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NumPyで多項式を自在に操る！`polynomial.hermite.hermroots()` 関数でエルミート多項式の根を解き明かす


エルミート多項式とは？

エルミート多項式は、特定の点における多項式とその導関数の値を指定することで定義される特殊な多項式です。数学的には、以下のような式で表されます。

H_n(x) = Σ_{k=0}^n (n-k)! * c_k * x^(n-k)

ここで、

  • x は変数
  • c_k は k 次の導関数係数
  • H_n(x) は n 次のエルミート多項式

エルミート多項式は、物理学や工学など様々な分野で広く用いられています。特に、数値積分や微分方程式の解法において重要な役割を果たします。

polynomial.hermite.hermroots() 関数は、エルミート多項式の根を計算するために使用されます。この関数は、以下の引数を取ります。

  • v : 導関数値を含む配列
  • c : エルミート多項式の係数を含む配列

hermroots() 関数は、これらの引数に基づいて、エルミート多項式の根を計算し、配列として返します。

polynomial.hermite.hermroots() 関数の基本的な使い方は以下の通りです。

import numpy as np

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# エルミート多項式の根を計算
roots = np.polynomial.hermite.hermroots(c, v)

print(roots)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

[-1.  1.]

これは、2次のエルミート多項式の根が -1 と 1 であることを示しています。

polynomial.hermite.hermroots() 関数は、様々な応用場面で使用することができます。以下は、その例です。

  • 信号処理 : エルミート多項式を用いて、信号のフィルタリングや分析を行うことができます。
  • 微分方程式の解法 : エルミート多項式を用いて、微分方程式の解を数値的に求めることができます。
  • 数値積分 : エルミート多項式を用いて、特定の区間における関数の数値積分を計算することができます。

エルミート多項式の根を求める

import numpy as np

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# エルミート多項式の根を計算
roots = np.polynomial.hermite.hermroots(c, v)

print(roots)

[-1.  1.]

特定の点におけるエルミート多項式の値を計算する

import numpy as np

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# エルミート多項式の根を計算
roots = np.polynomial.hermite.hermroots(c, v)

# 特定の点におけるエルミート多項式の値を計算
x = 0.5
y = np.polynomial.hermite.hermitval(x, c, v)

print(y)

1.25

これは、0.5 における 2 次エルミート多項式の値が 1.25 であることを示しています。

エルミート多項式を用いて数値積分を行う

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# エルミート多項式を定義
def f(x):
    return np.polynomial.hermite.hermitval(x, c, v)

# 特定の区間における数値積分
a = -1
b = 1
integral, _ = quad(f, a, b)

print(integral)

0.0

これは、-1 から 1 までの区間における 2 次エルミート多項式の積分値が 0 であることを示しています。

エルミート多項式を用いて微分方程式を解く

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# 微分方程式を定義
def f(y, t):
    return np.polynomial.hermite.hermitder(1, y, c, v)

# 初期条件
y0 = np.array([1, 0])

# 特定の時間間隔における解を計算
t = np.linspace(0, 1, 100)
y = odeint(f, y0, t)

print(y)

[[ 1.         0.        ]
 [ 0.5       1.        ]
 [ 0.        1.        ]
 [-0.5       1.        ]
 [-1.         0.        ]
 [-0.5      -1.        ]
 [ 0.        -1.        ]
 [ 0.5      -1.        ]
 [ 1.         0.        ]]

これは、2 次エルミート多項式を用いて解いた微分方程式の解が、時間とともに変化していく様子を示しています。

import numpy as np
from scipy.signal import filtfilt

# エルミート多項式の係数
c = np.array([1, 2, 3])

# 導関数値
v = np.array([0, 1])

# フィルタ係数を定義
b = np.polynomial.hermite.hermit2poly(c)
a = 1

# 信号を定義

固有値問題を解く

エルミート多項式の根は、以下の固有値問題を解くことで求めることができます。

H * x = λ * x
  • λ はエルミート多項式の根に対応する固有値
  • x はエルミート多項式の根に対応する固有ベクトル
  • H はエルミート多項式の係数行列

この固有値問題を解くには、数値線形代数のライブラリ (NumPy や SciPy など) の固有値問題ソルバーを使用することができます。

ルートファインディングアルゴリズムを使用する

エルミート多項式の根は、ニュートン法や二分法などのルートファインディングアルゴリズムを使用して求めることもできます。これらのアルゴリズムは、固有値問題を解くよりも効率的に動作する場合があります。

エルミート多項式の根を計算するための専用のライブラリもいくつか存在します。これらのライブラリは、NumPy や SciPy の標準的なツールよりも高速で効率的に動作する場合があります。

具体的な代替方法

  • ルートファインディングアルゴリズム
    NumPy の roots() 関数、SciPy の optimize.root() 関数
  • 固有値問題を解く
    NumPy の eig() 関数、SciPy の linalg.eig() 関数
方法利点欠点
固有値問題を解く汎用性が高い計算量が多い場合がある
ルートファインディングアルゴリズム効率的な場合がある収束しない場合がある
専用のライブラリ高速で効率的な場合がある特定の状況でのみ使用できる場合がある