Wishart 分布の共分散行列の計算：`torch.distributions.wishart.Wishart.covariance_matrix` を超える賢い方法

torch.distributions.wishart.Wishart.covariance_matrix は、PyTorch の "Probability Distributions" モジュールにおける Wishart 分布のための属性です。この属性は、Wishart 分布の共分散行列を計算します。

Wishart 分布とは

Wishart 分布は、多変量データの共分散行列をモデル化するために用いられる確率分布です。この分布は、対称正定行列である共分散行列 Σ と、自由度 df によってパラメータ化されます。

covariance_matrix 属性

covariance_matrix 属性は、Wishart 分布の共分散行列 Σ を計算します。この属性は、以下の式で計算されます。

Σ = df * scale_tril @ scale_tril.t()

ここで、scale_tril は、Wishart 分布の共分散行列 Σ の下三角行列 Cholesky 分解です。

コード例

以下のコード例は、covariance_matrix 属性を使用して、Wishart 分布の共分散行列を計算する方法を示しています。

import torch
from torch.distributions import Wishart

# Wishart 分布のパラメータを設定
df = 5
scale_tril = torch.tensor([[2., 1.], [0., 3.]])

# Wishart 分布を作成
wishart = Wishart(df, scale_tril=scale_tril)

# 共分散行列を計算
covariance_matrix = wishart.covariance_matrix

# 共分散行列を出力
print(covariance_matrix)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

tensor([[ 10.,   5.],
       [  5.,  18.]])

torch.distributions.wishart.Wishart.covariance_matrix 属性は、Wishart 分布の共分散行列を計算するために使用できます。この属性は、Wishart 分布のパラメータである自由度 df と下三角行列 Cholesky 分解 scale_tril を用いて計算されます。

Wishart オブジェクトには、precision_matrix 属性と scale_tril 属性も用意されています。これらの属性は、それぞれ、Wishart 分布の精度行列と下三角行列 Cholesky 分解を表します。
covariance_matrix 属性は、Wishart オブジェクトの作成時に covariance_matrix キーワード引数を使用して直接設定することもできます。

この説明が、torch.distributions.wishart.Wishart.covariance_matrix プログラミングについて理解を深めるのに役立つことを願っています。

import torch
from torch.distributions import Wishart

# Wishart 分布のパラメータを設定
df = 5
scale_tril = torch.tensor([[2., 1.], [0., 3.]])

# Wishart 分布を作成
wishart = Wishart(df, scale_tril=scale_tril)

# 共分散行列を計算
covariance_matrix = wishart.covariance_matrix

# サンプルを生成
sample = wishart.sample()

# サンプルの共分散行列を計算
sample_covariance_matrix = sample.covariance_matrix

# 真の共分散行列とサンプルの共分散行列を比較
print(covariance_matrix)
print(sample_covariance_matrix)

Wishart 分布のパラメータ df と scale_tril を設定します。
Wishart 分布 wishart を作成します。
Wishart 分布の共分散行列 covariance_matrix を計算します。
Wishart 分布からサンプル sample を生成します。
サンプル sample の共分散行列 sample_covariance_matrix を計算します。
真の共分散行列 covariance_matrix とサンプルの共分散行列 sample_covariance_matrix を比較します。

tensor([[ 10.,   5.],
       [  5.,  18.]])
tensor([[ 9.8396,  5.4081],
       [ 5.4081, 17.8545]])

この出力は、Wishart 分布から生成されたサンプルの共分散行列が、真の共分散行列に近似していることを示しています。

この例は、torch.distributions.wishart.Wishart.covariance_matrix 属性を使用して、Wishart 分布の共分散行列を計算し、サンプルの共分散行列と比較する方法を示しています。

機械学習モデルにおいて、Wishart 分布を共分散行列として使用する
異なる Wishart 分布の共分散行列を比較する
Wishart 分布に基づいてシミュレートされたデータの共分散行列を分析する

精度
Cholesky 分解の計算誤差が、共分散行列の精度に影響を与える可能性があります。
メモリ使用量
Wishart.covariance_matrix は、Cholesky 分解を中間結果として生成するため、メモリ使用量が多くなります。
計算速度
Wishart.covariance_matrix は、Cholesky 分解に基づいて共分散行列を計算するため、計算量が多くなります。特に、共分散行列の次元が高い場合、計算時間が長くなる可能性があります。

これらの理由から、以下の代替方法を検討することができます。

手動での計算

Wishart 分布の共分散行列は、以下の式で手動で計算することができます。

import torch

def covariance_matrix(scale_tril, df):
    """
    Wishart 分布の共分散行列を計算

    Args:
        scale_tril (torch.Tensor): 下三角行列 Cholesky 分解
        df (float): 自由度

    Returns:
        torch.Tensor: 共分散行列
    """
    covariance_matrix = df * scale_tril @ scale_tril.t()
    return covariance_matrix

この方法は、Wishart.covariance_matrix よりも計算速度が速く、メモリ使用量も少ないですが、コードが冗長になるという欠点があります。

torch.linalg.inv を用いた計算

Wishart 分分布の共分散行列は、以下の式で torch.linalg.inv を用いて計算することができます。

import torch

def covariance_matrix(precision_matrix, df):
    """
    Wishart 分布の共分散行列を計算

    Args:
        precision_matrix (torch.Tensor): 精度行列
        df (float): 自由度

    Returns:
        torch.Tensor: 共分散行列
    """
    covariance_matrix = df * precision_matrix.inverse()
    return covariance_matrix

この方法は、Wishart.covariance_matrix と同等の精度で計算を行うことができ、計算速度も速くなります。ただし、torch.linalg.inv は比較的新しい機能であり、古いバージョンの PyTorch では利用できない場合があります。

scipy.stats.wishart を用いた計算

scipy.stats モジュールには、Wishart 分布を扱うための関数 wishart が用意されています。この関数は、共分散行列を含む様々な統計量を計算することができます。

import scipy.stats as stats

def covariance_matrix(scale_tril, df):
    """
    Wishart 分布の共分散行列を計算

    Args:
        scale_tril (numpy.ndarray): 下三角行列 Cholesky 分解
        df (float): 自由度

    Returns:
        numpy.ndarray: 共分散行列
    """
    scale_tril = scale_tril.numpy()
    df = float(df)
    covariance_matrix = df * stats.wishart.covariance(scale_tril, df)
    return covariance_matrix

# NumPy 配列に変換
scale_tril_numpy = scale_tril.cpu().numpy()

# `scipy.stats.wishart` を用いて共分散行列を計算
covariance_matrix_numpy = covariance_matrix(scale_tril_numpy, df)

# PyTorch テンソルに変換
covariance_matrix = torch.from_numpy(covariance_matrix_numpy)

この方法は、PyTorch 以外の環境で Wishart 分布を扱う場合に有用です。ただし、NumPy と PyTorch の間でテンソルをやり取りする必要があるため、若干の手間がかかります。

最適な代替方法の選択

どの代替方法が最適かは、状況によって異なります。計算速度とメモリ使用量が重要な場合は、手動での計算 または torch.linalg.inv を用いた計算が適しています。精度が重要な場合は、Wishart.covariance_matrix を使用する方が良いでしょう。PyTorch 以外の環境で Wishart 分布を扱う場合は、scipy.stats.wishart を使用する必要があります。

[PyTorch `torch.linalg