【初心者向け】NumPyで行列式を計算：linalg.slogdet() 関数の使い方

構文

sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)

引数

• A: 行列式を計算する行列

返り値

• logabsdet: 行列式の絶対値の自然対数
• sign: 行列式の符号 (1, 0, -1 のいずれか)

例

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)
print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式の絶対値の自然対数: {logabsdet}")

この例では、出力は以下のようになります。

符号: 1
行列式の絶対値の自然対数: 1.3862943611174241

• 行列が非常に大きい場合、linalg.slogdet() 関数は精度エラーが発生する可能性があります。そのような場合は、linalg.cholesky() 関数と linalg.det() 関数を使用して、行列式をより安定的に計算することができます。
• linalg.det() 関数は、行列式のみを計算します。符号は返されません。

• 特異値分解 (SVD) などのアルゴリズムで使用される
• 行列式の絶対値を計算する
• 正則行列かどうかを判断する
• 線形変換の性質を分析する

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例 1: 2x2 行列

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)
print(f"行列:\n {A}")
print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式の絶対値の自然対数: {logabsdet}")
print(f"行列式: {np.exp(logabsdet) * sign}")

行列:
 [[1 2]
  [3 4]]
符号: 1
行列式の絶対値の自然対数: 1.3862943611174241
行列式: 4.0

例 2: 3x3 行列

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)
print(f"行列:\n {A}")
print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式の絶対値の自然対数: {logabsdet}")
print(f"行列式: {np.exp(logabsdet) * sign}")

行列:
 [[1 2 3]
  [4 5 6]
  [7 8 9]]
符号: -1
行列式の絶対値の自然対数: 3.79910894944124
行列式: -27.0

import numpy as np

A = np.array([[1, 0], [0, 0]])

sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)
print(f"行列:\n {A}")
print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式の絶対値の自然対数: {logabsdet}")
print(f"行列式: {np.exp(logabsdet) * sign}")

行列:
 [[1 0]
  [0 0]]
符号: 0
行列式の絶対値の自然対数: -inf
行列式: 0.0

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np.det() と符号の判定

• 短所:
  • 行列式が非常に小さい場合または大きい場合に精度エラーが発生する可能性がある
  • 符号を別途計算する必要がある
• 長所:
  • シンプルで分かりやすい
  • 多くの場合で十分な精度

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

det = np.linalg.det(A)
if det > 0:
    sign = 1
elif det < 0:
    sign = -1
else:
    sign = 0

print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式: {det}")

np.cholesky() と np.prod()

• 短所:
  • np.cholesky() 関数が計算できない行列に対しては使用できない
• 長所:
  • linalg.slogdet()よりも安定した精度
  • 対称行列に対して効率的

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 1]])

L = np.linalg.cholesky(A)
sign = np.prod(np.diag(L))
det = np.prod(L.dot(L.T))

print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式: {det}")

LU分解

• 短所:
  • linalg.slogdet()よりも計算コストがかかる
• 長所:
  • 行列式と逆行列の両方を計算できる

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

P, L, U = np.linalg.lu(A)
det = np.linalg.det(L) * np.linalg.det(U)
sign = np.prod(np.diag(P))

print(f"符号: {sign}")
print(f"行列式: {det}")

余因子展開

• 短所:
  • 計算量が多いため、大規模な行列には非効率的
• 長所:
  • 小規模な行列に対して教育目的で使用できる

import numpy as np

def det(A):
    if len(A) == 1:
        return A[0][0]
    else:
        det_sum = 0
        for i in range(len(A[0])):
            det_minor = det(np.delete(np.delete(A, 0, axis=0), i, axis=1))
            sign = (-1) ** (i % 2)
            det_sum += sign * A[0][i] * det_minor
        return det_sum

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

det_value = det(A)
print(f"行列式: {det_value}")

最適な代替方法の選択

上記で紹介した方法はそれぞれ長所と短所があるため、状況に応じて最適な方法を選択する必要があります。

• 小規模な行列に対して教育目的で使用したい場合
  余因子展開がおすすめです (ただし、計算量が多いため、大規模な行列には非効率的です)。
• 行列式と逆行列の両方が必要の場合
  LU分解がおすすめです。
• 精度が重要で、行列が大きい場合
  np.cholesky() と np.prod() がおすすめです (ただし、行列が対称である必要があります)。
• 精度が重要で、行列が小さいまたは中程度の大きさの場合
  np.det() と符号の判定がおすすめです。

• 具体的な状況に合わせて、最適な方法を選択することが重要です。
• 計算精度や効率は、行列の大きさや構造によって異なります。
• 上記以外にも、行列式の計算方法として、行列式の公式や再帰法などがあります。