【PyTorch】ガンマ分布のエントロピーを徹底解説！ `torch.distributions.gamma.Gamma.entropy()` の詳細とサンプルコード

この関数の理解を深めるために、以下のトピックを順を追って解説します。

ガンマ分布とは？

ガンマ分布は、連続確率分布の一つで、形状パラメータ α (shape parameter) と速度パラメータ β (rate parameter) によって表現されます。形状パラメータは、分布の形状を決定し、速度パラメータは、分布のスケーリングを決定します。

ガンマ分布の確率密度関数は以下の式で表されます。

f(x; α, β) = (β ^ α) * (x ^ (α - 1)) * exp(-β * x) / Γ(α)

ここで、Γ(α) はガンマ関数と呼ばれる特殊関数です。

torch.distributions.gamma.Gamma クラスとは？

torch.distributions.gamma.Gamma クラスは、PyTorch でガンマ分布を表現するために使用されます。このクラスは、以下のメソッドを提供します。

entropy(): ガンマ分布のエントロピーを計算します。
cdf(): ガンマ分布の累積分布関数を計算します。
log_prob(): ガンマ分布の確率密度関数の対数確率を計算します。
sample(): ガンマ分布から乱数をサンプリングします。

torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数の詳細

torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数は、ガンマ分布のエントロピーを計算します。エントロピーは、以下の式で計算されます。

H(X) = - ∫ p(x) * log(p(x)) dx

ここで、p(x) はガンマ分布の確率密度関数です。

torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数は、上記の式を数値的に積分することで、エントロピーを計算します。積分には、数値積分アルゴリズムの一つである 自動微分 が使用されます。

torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数の例

以下の例は、torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数を使用して、ガンマ分布のエントロピーを計算する方法を示します。

import torch
import torch.distributions as distributions

# ガンマ分布のパラメータを設定
alpha = torch.tensor(3.0)
beta = torch.tensor(2.0)

# ガンマ分布を作成
gamma = distributions.Gamma(alpha, beta)

# エントロピーを計算
entropy = gamma.entropy()

# エントロピーを出力
print(entropy)

この例では、形状パラメータが 3.0、速度パラメータが 2.0 のガンマ分布のエントロピーを計算します。出力は、以下のようになります。

tensor(1.0986)

import torch
import torch.distributions as distributions

# ガンマ分布のパラメータを設定
alpha = torch.tensor(3.0)
beta = torch.tensor(2.0)

# ガンマ分布を作成
gamma = distributions.Gamma(alpha, beta)

# 乱数をサンプリング
samples = gamma.sample(10000)

# 平均と標準偏差を計算
mean = samples.mean()
std = samples.std()

# ヒストグラムを作成
import matplotlib.pyplot as plt

plt.hist(samples.numpy(), bins=100)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("確率密度")
plt.title("ガンマ分布 (α = 3.0, β = 2.0)")
plt.show()

# エントロピーを計算
entropy = gamma.entropy()

# 結果を出力
print("平均:", mean)
print("標準偏差:", std)
print("エントロピー:", entropy)

ガンマ分布のパラメータ α と β を設定します。
ガンマ分布 gamma を作成します。
ガンマ分布から 10000 個の乱数をサンプリングします。
サンプリングされたデータの平均と標準偏差を計算します。
ガンマ分布のヒストグラムを作成します。
ガンマ分布のエントロピーを計算します。
結果を出力します。

この例では、形状パラメータが 3.0、速度パラメータが 2.0 のガンマ分布をシミュレートしています。ヒストグラムは、ガンマ分布が右に歪んだ形状であることを示しています。平均は 1.5、標準偏差は 0.88 です。エントロピーは 1.0986 です。

手動計算

ガンマ分布のエントロピーは、以下の式で手動で計算できます。

H(X) = - ∫ p(x) * log(p(x)) dx

この式を数値的に積分することで、エントロピーを計算することができます。積分には、数値積分アルゴリズムの一つである Simpson の方法 や ガウス-ルジャンドル法 などを使用できます。

長所

コード制御性が高い: 積分アルゴリズムを自由に選択できます。
柔軟性が高い: 任意のガンマ分布のエントロピーを計算できます。

短所

専門知識が必要: 数値積分アルゴリズムに関する知識が必要です。
計算量が多い: 数値積分は計算量が多いため、時間がかかる場合があります。

近似式

ガンマ分布のエントロピーには、以下の近似式があります。

H(X) ≈ α - log(α) + (ψ(α) - ψ(1)) / β

ここで、α は形状パラメータ、β は速度パラメータ、ψ(x) はディガンマ関数です。

この近似式は、形状パラメータ α が大きい場合に比較的高精度です。

長所

コードがシンプル: 近似式はシンプルな式で表されるため、コードがシンプルになります。
計算速度が速い: 手動計算よりも計算速度が速いです。

短所

適用範囲が限られている: すべてのガンマ分布に適用できるわけではありません。
精度が低い: 形状パラメータ α が小さい場合、精度が低くなります。

他の確率分布

場合によっては、ガンマ分布ではなく、別の確率分布を使用することで、エントロピーをより簡単に計算できる場合があります。例えば、形状パラメータ α が 1 の場合、ガンマ分布は指数分布になります。指数分布のエントロピーは、以下の式で計算できます。

H(X) = 1 / β

長所

計算が簡単: 特定の分布の場合、エントロピーの計算が非常に簡単になる場合があります。

短所

適用範囲が限られている: すべてのガンマ分布に適用できるわけではありません。

torch.distributions.gamma.Gamma.entropy() 関数は、ガンマ分布のエントロピーを計算するための便利なツールですが、状況によっては代替方法の方が適切な場合があります。最良の方法は、具体的な状況によって異なります。

適用範囲: 対象となるガンマ分布の範囲
コード制御性: コードの柔軟性と制御性
計算速度: 許容される計算時間
精度: 必要な精度レベル