PyTorchのTensorで連立方程式を解く: torch.Tensor.triangular_solveの解説
この関数は以下の式で表される連立方程式を解きます。
A * X = b
ここで、
bはn x mの行列で、右辺ベクトルを格納します。Xはn x mの行列で、解ベクトルを格納します。Aはn x nの正方行列で、上三角行列または下三角行列である必要があります。
torch.Tensor.triangular_solve の引数は次のとおりです。
unitriangular(オプション):Trueの場合、A は単位三角行列であると仮定します。False(デフォルト) の場合、A は一般の三角行列であると仮定します。trans(オプション):Trueの場合、A の転置行列を用いて連立方程式を解きます。False(デフォルト) の場合、A をそのまま用いて連立方程式を解きます。upper(オプション):True(デフォルト) の場合、A は上三角行列であると仮定します。Falseの場合、A は下三角行列であると仮定します。b: 右辺ベクトル bA: 正方行列 A
X: 解ベクトルを格納するn x mの行列
例
以下の例では、上三角行列 A と右辺ベクトル b を用いて連立方程式を解き、解ベクトル X を計算します。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
X, _ = torch.triangular_solve(b, A)
print(X)
このコードを実行すると、以下の出力が得られます。
tensor([[ 1. 2. 3.5],
[ 0. 1. 1.5],
[ 0. 0. 0.8333]])
この例では、torch.triangular_solve を用いて、上三角行列 A と右辺ベクトル b を用いた連立方程式を解き、解ベクトル X を計算しています。
torch.Tensor.triangular_solveは、GPU上で高速に実行することができます。torch.Tensor.triangular_solveは、LU分解などの他の行列演算と組み合わせて使用することができます。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
X, _ = torch.triangular_solve(b, A)
print(X)
説明
このコードは、以下の連立方程式を解きます。
A * X = b
Xは解ベクトルです。bは右辺ベクトルです。Aは上三角行列です。
torch.triangular_solve を用いて、A と b を用いて連立方程式を解き、解ベクトル X を計算しています。
例 2: 下三角行列と右辺ベクトルを用いた連立方程式を解く
import torch
A = torch.tensor([[6, 0, 0], [5, 4, 0], [1, 2, 3]])
b = torch.tensor([[14], [12], [10]])
X, _ = torch.triangular_solve(b, A, upper=False)
print(X)
説明
A * X = b
Xは解ベクトルです。bは右辺ベクトルです。Aは下三角行列です。
upper=False オプションを指定することで、torch.triangular_solve に A が下三角行列であることを伝えています。
例 3: 転置行列と右辺ベクトルを用いた連立方程式を解く
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
X, _ = torch.triangular_solve(b, A, trans=True)
print(X)
説明
A^T * X = b
A^Tは A の転置行列です。Xは解ベクトルです。bは右辺ベクトルです。Aは上三角行列です。
trans=True オプションを指定することで、torch.triangular_solve に A の転置行列を用いて連立方程式を解くことを伝えています。
例 4: 単位三角行列と右辺ベクトルを用いた連立方程式を解く
import torch
A = torch.eye(3)
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
X, _ = torch.triangular_solve(b, A, unitriangular=True)
print(X)
説明
I * X = b
Xは解ベクトルです。bは右辺ベクトルです。Iは単位三角行列です。
unitriangular=True オプションを指定することで、torch.triangular_solve に A が単位三角行列であることを伝えています。
LU分解
LU分解は、行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する方法です。torch.lu 関数を使用して LU 分解を行い、その後、前向き置換と後ろ向き置換を使用して連立方程式を解くことができます。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
P, L, U = torch.lu(A)
X = torch.zeros_like(b)
torch.triangular_solve(X, U, torch.bmm(P, b))
print(X)
長所
- 疎行列に対して効率的に使用できる
- 安定性が高い
短所
torch.lu関数は計算コストが高い
QR分解
QR分解は、行列を直交行列 Q と上三角行列 R の積に分解する方法です。torch.qr 関数を使用して QR 分解を行い、その後、後向き置換を使用して連立方程式を解くことができます。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
b = torch.tensor([[10], [12], [14]])
Q, R = torch.qr(A)
X = torch.triangular_solve(b, R.t())
print(X)
長所
- 計算コストが低い
短所
torch.qr関数は数値的に不安定になる場合がある
閉形式解
場合によっては、連立方程式の閉形式解を求めることができます。これは、特に小規模な行列の場合に役立ちます。
例
import torch
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
b = torch.tensor([[5], [7]])
X = torch.inverse(A) @ b
print(X)
長所
- 最も速い方法
短所
- すべての行列に対して閉形式解が存在するわけではない
上記以外にも、scipy.sparse モジュールなどのライブラリを使用して、連立方程式を解くことができます。
どの代替方法が最適かは、問題の具体的な状況によって異なります。計算速度、安定性、精度などを考慮して、適切な方法を選択する必要があります。