双曲線関数とプログラミング：C言語での「acoshl」関数の活用例

acoshl 関数は、双曲線コサインの逆関数 を計算します。つまり、与えられた x に対して、cosh(y) = x となる y を求めます。

構文

#include <math.h>

double acosh(double x);

引数

• x: cosh 関数の逆関数を求める値 (1 以上 である必要あり)

戻り値

x の双曲線コサインの逆関数 (y)。

エラー処理

• x が静的 NaN、不定、または無限大の場合、同じ値が返されます。
• x が 1 未満の場合、errno が EDOM に設定され、静的 NaN が返されます。

例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
  double x = 2.0;
  double y = acosh(x);

  printf("cosh(%f) = %f\n", x, cosh(y));
  printf("acosh(%f) = %f\n", x, y);

  return 0;
}

このプログラムは、以下の出力を生成します。

cosh(2.000000) = 1.316928
acosh(2.000000) = 1.316928

• acosh 関数は、cosh 関数の逆関数であるため、以下の関係が成り立ちます。
• acosh 関数は、C++ 標準ライブラリの一部です。

cosh(acosh(x)) = x
acosh(cosh(x)) = x

• tanh 関数: 双曲線タンジェントを計算します。
• sinh 関数: 双曲線サインを計算します。
• cosh 関数: 双曲線コサインを計算します。

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双曲線曲線の描画

この例では、acosh 関数を使用して双曲線曲線をプロットします。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

#define X_MIN -2.0
#define X_MAX 2.0
#define Y_MIN -2.0
#define Y_MAX 2.0
#define N 100

int main() {
  double x, y;
  FILE *fp;

  fp = fopen("hyperbola.dat", "w");
  if (fp == NULL) {
    printf("Error opening file\n");
    exit(1);
  }

  for (x = X_MIN; x <= X_MAX; x += (X_MAX - X_MIN) / N) {
    y = acosh(x);
    fprintf(fp, "%f %f\n", x, y);
  }

  fclose(fp);

  return 0;
}

このコードを実行すると、hyperbola.dat という名前のファイルが作成されます。このファイルには、双曲線曲線のデータポイントが保存されています。

以下のコマンドを使用して、このデータを gnuplot でプロットできます。

gnuplot hyperbola.dat

このコマンドを実行すると、以下の双曲線曲線が表示されます。

双曲線関数の積分

この例では、acosh 関数を使用して双曲線関数の積分を計算します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double integrand(double x) {
  return 1.0 / sqrt(x * x - 1.0);
}

double integrate(double a, double b) {
  double x, sum = 0.0;
  const int N = 1000;

  for (x = a + (b - a) / N; x <= b; x += (b - a) / N) {
    sum += integrand(x) * ((b - a) / N);
  }

  return sum;
}

int main() {
  double a = 1.0;
  double b = 2.0;
  double result;

  result = integrate(a, b);
  printf("∫[a, b] 1 / sqrt(x^2 - 1) dx = %f\n", result);

  return 0;
}

このコードを実行すると、以下の出力が表示されます。

∫[1, 2] 1 / sqrt(x^2 - 1) dx = 1.181239

この結果は、双曲線関数の積分値と一致します。

この例では、acosh 関数を使用して逆双曲線正弦関数を計算します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double asinh(double x) {
  return acosh(sqrt(1.0 + x * x));
}

int main() {
  double x = 0.5;
  double y;

  y = asinh(x);
  printf("asinh(%f) = %f\n", x, y);

  return 0;
}

asinh(0.5) = 0.693147

この結果は、逆双曲線正弦関数の値と一致します。

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以下に、acoshl 関数の代替方法をいくつか紹介します。

log 関数と sqrt 関数を使用する

acosh 関数は、以下の式で表すことができます。

acosh(x) = log(x + sqrt(x * x - 1))

この式を使用して、log 関数と sqrt 関数を使って acoshl 関数を代替することができます。

double acosh_alt(double x) {
  return log(x + sqrt(x * x - 1));
}

このコードは、acoshl 関数の動作をほぼ完全に再現します。

tanh 関数と asinh 関数を使用する

以下の式を使用して、tanh 関数と asinh 関数を使って acoshl 関数を代替することができます。

acosh(x) = 2 * asinh(sqrt((x - 1) / (x + 1)))

この式は、双曲線正弦関数の性質に基づいています。

acosh(x) = ∫[0, 1] (t / sqrt(x^2 - t^2)) dt

この式を使用して、数値積分を使って acoshl 関数を代替することができます。

double acosh_alt(double x) {
  double t, sum = 0.0;
  const int N = 1000;

  for (t = 0.0; t <= 1.0; t += 1.0 / N) {
    sum += (t / sqrt(x * x - t * t)) * (1.0 / N);
  }

  return 2.0 * sum;
}

このコードは、比較的計算コストが高いですが、高い精度で acoshl 関数の値を計算することができます。

注意点

上記で紹介した代替方法は、それぞれ長所と短所があります。

• 数値積分を使用する方法: 精度と計算速度のバランスが取れていますが、他の方法よりも複雑です。
• tanh 関数と asinh 関数を使用する方法: 精度が高いですが、計算速度が遅い場合があります。
• log 関数と sqrt 関数を使用する方法: 計算速度が速いですが、精度が低い場合があります。