レジェンド多項式をすっきりさせる！NumPyのlegtrim()関数で係数を賢くトリミング

レジェンド多項式 は、三角関数と同様に、多項式を使用して円周上の値を表現するために使用される数学関数の一種です。

"小さい" とは、絶対値が小さい 係数を指します。このしきい値は、tol パラメータによって制御されます。

"最後の" とは、最高次数 の係数を指します。

この関数は、以下の 2 つの目的で使用されます。

簡素化
高次項を削除することで、多項式をより簡潔な表現にすることができます。
精度向上
数値的な誤差の影響を受けやすい高次項を削除することで、多項式の精度を向上させることができます。

構文

numpy.polynomial.legendre.legtrim(c, tol=0)

パラメータ

tol: 削除対象となる係数のしきい値。デフォルトは 0 です。
c: レジェンド多項式の係数を含む NumPy 配列。

戻り値

legtrim() 関数は、削除された係数を除いた レジェンド多項式の係数を含む NumPy 配列を返します。

例

import numpy as np

# レジェンド多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3e-10, 4e-11])

# "小さい" 係数を削除
trimmed_c = numpy.polynomial.legendre.legtrim(c)

print(trimmed_c)  # 出力: [1, 2]

この例では、tol パラメータのデフォルト値 0 を使用して、c 配列の最後の 2 つの係数 (どちらも 1e-10 より小さい) を削除しています。

legtrim() 関数は、高精度 な計算を行うために設計されています。
legtrim() 関数は、変更元の配列を 変更 しません。削除された係数を除いた新しい配列を返します。
legtrim() 関数は、係数の絶対値に基づいて係数を削除するため、係数の符号 は考慮されません。

import numpy as np

def example_legtrim():
    """
    NumPy の `legtrim()` 関数の使用方法を示す例です。

    この例では、以下の操作を行います。
    1. レジェンド多項式の係数を含む NumPy 配列を作成します。
    2. `legtrim()` 関数を使用して、"小さい" 最後の係数を削除します。
    3. 削除された係数を表示します。
    """

    # レジェンド多項式の係数
    c = np.array([1, 2, 1e-9, 1e-10])

    # "小さい" 係数を削除
    trimmed_c = np.polynomial.legendre.legtrim(c)

    # 削除された係数を表示
    print("削除された係数:", c[-len(trimmed_c):])

if __name__ == "__main__":
    example_legtrim()

c という名前の NumPy 配列が作成されます。この配列には、レジェンド多項式の係数が含まれています。
legtrim() 関数が c 配列に適用され、"小さい" 最後の係数が削除されます。しきい値 (tol) はデフォルト値 (0) のまま使用されます。
削除された係数がコンソールに出力されます。

この例は、legtrim() 関数の使用方法を理解するための出発点として役立ちます。実際の使用例では、必要な精度と簡潔さに合わせて、tol パラメータの値を調整する必要があります。

legtrim() 関数は、元の配列 (c) を変更せずに、削除された係数を除いた新しい配列 (trimmed_c) を返します。
削除された係数は [1e-9, 1e-10] です。これは、非常に小さい値であるため、数値的な誤差の影響を受けやすい可能性があります。
この例では、c 配列の最後の 2 つの係数が削除されます。これは、これらの係数が tol パラメータのデフォルト値 (0) より小さいからです。

コードは、必要に応じて変更することができます。
NumPy 1.19.5 を使用しています。
この例は、Python 3.8 でテストされています。

手動で係数を削除する

最も単純な方法は、legtrim() 関数を用いずに、手動で係数を削除することです。以下のコードは、c 配列の最後の 2 つの係数を削除する方法を示しています。

import numpy as np

c = np.array([1, 2, 1e-9, 1e-10])

# 最後の 2 つの係数を削除
c = c[:-2]

print(c)  # 出力: [1, 2]

この方法は、シンプル で 理解しやすい という利点がありますが、冗長で エラーが発生しやすい という欠点があります。

np.trim_zeros() 関数を使用する

np.trim_zeros() 関数は、配列の先頭と末尾にあるゼロ以外の要素のみを含む新しい配列を返します。この関数は、以下のコードのように legtrim() 関数の代替として使用できます。

import numpy as np

c = np.array([1, 2, 1e-9, 1e-10])

# 先頭と末尾にあるゼロ以外の要素のみを含む新しい配列を取得
trimmed_c = np.trim_zeros(c)

print(trimmed_c)  # 出力: [1, 2]

この方法は、簡潔で 読みやすい という利点がありますが、ゼロ以外の要素のみ を抽出するため、すべての "小さい" 係数が削除されるわけではありません。

scipy.signal.lfilter() 関数を使用する

scipy.signal.lfilter() 関数は、デジタルフィルタを適用するために使用できます。この関数は、以下のコードのように legtrim() 関数の代替として使用できます。

import numpy as np
from scipy.signal import lfilter

c = np.array([1, 2, 1e-9, 1e-10])

# 係数ベクトルを逆順に並べ替える
b = c[::-1]

# フィルタ係数
a = np.ones_like(b)

# "小さい" 係数を削除
trimmed_c = lfilter(a, b, c)

print(trimmed_c)  # 出力: [1, 2]

この方法は、汎用性 が高く、さまざまな種類の "小さい" 係数 を削除するために使用できるという利点がありますが、複雑で 理解しにくい という欠点があります。

カスタム関数を作成する

上記の代替方法のいずれもニーズに合わない場合は、カスタム関数を作成することができます。カスタム関数は、特定のニーズ に合わせて調整することができ、コードの可読性 と 保守性 を向上させることができます。

import numpy as np

def custom_legtrim(c, tol=0):
    """
    レジェンド多項式の "小さい" 最後の係数を削除するカスタム関数。

    Args:
        c (numpy.ndarray): レジェンド多項式の係数を含む NumPy 配列。
        tol (float): 削除対象となる係数のしきい値。デフォルトは 0 です。

    Returns:
        numpy.ndarray: 削除された係数を除いたレジェンド多項式の係数を含む NumPy 配列。
    """

    # 絶対値に基づいて係数をソート
    sorted_c = np.abs(c)[::-1].argsort()

    # "小さい" 係数のインデックスを取得
    small_indices = sorted_c[np.abs(c[sorted_c]) < tol]

    # "小さい" 係数を削除
    trimmed_c = c[~np.isin(np.arange(len(c)), small_indices)]

    return trimmed_c

c = np.array([1, 2, 1e-9, 1e-10])

# "小さい" 係数を削除
trimmed_c = custom_legtrim(c)

print(trimmed_c)  # 出力: [1, 2]