NumPyにおける双曲線正接関の逆関数 `emath.arctanh()`

• 戻り値：
  • 入力値xに対応する双曲線正接関の値（実数または複素数）
  • xが1の場合はinfを返す
  • xが-1の場合は-infを返す
• 引数：
  • x: 逆双曲線正接を求める数値（実数または複素数）
• 構文：numpy.emath.arctanh(x)

emath.arctanh()関数の動作

emath.arctanh()関数は、以下の条件に基づいて動作します。

• 複素数入力の場合
  
  • emath.arctanh()関数は、複素数値を返します。
• 実数入力の場合
  
  • |x| < 1の場合：arctanh()関数は、xに対応する双曲線正接関の値を返します。
  • |x| >= 1の場合：arctanh()関数は複素数値を返します。

NumPyには、emath.arctanh()関数とは別にnumpy.arctanh()関数も存在します。これらの関数の主な違いは、以下の通りです。

• 複素数入力
  
  • emath.arctanh()関数：複素数値入力を受け付け、複素数値を返します。
  • numpy.arctanh()関数：複素数値入力を受け付けますが、実数値を返します。
• エラー処理
  
  • emath.arctanh()関数：入力値が[-1, 1]の範囲外の場合、エラーが発生します。
  • numpy.arctanh()関数：入力値が[-1, 1]の範囲外の場合、NaNを返します。

import numpy as np

# 実数入力
x = np.array([0.5, -0.5, 1, -1])
arctanh_values = np.emath.arctanh(x)
print("実数入力に対する双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

# 複素数入力
x = np.array([0.5j, -0.5j, 1j, -1j])
arctanh_values = np.emath.arctanh(x)
print("複素数入力に対する双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

この例では、emath.arctanh()関数を用いて、実数と複素数に対する双曲線正接関の逆関数を計算しています。

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例 1：基本的な使い方

import numpy as np

# 数値配列を生成
x = np.array([-0.9, 0, 0.9])

# `emath.arctanh()`関数で双曲線正接の逆関数を計算
arctanh_values = np.emath.arctanh(x)

# 結果を出力
print("双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

この例では、emath.arctanh()関数を使用して、-0.9、0、0.9 の要素を持つ数値配列に対する双曲線正接関の逆関数を計算しています。

例 2：オプション引数 out を使用して結果を別の配列に格納

import numpy as np

# 数値配列を生成
x = np.array([-0.8, 0.2, 0.7])

# 結果を格納する空の配列を作成
y = np.empty_like(x)

# `emath.arctanh()`関数で双曲線正接の逆関数を計算し、`out`オプションで結果を`y`配列に格納
np.emath.arctanh(x, out=y)

# 結果を出力
print("双曲線正接の逆関数:", y)

この例では、オプション引数 out を使用して、emath.arctanh()関数の結果を別の配列に格納しています。

例 3：whereオプションを使用して条件付きで計算

import numpy as np

# 数値配列を生成
x = np.array([-1.2, -0.5, 0, 0.5, 1.2])

# 条件を指定
condition = np.abs(x) < 1

# `emath.arctanh()`関数で条件付きで双曲線正接の逆関数を計算
arctanh_values = np.emath.arctanh(x, where=condition)

# 結果を出力
print("条件を満たす要素に対する双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

この例では、whereオプションを使用して、emath.arctanh()関数を条件付きで実行しています。この例では、絶対値が1未満の要素のみ双曲線正接の逆関数を計算しています。

import numpy as np

# 複素数配列を生成
x = np.array([0.5j, -0.5j, 1j, -1j])

# `emath.arctanh()`関数で複素数に対する双曲線正接の逆関数を計算
arctanh_values = np.emath.arctanh(x)

# 結果を出力
print("複素数に対する双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

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numpy.arctanh()関数

• emath.arctanh()関数との主な違いは、以下の通りです。
  • エラー処理：入力値が[-1, 1]の範囲外の場合、NaNを返します。
  • 複素数入力：複素数値入力を受け付けますが、実数値を返します。
• emath.arctanh()関数と同様に、実数と複素数入力を受け付け、対応する双曲線正接関の値を返します。

import numpy as np

# 数値配列を生成
x = np.array([-0.9, 0, 0.9])

# `numpy.arctanh()`関数で双曲線正接の逆関数を計算
arctanh_values = np.arctanh(x)

# 結果を出力
print("双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

scipy.special.arctanh()関数

• 主な違いは、以下の通りです。
  • scipyモジュールを事前にインストールする必要があります。
  • emath.arctanh()関数よりも精度が高い場合があります。
• scipyモジュールに含まれる関数で、emath.arctanh()関数と同様の機能を提供します。

import scipy.special as sp

# 数値配列を生成
x = np.array([-0.9, 0, 0.9])

# `scipy.special.arctanh()`関数で双曲線正接の逆関数を計算
arctanh_values = sp.arctanh(x)

# 結果を出力
print("双曲線正接の逆関数:", arctanh_values)

手作りアルゴリズム

• 以下のアルゴリズムは、Newton法に基づいています。
• より高度な制御が必要な場合は、双曲線正接関の逆関数を計算するための手作りアルゴリズムを実装することができます。

def arctanh_inv(x):
    """
    Newton法を用いて双曲線正接関の逆関数を計算

    Args:
        x (float): 入力値

    Returns:
        float: 双曲線正接関の逆関数
    """
    if abs(x) > 1:
        raise ValueError("入力値は[-1, 1]の範囲内に収まる必要があります。")

    y = x
    for _ in range(10):
        y = y - (y - np.tanh(y)) / (1 - np.tanh(y) ** 2)

    return y

この例では、arctanh_inv()関数を使用して、Newton法を用いて双曲線正接関の逆関数を計算しています。

• 以下の近似式は、比較的精度が高いことが知られています。
• 高速な計算が必要な場合は、双曲線正接関の逆関数を近似する式を使用することができます。

def arctanh_approx(x):
    """
    近似式を用いて双曲線正接関の逆関数を計算

    Args:
        x (float): 入力値

    Returns:
        float: 双曲線正接関の逆関数
    """
    if abs(x) > 1:
        raise ValueError("入力値は[-1, 1]の範囲内に収まる必要があります。")

    return 0.5 * np.log((1 + x) / (1 - x))

この例では、arctanh_approx()関数を使用して、近似式を用いて双曲線正接関の逆関数を計算しています。

どの代替方法を使用するかは、状況やニーズによって異なります。

• 高速な計算が必要な場合は、手作りアルゴリズムまたは近似式を使用することを検討してください。
• 高い精度と柔軟性を求める場合は、emath.arctanh()関数またはscipy.special.arctanh()関数を使用することをお勧めします。