NumPyでChebyshev多項式をスリム化：`polynomial.chebyshev.Chebyshev.truncate()`のしくみと詳細解説

具体的な使用方法

from numpy.polynomial import chebyshev

# Chebyshev多項式の係数
coefs = [1, 2, 3, 4, 5]

# Chebyshev多項式を作成
p = chebyshev.Chebyshev(coefs)

# 3次以下に切り捨て
new_p = p.truncate(3)

# 新しいChebyshev多項式の係数
print(new_p.coefs)

この例では、coefs配列で定義された5次Chebyshev多項式を作成し、truncate()関数を使って3次以下に切り捨てています。結果として、new_pには最初の3つの係数のみが残され、4番目と5番目の係数は削除されます。

truncate()関数の引数

• size: Chebyshev多項式を 切り捨てたい次数 を指定します。この引数は、正の整数である必要があります。

truncate()関数の戻り値

• new_series: 切り捨てられた新しいChebyshev多項式を表すChebyshevインスタンス。

• Chebyshev多項式の次数を直接指定したい場合は、cutdeg()関数を使用することができます。
• 高次項を切り捨てることで、計算精度を向上させたり、過剰適合を抑制したりすることができます。
• truncate()関数は、元のChebyshev多項式のオブジェクトを変更するのではなく、新しいChebyshev多項式オブジェクトを作成します。

• numpy.polynomial.chebyshev.chebval: Chebyshev多項式の値を評価する
• numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev.cutdeg: Chebyshev多項式の次数を切り捨てる
• numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev: Chebyshev多項式を表すクラス

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import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev

# Chebyshev多項式の係数
coefs = [1, 2, 3, 4, 5]

# Chebyshev多項式を作成
p = chebyshev.Chebyshev(coefs)

# 度数を3に切り捨てる
new_p = p.cutdeg(3)

# 切り捨てられたChebyshev多項式の係数
print(new_p.coefs)

# 切り捨てられた多項式の値を評価
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = new_p(x)

# 結果をプロット
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Chebyshev polynomial (degree = 3)')
plt.show()

この例では、以下の処理を実行しています。

1. coefs 配列で定義された 5 次の Chebyshev 多項式を作成します。
2. cutdeg() 関数を使用して、Chebyshev 多項式の 度数を 3 に切り捨てます。
3. 切り捨てられた Chebyshev 多項式の 係数 を表示します。
4. linspace() 関数を使用して、-1 から 1 までの 100 個の等間隔な点を作成します。
5. new_p をこれらの点で評価して、Chebyshev 多項式の値 を計算します。
6. matplotlib.pyplot モジュールを使用して、結果をグラフに描画します。

cutdeg() 関数の引数

• deg: Chebyshev多項式の 切り捨てたい度数 を指定します。この引数は、0 以上の整数である必要があります。

• new_series: 切り捨てられた新しいChebyshev多項式を表すChebyshevインスタンス。

• truncate() 関数と異なり、cutdeg() 関数は常に 整数次数 で切り捨てを行います。小数点以下の部分は切り捨てられます。
• 高次項を切り捨てることで、計算精度を向上させたり、過剰適合を抑制したりすることができます。
• cutdeg() 関数は、元のChebyshev多項式のオブジェクトを変更するのではなく、新しいChebyshev多項式オブジェクトを作成します。

• numpy.polynomial.chebyshev.chebval: Chebyshev多項式の値を評価する
• numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev.truncate: Chebyshev多項式を指定された次数に切り捨てる
• numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev: Chebyshev多項式を表すクラス

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代替方法の選択肢

1. 手動で係数を切り捨てる
   

   • coefs 属性を使用して、Chebyshev 多項式の係数にアクセスします。
   • 指定された次数までの係数のみを保持し、残りの係数は 0 に設定します。
   • 新しい係数リストを使用して、新しい Chebyshev インスタンスを作成します。

   この方法は、シンプルで柔軟性がありますが、コード量が多くなる可能性があります。

2. scipy.signal.lfilter 関数を使用する
   

   • scipy.signal モジュールから lfilter 関数をインポートします。
   • 係数を逆順にして、FIR フィルタの伝達関数を表す配列を作成します。
   • lfilter 関数を使用して、Chebyshev 多項式をこのフィルタでフィルタリングします。
   • フィルタリングされた結果を新しい Chebyshev インスタンスとして作成します。

   この方法は、よりコンパクトで効率的ですが、scipy モジュールのインポートが必要になります。

具体的な例

手動での係数切り捨て

from numpy.polynomial import chebyshev

# Chebyshev多項式の係数
coefs = [1, 2, 3, 4, 5]

# 指定された次数まで係数を保持
new_coefs = coefs[:3]  # 3次以下に切り捨て

# 新しいChebyshev多項式を作成
new_p = chebyshev.Chebyshev(new_coefs)

# 新しい多項式の係数
print(new_p.coefs)

from numpy.polynomial import chebyshev
from scipy.signal import lfilter

# Chebyshev多項式の係数
coefs = [1, 2, 3, 4, 5]

# 係数を逆順にしてフィルタ伝達関数を表す配列を作成
b = coefs[::-1]

# `lfilter` 関数を使用してフィルタリング
y = lfilter(b, [1], coefs)

# 新しいChebyshev多項式を作成
new_p = chebyshev.Chebyshev(y)

# 新しい多項式の係数
print(new_p.coefs)

方法	利点	欠点
手動での係数切り捨て	シンプルで柔軟性がある	コード量が多くなる可能性がある
scipy.signal.lfilter 関数の使用	コンパクトで効率的	scipy モジュールのインポートが必要