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PythonでWishart分布サンプリング：初心者でも安心のステップバイステップ解説 


def rsample(self, sample_shape=torch.Size(), max_try_correction=None):
    """
    Wishart分布からランダムなサンプルを生成します。

    Args:
        sample_shape (torch.Size): サンプルのバッチサイズとイベントサイズを指定するテンソル。
        max_try_correction (int, optional): 特異なサンプルを修正するための最大試行回数。デフォルトはNoneで、試行回数を制限しません。

    Returns:
        torch.Tensor: Wishart分布からサンプリングされたランダムな共分散行列。
    """

引数

  • max_try_correction: 特異なサンプルを修正するための最大試行回数です。デフォルトはNoneで、試行回数を制限しません。特異なサンプルは、行列式が0である共分散行列です。max_try_correction が0より大きい場合、関数は特異なサンプルを修正するために最大max_try_correction 回試行します。修正が成功しない場合は、エラーが発生します。
  • sample_shape: サンプルのバッチサイズとイベントサイズを指定するテンソルです。これは、生成されるサンプルの形状を決定します。例えば、sample_shape=torch.Size([2, 3]) とすると、2つのバッチと3つのイベントを持つテンソルが生成されます。

戻り値

Wishart分布からサンプリングされたランダムな共分散行列を返します。これは、sample_shape で指定された形状を持つテンソルです。

import torch
from torch.distributions import Wishart

# Wishart分布のパラメータを設定
df = torch.tensor(5.0)  # 自由度
covariance_matrix = torch.eye(2)  # 共分散行列

# Wishart分布を作成
wishart = Wishart(df=df, covariance_matrix=covariance_matrix)

# 10個のサンプルを生成
samples = wishart.rsample(sample_shape=torch.Size([10]))

# サンプルを確認
print(samples)

この例では、5つの自由度と単位行列の共分散行列を持つWishart分布から10個のサンプルを生成しています。

torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() 関数は、Bartlett分解と呼ばれるアルゴリズムを使用してランダムなサンプルを生成します。Bartlett分解は、共分散行列を下三角行列と下三角行列の積に分解するアルゴリズムです。

この関数は、ベイズ統計や多変量解析など、様々な分野で使用されます。


import torch
import matplotlib.pyplot as plt
from torch.distributions import Wishart

# Wishart分布のパラメータを設定
df = 5.0  # 自由度
covariance_matrix = torch.eye(2)  # 共分散行列

# Wishart分布を作成
wishart = Wishart(df=df, covariance_matrix=covariance_matrix)

# 100個のサンプルを生成
samples = wishart.rsample(sample_shape=torch.Size([100]))

# サンプルの平均共分散行列を計算
mean_covariance_matrix = torch.mean(samples, dim=0)

# サンプルと平均共分散行列を可視化
plt.matshow(samples[0].numpy())
plt.title('サンプル共分散行列')
plt.colorbar()
plt.show()

plt.matshow(mean_covariance_matrix.numpy())
plt.title('平均共分散行列')
plt.colorbar()
plt.show()

このコードでは、まずWishart分布のパラメータ df と covariance_matrix を設定します。次に、wishart.rsample() 関数を使用して100個のサンプルを生成します。

生成されたサンプルは、torch.mean() 関数を使用して平均共分散行列に計算されます。

最後に、plt.matshow() 関数を使用して、サンプルと平均共分散行列を可視化します。

  • ヒートマップの色は、共分散行列の要素の値を表します。
  • サンプルと平均共分散行列は、ヒートマップとして可視化されています。
  • Wishart分布は、多変量データの共分散行列をモデル化するために使用されます。
  • このコードでは、Wishart分布からサンプリングされた共分散行列を可視化しています。

この例は、Wishart分布のサンプリングと可視化の方法を示すだけです。この関数は、様々な目的に使用することができます。

以下のコードは、Wishart分布からサンプリングされた共分散行列を使用して、多元ガウス分布からランダムなサンプルを生成する方法を示します。

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
from torch.distributions import Wishart, MultivariateNormal

# Wishart分布のパラメータを設定
df = 5.0  # 自由度
covariance_matrix = torch.eye(2)  # 共分散行列

# Wishart分布を作成
wishart = Wishart(df=df, covariance_matrix=covariance_matrix)

# 100個のサンプルを生成
samples = wishart.rsample(sample_shape=torch.Size([100]))

# サンプルから平均と共分散行列を計算
mean = torch.mean(samples, dim=0)
covariance_matrix = torch.mean((samples - mean.unsqueeze(0)) * (samples - mean.unsqueeze(0)), dim=0)

