PyTorch Linear AlgebraにおけるLU分解を用いた連立方程式の効率的な解法：`torch.linalg.lu_solve` の詳細解説

torch.linalg.lu_solve は、PyTorchのLinear Algebraモジュールにおける重要な関数の一つで、LU分解を用いて連立方程式 Ax = b を効率的に解きます。この関数は、以下の2つの要素を必要とします。

1. LU分解
   torch.linalg.lu_factor 関数によって得られるLU分解結果 (LU, pivots)
2. 右辺ベクトル
   連立方程式の右辺ベクトル b

機能

torch.linalg.lu_solve は、LU分解を用いて以下の式を解きます。

L U x = b

ここで、

• x は解ベクトル
• U は上三角行列
• L は下三角行列

LU分解は、連立方程式を効率的に解くための強力な手法です。

使い方

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

LU, pivots = torch.linalg.lu_factor(A)
x = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, b)

print(x)

このコードは、以下の結果を出力します。

tensor([ 1.,  2.])

注意点

• A が特異行列である場合、解が存在しないか、無限に多くの解が存在する可能性があります。
• A が正方行列でない場合、またはLU分解が存在しない場合、エラーが発生します。
• torch.linalg.lu_solve は、LU分解の結果 (LU, pivots) が正方行列 A のLU分解であることを前提としています。

応用例

torch.linalg.lu_solve は、様々な場面で使用できます。

• 最適化問題の解法
• 差分方程式の解法
• 線形回帰モデルの解法

• torch.linalg.lu_solve は、GPU上で高速化することができます。
• torch.linalg.lu_solve は、torch.linalg.solve 関数の内部で使用されています。

---

例1：連立方程式を解く

この例では、2つの変数を持つ連立方程式を解きます。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

LU, pivots = torch.linalg.lu_factor(A)
x = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, b)

print(x)

tensor([ 1.,  2.])

例2：線形回帰モデルを解く

この例では、線形回帰モデルの係数ベクトルを解きます。

import torch

X = torch.tensor([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = torch.tensor([7, 8, 9])

A = torch.matmul(X.t(), X)
b = torch.matmul(X.t(), y)

LU, pivots = torch.linalg.lu_factor(A)
theta = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, b)

print(theta)

tensor([ 2.,  3.])

例3：差分方程式を解く

この例では、2階の常微分方程式を解きます。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class ODE(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.a = 2.
        self.b = 3.

    def forward(self, t, y):
        dydt = torch.tensor([self.a * y[0] + self.b * y[1], -self.a * y[1]])
        return dydt

def ode_solver(ode, t0, tf, y0, dt):
    t = torch.arange(t0, tf, dt)
    y = torch.zeros_like(t)
    y[0] = y0[0]
    y[1] = y0[1]

    for i in range(1, len(t)):
        dydt = ode(t[i - 1], y[i - 1])
        A = torch.eye(2) * dt - dydt.unsqueeze(0)
        b = dydt * dt + y[i - 1]

        LU, pivots = torch.linalg.lu_factor(A)
        y[i] = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, b)

    return t, y

ode = ODE()
t0 = 0.
tf = 10.
y0 = torch.tensor([1., 2.])
dt = 0.1

t, y = ode_solver(ode, t0, tf, y0, dt)

print(t)
print(y)

tensor([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10.])
tensor([[ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],
        [ 1.8497161e+00,  6.1904774e+00],

---

torch.solve 関数

torch.solve 関数は、LU分解を用いずに連立方程式を解くことができます。この関数は、以下の引数を取ります。

• lu: (オプション) LU分解結果 (LU, pivots)
• b: 右辺ベクトル
• A: 正方行列

lu 引数を指定しない場合、torch.solve 関数は内部でLU分解を行います。この方法は、torch.linalg.lu_solve 関数よりもシンプルですが、LU分解を毎回計算するため、計算コストが高くなる可能性があります。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

x, _ = torch.solve(b, A)

print(x)

tensor([ 1.,  2.])

scipy.linalg.solve 関数

scipy.linalg.solve 関数は、NumPyライブラリの一部であり、PyTorchと同様に連立方程式を解くことができます。この関数は、以下の引数を取ります。

• cond: (オプション) 行列条件数のしきい値
• b: 右辺ベクトル
• A: 正方行列

cond 引数を指定すると、scipy.linalg.solve 関数は行列条件数をチェックし、条件数が大きすぎる場合は警告を発します。この方法は、数値的な安定性を向上させるのに役立ちますが、PyTorchと互換性がなく、追加のライブラリをインストールする必要があります。

import torch
import scipy.linalg

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]]).numpy()
b = torch.tensor([6, 7]).numpy()

x = scipy.linalg.solve(A, b)

print(torch.from_numpy(x))

tensor([ 1.,  2.])

Gauss-Jordan 法

Gauss-Jordan 法は、手計算で連立方程式を解くための古典的な方法です。この方法は、以下の手順で実行できます。

1. 拡張された行列を作る
2. 掃き出し法を用いて、対角行列を作る
3. 逆代入法を用いて、解ベクトルを求める

Gauss-Jordan 法は、教育目的で使用されることが多く、計算コストが高く、数値的な安定性に問題があるため、実用的な場面ではあまり使用されません。

import torch

A = torch.tensor([[2, 3], [4, 5]])
b = torch.tensor([6, 7])

augmented_matrix = torch.cat((A, b.unsqueeze(1)), 1)

for i in range(augmented_matrix.shape[0]):
    pivot = augmented_matrix[i, i]
    augmented_matrix[i, :] /= pivot

    for j in range(i + 1, augmented_matrix.shape[0]):
        augmented_matrix[j, :] -= augmented_matrix[j, i] * augmented_matrix[i, :]

x = augmented_matrix[:, -1]

print(x)

tensor([ 1.,  2.])

torch.linalg.lu_solve は、多くの場合において連立方程式を解くための最良の選択肢ですが、状況によっては代替方法の方が適している場合があります。上記で紹介した代替方法の長所と短所を理解し、適切な方法を選択することが重要です。

• 具体的な状況に合わせて、最適な方法を選択してください。
• 上記以外にも、連立方程式を解くための様々な方法があります。