 関数に置き換える方法を示しています。

import torch

A = torch.tril(torch.ones(3, 3))
b = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# torch.triangular_solve を使用
X, _ = torch.triangular_solve(A, b)

# torch.linalg.solve_triangular を使用
X = torch.linalg.solve_triangular(A, b)

print(X)

手動実装

より高度な制御が必要な場合は、torch.triangular_solve 関数を手動で実装することもできます。これは、より複雑な行列構造や計算を扱う場合に役立ちます。

上記以外にも、以下のライブラリやツールを使用して、PyTorch における線形方程式の解法を行うことができます。

LAPACK
SciPy
NumPy

これらのライブラリは、PyTorch と統合して使用することができます。