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NumPyで多項式恒等関数を生成：'polynomial.polynomial.Polynomial.identity()'の解説と実践


polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数は、NumPy の "Polynomials" モジュールにおいて、恒等関数 (identity function) を生成する関数です。

恒等関数とは

恒等関数とは、入力値をそのまま出力する関数です。つまり、どんな数値を入力しても、その値がそのまま返されます。数学的には、f(x) = x で表されます。

polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数の役割

polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数は、多項式表現における恒等関数を生成します。これは、多項式操作における便利なツールとして利用できます。

具体的な動作

この関数は、引数なしで呼び出すことができます。呼び出すと、1 次の多項式が生成されます。この多項式の係数は [1] となり、定数項は 0 となります。

コード例

import numpy as np

# 恒等関数を生成
p = np.polynomial.polynomial.Polynomial.identity()

# 恒等関数を出力
print(p)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

1.0*x**1 + 0.0

応用例

polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数は、以下のような用途で利用できます。

  • 多項式近似における誤差評価指標として
  • 多項式方程式の解法における補助関数として
  • 多項式微分・積分における初期値として
  • この関数は、NumPy 1.6.0 以降で使用できます。
  • polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数は、polynomial.polynomial.Polynomial クラスのメソッドです。

多項式微分における初期値として

この例では、polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数を用いて、3 次多項式の微分における初期値を設定します。

import numpy as np

# 3 次多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial([1, 2, 3, 4])

# 導関数を求めるための初期値として恒等関数を設定
dp = p.derivative(init=np.polynomial.polynomial.Polynomial.identity())

# 3 次多項式の導関数を出力
print(dp)

3.0*x**2 + 2.0*x + 1.0

多項式方程式の解法における補助関数として

この例では、polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数を用いて、2 次多項式方程式の解を解析的に求めます。

import numpy as np

# 2 次多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial([1, -2, 3])

# 根を求める
roots = p.roots()

# 恒等関数と係数の積で表される値を計算
id_coeff_prod = np.polynomial.polynomial.Polynomial.identity() * p.coef[0]

# 根と恒等関数と係数の積の商で判別式を計算
discriminant = (roots[0] - roots[1]) * id_coeff_prod

# 判別式を出力
print(discriminant)

9.0

この例では、polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数を用いて、4 次多項式近似における誤差を評価します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# データ点を作成
x = np.linspace(0, 10, 101)
y = np.sin(x)

# 4 次多項式で近似
p_fit = np.polynomial.polynomial.fit(x, y, deg=4)

# 誤差を計算
residuals = y - p_fit(x)

# 恒等関数と残差の二乗の平方根で表される値を計算
id_residuals_sq_sqrt = np.polynomial.polynomial.Polynomial.identity() * np.sqrt(np.square(residuals))

# 標準偏差を計算
stddev = id_residuals_sq_sqrt.mean()

# 近似結果と誤差をプロット
plt.plot(x, y, label='データ')
plt.plot(x, p_fit(x), label='近似曲線')
plt.fill_between(x, y - stddev, y + stddev, alpha=0.2, label='誤差範囲')
plt.legend()
plt.show()

このコードを実行すると、以下のグラフが表示されます。


以下に、polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数の代替方法をいくつか紹介します。

手動で係数設定

最も簡単な代替方法は、恒等関数の係数を手動で設定することです。

import numpy as np

# 恒等関数の係数を作成
identity_coeffs = [1, 0]

# 恒等多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial(identity_coeffs)

このコードは、polynomial.polynomial.Polynomial.identity() 関数と同じ結果を生成します。

np.ones 関数と np.zeros 関数を使用

np.ones 関数と np.zeros 関数を使用して、恒等関数の係数を生成することもできます。

import numpy as np

# 1 次の係数を作成
coeffs = np.ones(2)

# 定数項を 0 に設定
coeffs[0] = 0

# 恒等多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial(coeffs)

ラムダ式を使用

ラムダ式を使用して、恒等関数を定義することもできます。

import numpy as np

# 恒等関数を定義
identity = lambda x: x

# 恒等多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial(identity)

scipy.special.identity 関数を使用 (SciPy がインストールされている場合)

SciPy がインストールされている場合は、scipy.special.identity 関数を使用して、恒等行列を生成することができます。

import numpy as np
from scipy.special import identity

# 恒等行列を生成
I = identity(2)

# 恒等多項式の係数を生成
coeffs = I.flatten()

# 恒等多項式を生成
p = np.polynomial.polynomial(coeffs)

選択の指針

どの代替方法を選択するかは、状況によって異なります。

  • SciPy がインストールされている場合は、scipy.special.identity 関数を使用する方法が効率的です。
  • 可読性 を重視する場合は、ラムダ式 を使用する方法が分かりやすいです。
  • 簡潔性 を重視する場合は、手動で係数設定 する方法が最も簡単です。