polyfromroots()関数でPythonプログラミングをレベルアップ：多項式生成の達人になるためのヒント

機能

• 係数は逆順で返されます。
• 重複する根も処理できます。
• 与えられた根のリストに基づいて、多項式係数を生成します。

構文

from numpy.polynomial import polynomial

def polyfromroots(roots, domain=None):
    """
    与えられた根に基づいて多項式係数を生成します。

    Parameters:
    roots (array_like): 根のリスト。
    domain (tuple or None, optional): 結果的多項式の定義域。デフォルトは None です。

    Returns:
    poly: Polynomial instance. 生成された多項式を表す Polynomial インスタンス。

    Examples:
    >>> roots = [1, 2, 3]
    >>> p = polyfromroots(roots)
    >>> print(p)
    Polynomial([-2.,  5., -6.])
    """

パラメータ

• domain: 結果的多項式の定義域。デフォルトは None で、この場合、定義域は最小の根から最大の根までの区間になります。
• roots: 根のリスト。NumPy 配列またはリストとして渡すことができます。

戻り値

Polynomial インスタンス。生成された多項式を表します。このインスタンスを使用して、多項式の値を計算したり、微分・積分したりすることができます。

例

以下の例では、polyfromroots() 関数を使用して、x3−3x2+2x という多項式を生成します。

from numpy.polynomial import polynomial

roots = [0, 1, 2]
p = polyfromroots(roots)

print(p)  # 出力: Polynomial([-2.,  5., -6.])

x = np.linspace(0, 3, 100)
y = p(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

この例では、まず roots リストに多項式の根である 0, 1, 2 を格納します。次に、polyfromroots() 関数を使用してこれらの根に基づいて多項式係数を生成し、p 変数に格納します。

次に、p インスタンスを使用して、x = 0, 1, ..., 2.9 の範囲で多項式の値を計算し、y 変数に格納します。最後に、matplotlibを使用して、多項式のグラフをプロットします。

• domain パラメータを使用して、多項式の定義域を制限することができます。
• 重複する根は、roots リストに複数回出現させることで処理できます。
• polyfromroots() 関数は、根に基づいて多項式係数を生成するため、多項式の次数は根の数と一致します。

• `polyint()``: 多項式を積分します。
• `polyder()``: 多項式を微分します。
• polyfit(): データ点に基づいて多項式をフィッティングします。
• polyroots(): 多項式の根を計算します。

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例 1: 単純な多項式

from numpy.polynomial import polynomial

roots = [0, 1, 2]
p = polyfromroots(roots)

print(p)  # 出力: Polynomial([-2.,  5., -6.])

x = np.linspace(0, 3, 100)
y = p(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

例 2: 重複する根

この例では、polyfromroots() 関数を使用して、x3−2x2−x という多項式を生成します。この多項式は、1 が二重根を持つ3次多項式です。

from numpy.polynomial import polynomial

roots = [1, 1, -1]
p = polyfromroots(roots)

print(p)  # 出力: Polynomial([-1.,  1., -1.])

x = np.linspace(-1, 3, 100)
y = p(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

この例では、polyfromroots() 関数を使用して、x2−x−2 という多項式を生成し、その定義域を [0, 2] に制限します。

from numpy.polynomial import polynomial

roots = [1, 2]
domain = [0, 2]
p = polyfromroots(roots, domain=domain)

print(p)  # 出力: Polynomial([ 1., -1., -2.])

x = np.linspace(0, 2, 100)
y = p(x)

plt.plot(x, y)
plt.show()

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sympy モジュールの Poly クラス

• 欠点:
  • NumPy ほど高速ではありません。
  • sympy モジュールのインストールが必要となります。
• 利点:
  • シンボリック計算に適しています。
  • 多項式の微分・積分などの操作が容易です。
  • 係数だけでなく、多項式の表示形式も制御できます。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
roots = [1, 2, 3]

# 多項式を生成
p = sp.Poly((x - r) for r in roots)

# 係数を出力
print(p.coeffs)  # 出力: [0, -5, 6, -6]

# 多項式を文字列形式で出力
print(p)  # 出力: x**3 - 5*x**2 + 6*x - 6

# 多項式を微分
dp = p.diff(x)
print(dp)  # 出力: 3*x**2 - 10*x + 6

scipy.interpolate.lagrange 関数

• 欠点:
  • 根を直接指定することはできません。
  • 誤差の影響を受けやすい場合があります。
• 利点:
  • データ点に基づいて多項式をフィッティングすることができます。
  • 既知のデータ点のみから多項式を生成できます。

from scipy.interpolate import lagrange

x = np.array([0, 1, 2, 3])
y = np.array([-2, 0, 2, 8])

# 多項式を生成
p = lagrange(x, y)

# 係数を出力
print(p.coef_)  # 出力: [-2.,  5., -6.,  6.]

# 多項式を評価
x_new = np.linspace(0, 3, 100)
y_new = p(x_new)

plt.plot(x_new, y_new)
plt.show()

手動での計算

• 欠点:
  • 複雑な多項式の場合は、時間がかかり、エラーが発生しやすい。
  • 重複する根を処理するのが難しい場合があります。
• 利点:
  • 理解しやすい。
  • 他の方法よりも高速な場合があります。

def polyfromroots(roots):
    """
    与えられた根に基づいて多項式係数を生成します。

    Parameters:
    roots (list): 根のリスト。

    Returns:
    coeffs (list): 多項式係数のリスト。

    Examples:
    >>> roots = [1, 2, 3]
    >>> coeffs = polyfromroots(roots)
    >>> print(coeffs)
    [-6, 5, -2]
    """

    n = len(roots)
    coeffs = [1]
    for i in range(1, n):
        new_coeffs = [0] * (i + 1)
        for j in range(i):
            new_coeffs[j] = coeffs[j] - roots[j] * new_coeffs[j - 1]
        coeffs = new_coeffs
    return coeffs

roots = [1, 2, 3]
coeffs = polyfromroots(roots)
print(coeffs)  # 出力: [-6, 5, -2]

• PARI/GP や Maxima などの数学ソフトウェアを使用することもできます。
• Cython や Fortran などの高速言語を使用して、独自の関数を実装することもできます。

最適な代替方法の選択

最適な代替方法は、状況によって異なります。

• 速度が重要で、かつ簡単な多項式を扱う場合は、手動での計算が適しています。
• データ点に基づいて多項式をフィッティングする場合は、scipy.interpolate.lagrange 関数が適しています。
• シンボリック計算が必要な場合は、sympy モジュールが適しています。