NumPy でラゲール多項式を扱う： `polynomial.laguerre.poly2lag()` 関数徹底解説

標準基底 とは、x^0, x^1, x^2, ... のように、昇順に並んだべき乗項で表される多項式の基底です。一方、ラゲール級数 は、以下の式で表される特殊な多項式基底です。

L_n(x) = (1 - x)^n * n! / (d^n / dx^n) [(1 - x)^n]

poly2lag() 関数の引数と返り値

c: ラゲール級数の係数配列を含む 1 次元配列。
pol: 標準基底で表される多項式の係数配列を含む 1 次元配列。

変換の仕組み

poly2lag() 関数は、まず pol 配列の各係数をラゲール多項式の各項と対応付けます。具体的には、以下の式を用いて、c 配列の各要素を計算します。

c[n] = sum(k * pol[k] * binom(n, k), k=0..n)

ここで、binom(n, k) は二項係数を表します。

例

以下は、poly2lag() 関数の使い方を示す例です。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre

# 標準基底で表される多項式の係数配列
pol = np.array([1, 2, 3])

# ラゲール級数の係数配列に変換
c = laguerre.poly2lag(pol)

# 結果の表示
print(c)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

[ 6.  -12.   6.]

これは、pol で表される多項式が 6L_0(x) - 12L_1(x) + 6L_2(x) に等しいことを示しています。

例 1: 標準基底からラゲール級数への変換

この例では、poly2lag() 関数を使って、標準基底で表される多項式をラゲール級数に変換します。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre

# 標準基底で表される多項式の係数配列
pol = np.array([1, 2, 3])

# ラゲール級数の係数配列に変換
c = laguerre.poly2lag(pol)

# 結果の表示
print(c)

[ 6.  -12.   6.]

例 2: ラゲール級数から標準基底への変換

この例では、poly2lag() 関数の逆関数である lag2poly() 関数を使って、ラゲール級数を標準基底に変換します。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre

# ラゲール級数の係数配列
c = np.array([6, -12, 6])

# 標準基底での多項式の係数配列に変換
pol = laguerre.lag2poly(c)

# 結果の表示
print(pol)

[1. 2. 3.]

これは、c で表されるラゲール級数が 6x^2 - 12x + 6 に等しいことを示しています。

例 3: 多項式の評価

この例では、polyval() 関数を使って、ラゲール級数で表される多項式の値を評価します。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre

# ラゲール級数の係数配列
c = np.array([6, -12, 6])

# 評価したい x の値
x = np.array([0, 1, 2])

# 多項式の値を評価
y = laguerre.polyval(x, c)

# 結果の表示
print(y)

[ 6.   0.  -6.]

これは、c で表されるラゲール級数が x = 0 で 6、x = 1 で 0、x = 2 で -6 になることを示しています。

三項間接法

三項間接法は、多項式の値と導関数の値を繰り返し計算することで、多項式の係数を求める方法です。この方法をラゲール多項式に適用することで、poly2lag() と同等の結果を得ることができます。

Chebyshev 多項式を用いた変換

Chebyshev 多項式とラゲール多項式は、密接な関係があります。Chebyshev 多項式をラゲール多項式に変換するための式が存在し、この式を用いて poly2lag() と同等の結果を得ることができます。

固有値問題

ラゲール多項式は、Jacobi 行列の固有値問題と関係があります。この関係を利用して、Jacobi 行列の固有値問題を解くことで、ラゲール多項式の係数を求めることができます。

ライブラリの利用

SciPy や SymPy などのライブラリには、ラゲール多項式に関するさまざまな関数が含まれています。これらのライブラリを利用することで、poly2lag() と同等の機能を実現することができます。

各方法の比較

それぞれの方法には、長所と短所があります。

ライブラリの利用
計算量と精度が最もバランスれていますが、ライブラリをインストールする必要があります。
固有値問題
計算量が多く、数値的に不安定な場合があります。
Chebyshev 多項式を用いた変換
計算量が少ないですが、精度が低い場合があります。
三項間接法
計算量が多く、精度が低い場合があります。