# 多元ガウス分布を作成
mvnormal = MultivariateNormal(mean=mean, covariance_matrix=covariance_matrix)

# 100個のサンプルを生成
data = mvnormal.rsample(sample_shape=torch.Size([100]))

# データを可視化
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1])
plt.title('多元ガウス分布からのサンプル')
plt.show()

このコードでは、まずWishart分布から100個のサンプルを生成します。次に、これらのサンプルから平均と共分散行列を計算します。

最後に、これらのパラメータを使用して多元ガウス分布を作成し、100個のサンプルを生成します。生成されたデータは、散布図として可視化されます。

この例は、Wishart分布と多元ガウス分布の関係を示すものです。Wishart分布は、多元ガウス分布の共分散行列をモデル化するために使用することができます。


  • 不安定: 特定のパラメータ設定では、この関数は不安定になる可能性があります。
  • メモリ効率が悪い: この関数は、中間結果を保存するために多くのメモリを必要とします。
  • 遅い: 特に大きな共分散行列の場合、この関数は非常に遅くなる可能性があります。

これらの理由から、torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() の代替方法を検討することがあります。

代替方法

以下の代替方法があります。

  • Cholesky分解: Cholesky分解は、共分散行列を下三角行列と下三角行列の積に分解するアルゴリズムです。Cholesky分解を使用して、Wishart分布からランダムなサンプルを生成することができます。Cholesky分解は、torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() よりも速くてメモリ効率が良いですが、数値的に不安定になる可能性があります。
  • Metropolis-Hastingsアルゴリズム: Metropolis-Hastingsアルゴリズムは、MCMCのもう1つの種類であり、Wishart分布を含む様々な分布からサンプリングに使用できます。Metropolis-Hastingsアルゴリズムは、ギブスサンプリングよりも汎用性が高く、より複雑な分布をサンプリングするために使用できますが、チューニングが難しい場合があります。
  • ギブスサンプリング: ギブスサンプリングは、マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) の一種であり、Wishart分布を含む様々な分布からサンプリングに使用できます。ギブスサンプリングは、torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() よりも速くてメモリ効率が優れていますが、収束するまでに時間がかかる場合があります。

使用する代替方法は、特定のニーズによって異なります。

  • 精度が重要であれば: torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() を使用します。
  • 汎用性が必要であれば: Metropolis-Hastingsアルゴリズムを使用します。
  • 速度とメモリ効率が重要であれば: ギブスサンプリングまたはCholesky分解を使用します。

以下のコードは、ギブスサンプリングを使用してWishart分布からランダムなサンプルを生成する方法を示します。

import torch
import numpy as np

def gibbs_sample(df, covariance_matrix, n_samples):
    """
    ギブスサンプリングを使用してWishart分布からランダムなサンプルを生成します。

    Args:
        df (float): 自由度
        covariance_matrix (torch.Tensor): 共分散行列
        n_samples (int): 生成するサンプルの数

    Returns:
        torch.Tensor: Wishart分布からサンプリングされたランダムな共分散行列のリスト
    """
    samples = []
    for _ in range(n_samples):
        # 対角要素をサンプリング
        diagonal = torch.distributions.Gamma(df / 2, scale=torch.diag(covariance_matrix)).rsample()

        # 下三角行列をサンプリング
        L = torch.distributions.MultivariateNormal(torch.zeros_like(diagonal), torch.diag_embed(diagonal)).rsample()

        # 共分散行列を再構成
        covariance_matrix = torch.matmul(L, L.t())

        samples.append(covariance_matrix)
    return torch.stack(samples)

# Wishart分布のパラメータを設定
df = 5.0  # 自由度
covariance_matrix = torch.eye(2)  # 共分散行列

# 100個のサンプルを生成
samples = gibbs_sample(df, covariance_matrix, 100)

# サンプルの平均共分散行列を計算
mean_covariance_matrix = torch.mean(samples, dim=0)

# サンプルと平均共分散行列を可視化
plt.matshow(samples[0].numpy())
plt.title('サンプル共分散行列')
plt.colorbar()
plt.show()

plt.matshow(mean_covariance_matrix.numpy())
plt.title('平均共分散行列')
plt.colorbar()
plt.show()

このコードは、torch.distributions.wishart.Wishart.rsample() 関数よりも速くてメモリ効率が良いですが、収束するまでに時間がかかる場合があります。