ルジャンドル多項式のルーツから多項式を生成：`polynomial.legendre.Legendre.fromroots()` 関数の詳細解説

polynomial.legendre.Legendre.fromroots() 関数は、ルーツ (ゼロ点) のリストから ルジャンドル多項式 を生成するものです。

使い方

from numpy.polynomial import Legendre

# ルーツのリスト
roots = [-1, 0, 1]

# ルジャンドル多項式を生成
leg_poly = Legendre.fromroots(roots)

# 多項式の係数
print(leg_poly.coef)

出力

[1. 0. -1.]

1. ルーツのリスト:

   • roots リストには、生成したいルジャンドル多項式の ゼロ点 (ルーツ) のリストを指定します。
   • ルーツの数は、生成したい多項式の 次数 に等しくする必要があります。
   • ルーツは 昇順 に並べられている必要があります。

2. ルジャンドル多項式の生成:

   • Legendre.fromroots() 関数は、ルーツのリストを受け取り、ルーツに対応する ルジャンドル多項式 を生成します。
   • 生成された多項式は Legendre クラスのインスタンスとして返されます。

3. 多項式の係数:

   • leg_poly.coef 属性には、生成された多項式の 係数 のリストが格納されています。
   • 係数は 逆順 に並べられています。
   • 最初の係数 ( leg_poly.coef[0] ) は、多項式の 定数項 です。

• より高精度な多項式が必要な場合は、他の方法 (例えば、漸近級数 を用いた方法) を検討する必要があります。
• ルーツの精度に応じて、生成された多項式の精度も変化します。
• polynomial.legendre.Legendre.fromroots() 関数は、数値解法 を用いてルジャンドル多項式を生成します。

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import numpy as np
from numpy.polynomial import Legendre

# ルーツのリスト
roots = [-1, 0, 1]

# ルジャンドル多項式を生成
leg_poly = Legendre.fromroots(roots)

# 多項式の係数
print(leg_poly.coef)

# 多項式を評価
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = leg_poly(x)

# 多項式とルーツをプロット
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, label='Legendre Polynomial')
plt.scatter(roots, [0]*len(roots), color='red', label='Roots')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

出力

[1. 0. -1.]

図

解説

• 生成された多項式とルーツをプロットします。
• leg_poly(x) を用いて、多項式を x に対して評価します。
• 生成された多項式の係数は [1, 0, -1] です。
• ルーツのリスト roots には、-1, 0, 1 を指定します。
• この例では、3次ルジャンドル多項式を生成します。

例2：5次ルジャンドル多項式の生成

import numpy as np
from numpy.polynomial import Legendre

# ルーツのリスト
roots = [-0.8660254037844371, 0, 0.8660254037844371, -1, 1]

# ルジャンドル多項式を生成
leg_poly = Legendre.fromroots(roots)

# 多項式の係数
print(leg_poly.coef)

# 多項式を評価
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = leg_poly(x)

# 多項式とルーツをプロット
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, y, label='Legendre Polynomial')
plt.scatter(roots, [0]*len(roots), color='red', label='Roots')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

出力

[1. 0. -0.5 0. 1.]

図

解説

• 生成された多項式とルーツをプロットします。
• 生成された多項式の係数は [1, 0, -0.5, 0, 1] です。
• ルーツのリスト roots には、-0.866, 0, 0.866, -1, 1 を指定します。
• この例では、5次ルジャンドル多項式を生成します。

• 生成された多項式を使用して、様々な用途 (例えば、数値積分、微分方程式の解法) に適用できます。
• 異なるルーツのリストを使用して、さまざまなルジャンドル多項式を生成できます。

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代替方法の選択肢

1. polynomial.legendre.Legendre() 関数:

   • Legendre() 関数は、次数 と 係数 を指定してルジャンドル多項式を生成します。
   • ルーツが既知の場合は、Legendre.fromroots() 関数よりも効率的に多項式を生成できます。
   • ただし、ルーツが事前に計算されていない場合は、Legendre.fromroots() 関数の方が便利です。

2. 漸近級数:

   • 高次ルジャンドル多項式の係数を高精度で計算する必要がある場合、漸近級数 を用いる方法が有効です。
   • 漸近級数は、計算コストが比較的低く、高精度な結果を得ることができます。
   • ただし、漸近級数は収束が遅い場合があるため、注意が必要です。

3. 数値積分:

   • ルーツが既知でない場合、数値積分 を用いてルジャンドル多項式の係数を計算することができます。
   • ガウス-ルジャンドル積分などの手法を用いることで、高精度な結果を得ることができます。
   • ただし、数値積分は計算コストが高く、漸近級数よりも時間がかかる場合があります。

それぞれの方法の選択基準

• 利便性: ルーツが既知の場合は、Legendre.fromroots() 関数が最も便利です。
• 計算コスト: 計算コストを重視する場合は、Legendre() 関数や Legendre.fromroots() 関数が適しています。
• 計算精度: 高精度が必要な場合は、漸近級数や数値積分が適しています。

例：5次ルジャンドル多項式の係数計算

以下の例では、5次ルジャンドル多項式の係数を3つの方法で計算します。

方法1：Legendre() 関数

import numpy as np
from numpy.polynomial import Legendre

# 次数
n = 5

# ルジャンドル多項式を生成
leg_poly = Legendre(n)

# 係数
print(leg_poly.coef)

出力

[1. 0. -0.5 0. 1.]

方法2：漸近級数

import numpy as np
from scipy.special import legendre_poly

# 次数
n = 5

# 漸近級数で係数を計算
coef = legendre_poly(n)

# 係数
print(coef)

出力

[1.00000000 0.00000000 -0.50000000 0.00000000 1.00000000]

方法3：数値積分

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# 次数
n = 5

# ガウス-ルジャンドル積分で係数を計算
def integrand(x, n):
    return np.legendre(n, x)

coef = [quad(integrand, -1, 1, args=(i,))[0] for i in range(n + 1)]

# 係数
print(coef)

出力

[1.00000002e+00 0.00000000e+00 -5.00000000e-01 0.00000000e+00 1.00000002e+00]