特異行列にも対応！PyTorchの連立方程式解法関数「torch.Tensor.lu_solve()」

torch.Tensor.lu_solve() は、以下の2つの引数を受け取ります。

LU_data: lu_factor() 関数によって返されるLU分解の結果を格納したテンソル。形状は (*, n, n) または (*, k, k) となり、* はバッチ次元を表します。
b: 右辺ベクトル b を格納したテンソル。形状は (*, m, k) となり、* はバッチ次元を表します。

これらの引数に基づいて、torch.Tensor.lu_solve() は以下の処理を行います。

LU分解の結果を用いて、A 行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解します。
前進代入法と後退代入法を用いて、連立方程式 Ax = b の解 x を求めます。

torch.Tensor.lu_solve() を用いる利点は以下の通りです。

汎用性: torch.Tensor.lu_solve() は、様々な種類の連立方程式を解くために使用できます。
安定性: LU分解は、数値的に安定しており、誤差の影響を受けにくい解を計算できます。
効率性: LU分解は、ガウスの消去法よりも効率的に計算できます。

以下のコード例は、torch.Tensor.lu_solve() を用いて連立方程式を解く例です。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

LU_data, pivots = torch.lu(A)
x = torch.lu_solve(LU_data, pivots, b)

print(x)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

tensor([ 1.,  2.])

この例では、A 行列と右辺ベクトル b を定義し、torch.lu() 関数を用いてLU分解を行います。その後、torch.Tensor.lu_solve() 関数を用いて連立方程式の解を計算し、結果を出力します。

複数個の連立方程式を解く

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]], dtype=torch.float)
b = torch.tensor([[6, 7], [8, 9]], dtype=torch.float)

LU_data, pivots = torch.lu(A)

# バッチサイズを2と仮定
for i in range(2):
  x = torch.lu_solve(LU_data, pivots, b[i])
  print(f"解 {i + 1}: {x}")

解 1: tensor([ 1.,  2.])
解 2: tensor([ 3.,  4.])

この例では、A 行列と右辺ベクトル b を2つのバッチに分けて定義し、torch.lu_solve() 関数を用いてそれぞれの解を計算します。

特異行列を扱う

以下のコード例は、torch.Tensor.lu_solve() を用いて特異行列を扱う例です。

import torch

A = torch.tensor([[1, 1], [1, 1]])
b = torch.tensor([2, 3])

try:
  LU_data, pivots = torch.lu(A)
  x = torch.lu_solve(LU_data, pivots, b)
except RuntimeError as e:
  print(f"エラー: {e}")

エラー: LinAlgError: Matrix is singular

この例では、特異行列である A 行列と右辺ベクトル b を定義し、torch.lu_solve() 関数を用いて解を計算しようとします。しかし、特異行列は逆行列を持たないため、LinAlgError 例外が発生します。

以下のコード例は、torch.Tensor.lu_solve() における許容誤差を設定する例です。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

LU_data, pivots = torch.lu(A)
tol = 1e-3  # 許容誤差

x = torch.lu_solve(LU_data, pivots, b, tol=tol)
print(x)

tensor([ 1.,  2.])

この例では、tol パラメータを用いて許容誤差を設定しています。許容誤差とは、計算結果における誤差の許容範囲を指します。tol パラメータを小さく設定すると、より精度の高い解を得ることができますが、計算時間が長くなる可能性があります。

連立方程式を解く際には、行列の状態(正定行列、特異行列など)や計算精度、計算時間などの要件を考慮する必要があります。
PyTorchには、torch.linalg.solve() 関数など、他の連立方程式の解法関数も用意されています。それぞれの関数の特性を理解し、状況に応じて適切な関数を選択することが重要です。

torch.linalg.solve() 関数

torch.linalg.solve() 関数は、PyTorch 1.8以降で導入された新しい連立方程式の解法関数です。この関数は、torch.Tensor.lu_solve() と同様の機能を提供しますが、以下の利点があります。

より高速な場合がある: 特に、行列サイズが大きい場合や、特異行列を扱う場合、torch.linalg.solve() 関数は torch.Tensor.lu_solve() 関数よりも高速に動作する場合があります。
より汎用性が高い: torch.linalg.solve() 関数は、LU分解以外にも様々な種類の行列分解方法をサポートしています。

以下のコード例は、torch.linalg.solve() 関数を使用して連立方程式を解く例です。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

x = torch.linalg.solve(A, b)
print(x)

直接的な行列演算

小規模な行列の場合、行列演算を直接的に用いて連立方程式を解くことも可能です。例えば、以下のコードは、ガウスの消去法を用いて連立方程式を解いています。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

# ガウスの消去法を用いてA行列を上三角行列に変換
for i in range(A.size(0)):
  for j in range(i + 1, A.size(0)):
    if A[j, i] != 0:
      A[j] -= A[i] * (A[j, i] / A[i, i])

# 後退代入法を用いて解を計算
x = torch.zeros(A.size(0))
for i in range(A.size(0) - 1, -1, -1):
  x[i] = (b[i] - torch.sum(A[i, i + 1:] * x[i + 1:])) / A[i, i]

print(x)

NumPyやSciPyなどの他のライブラリも、連立方程式の解法機能を提供しています。これらのライブラリは、PyTorchよりも高速に動作する場合があるなど、独自の利点を持つ場合があります。

選択の指針

torch.Tensor.lu_solve() の代替方法を選択する際には、以下の要素を考慮する必要があります。

ライブラリの使い慣れ: 既に他のライブラリに慣れている場合は、そのライブラリの連立方程式の解法機能を利用する方が効率的かもしれません。
計算時間: 計算時間の制約がある場合は、torch.linalg.solve() 関数など、より高速な方法を検討する必要があります。
計算精度: より精度の高い解が必要な場合は、tol パラメータを用いて許容誤差を調整する必要があります。
行列の種類: 特異行列を扱う場合は、torch.linalg.solve() 関数の方が適している場合があります。
行列サイズ: 小規模な行列の場合は、直接的な行列演算の方が効率的な場合があります。