NumPyで非中心F分布を操る：random.noncentral_f() 関数徹底解説

非中心F分布とは？

F分布は、分散の比率を推定するために用いられる統計分布です。一方、非中心F分布は、F分布に非中心性パラメータと呼ばれる値が追加されたものです。この非中心性パラメータは、分布を右に歪ませる効果を持ちます。

random.noncentral_f() 関数の役割

random.noncentral_f() 関数は、非中心F分布に従う乱数を生成します。この関数は、以下の引数を取ります。

size: 生成する乱数の数（省略可）
nonc: 非中心性パラメータ
dfden: 分子自由度
dfnum: 分母自由度

具体的な利用例

import numpy as np

# 乱数の生成
dfnum = 5
dfden = 3
nonc = 2
size = 10

random_samples = np.random.noncentral_f(dfnum, dfden, nonc, size)

# 生成された乱数の表示
print(random_samples)

このコードを実行すると、非中心F分布に従う10個の乱数が生成され、コンソールに表示されます。

random.noncentral_f() 関数の応用例

random.noncentral_f() 関数は、以下の場面で役立ちます。

画像処理におけるエッジ検出
信号処理におけるノイズ除去
分散の比率を推定する際の仮説検定

NumPy以外にも、非中心F分布に従う乱数を生成できるライブラリは存在します。
非中心F分布は、複雑な分布であり、その理論的な性質を理解するには専門的な知識が必要です。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 乱数の生成
dfnum = 5
dfden = 3
nonc = 2
size = 1000

# 乱数の生成
random_samples = np.random.noncentral_f(dfnum, dfden, nonc, size)

# ヒストグラムの作成
count, bins, ignored = plt.hist(random_samples, 50, density=True)

# グラフの表示
plt.plot(bins, count)
plt.xlabel("F value")
plt.ylabel("Density")
plt.title("Non-central F distribution (dfnum=%d, dfden=%d, nonc=%d)" % (dfnum, dfden, nonc))
plt.show()

numpy と matplotlib.pyplot ライブラリをインポートします。
非中心F分布のパラメータを設定します。
random.noncentral_f() 関数を使用して、非中心F分布に従う乱数を生成します。
生成された乱数のヒストグラムを作成します。
ヒストグラムをグラフに表示します。

このコードを実行すると、非中心F分布に従う乱数のヒストグラムが表示されます。分布の形は、設定したパラメータによって変化します。

非中心F分布の統計的な性質を分析するには、より高度な統計手法を用いる必要があります。
このコードは、非中心F分布の確率密度関数を可視化するためのものです。

そこで、以下のような代替方法が考えられます。

ガンマ分布とカイ二乗分布を用いた方法

非中心F分布は、ガンマ分布とカイ二乗分布の比として表すことができます。この性質を利用して、以下のコードのようにガンマ分布とカイ二乗分布の乱数を生成することで、非中心F分布に従う乱数を生成することができます。

import numpy as np

def noncentral_f_gamma_chi2(dfnum, dfden, nonc):
    # ガンマ分布とカイ二乗分布の乱数を生成
    gamma1 = np.random.gamma(dfnum / 2, scale=2.0)
    gamma2 = np.random.gamma(dfden / 2, scale=2.0)
    chi2 = np.random.chi2(dfden)

    # 非中心F分布に従う乱数を生成
    f = (gamma1 * chi2) / (gamma2 * nonc)
    return f

# 乱数の生成
dfnum = 5
dfden = 3
nonc = 2
size = 1000

random_samples = np.array([noncentral_f_gamma_chi2(dfnum, dfden, nonc) for _ in range(size)])

# ヒストグラムの作成
count, bins, ignored = plt.hist(random_samples, 50, density=True)

# グラフの表示
plt.plot(bins, count)
plt.xlabel("F value")
plt.ylabel("Density")
plt.title("Non-central F distribution (dfnum=%d, dfden=%d, nonc=%d)" % (dfnum, dfden, nonc))
plt.show()

特殊関数ライブラリを用いた方法

scipyライブラリなどの特殊関数ライブラリには、非中心F分布の累積分布関数や逆累積分布関数を計算する関数などが用意されています。これらの関数を利用して、非中心F分布に従う乱数を生成することができます。

import numpy as np
from scipy.stats import ncf
from scipy.special import gamma

def noncentral_f_scipy(dfnum, dfden, nonc, size):
    # 逆累積分布関数から乱数を生成
    random_samples = ncf.rvs(dfnum, dfden, nonc, size=size)
    return random_samples

# 乱数の生成
dfnum = 5
dfden = 3
nonc = 2
size = 1000

random_samples = noncentral_f_scipy(dfnum, dfden, nonc, size)

# ヒストグラムの作成
count, bins, ignored = plt.hist(random_samples, 50, density=True)

# グラフの表示
plt.plot(bins, count)
plt.xlabel("F value")
plt.ylabel("Density")
plt.title("Non-central F distribution (dfnum=%d, dfden=%d, nonc=%d)" % (dfnum, dfden, nonc))
plt.show()

サンプリングライブラリを用いた方法

PyMC3などのサンプリングライブラリには、MCMC法などのサンプリング手法を用いて、非中心F分布に従う乱数を生成する機能が用意されています。

import numpy as np
import pymc3 as pm

# モデルの構築
with pm.Model() as model:
    # 非中心F分布のパラメータを設定
    nonc = pm.Uniform('nonc', lower=0.0, upper=10.0)
    dfnum = pm.Uniform('dfnum', lower=2.0, upper=10.0)
    dfden = pm.Uniform('dfden', lower=2.0, upper=10.0)

    # 非中心F分布からのサンプリング
    f = pm.NoncentralF('f', dfnum=dfnum, dfden=dfden, nonc=nonc, observed=None)

    # サンプリングの実行
    trace = pm.sample(1000, tune=1000)

# 生成された乱数の取得
random_samples = trace['f']

# ヒストグラムの作成
count, bins