Julia開発：LinearAlgebra.svdvals!()を活用した数値計算

2025-05-16

LinearAlgebra.svdvals!() は、与えられた行列の特異値を直接上書きで計算する関数です。この関数は、LinearAlgebra モジュールに含まれています。

関数の役割

! (エクスクラメーションマーク) が関数名の末尾についているのは、この関数が引数として与えられた行列の内容を直接変更 (破壊的) することを意味します。これは、計算に必要な作業領域を確保するために、入力行列のメモリを再利用するため、多くの場合、メモリ効率が良いという利点があります。
特異値は、特異値分解 (Singular Value Decomposition, SVD) において現れる非負の実数です。
与えられた行列の実数値の特異値を計算します。

使用方法

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
S = LinearAlgebra.svdvals!(A)
println(S)
println(A) # A の内容が変更されていることに注意！

上記の例では、以下の処理が行われています。

using LinearAlgebra によって、LinearAlgebra モジュールを読み込み、その中の関数を利用できるようにします。
A = [1.0 2.0; 3.0 4.0] で、2x2 の行列 A を定義します。
S = LinearAlgebra.svdvals!(A) によって、行列 A の特異値が計算され、その結果がベクトル S に格納されます。このとき、行列 A の内部構造は、特異値計算の過程で変更されます。
println(S) で、計算された特異値のベクトル S が表示されます。
println(A) で、特異値計算後に内容が変更された行列 A が表示されます。

返り値

LinearAlgebra.svdvals!() 関数は、計算された特異値を要素とする Vector{Float64} 型のベクトルを返します。これらの特異値は通常、降順にソートされています。

非破壊的な特異値計算を行う関数として、svdvals() が存在します。こちらは入力行列を変更せず、新しいベクトルとして特異値を返します。
svdvals!() は入力行列を直接変更するため、元の行列の内容を保持しておきたい場合は、この関数を呼び出す前にコピーを作成する必要があります (B = copy(A) など)。

引数の型に関するエラー

トラブルシューティング
- 入力行列の要素の型を確認してください。eltype(A) で要素の型を確認できます。
- 必要であれば、行列の型を浮動小数点数型に変換してください。例えば、A = float.(original_A) のようにします。
原因
svdvals!() は、通常、要素が浮動小数点数 (Float64 など) である行列を期待します。整数型 (Int64) の行列を直接渡すと、適切なメソッドが見つからず MethodError が発生します。
エラーメッセージの例
MethodError: no method matching svdvals!(::Matrix{Int64}) など

引数の次元に関するエラー

トラブルシューティング
- 入力が正しい次元の行列であることを確認してください。ndims(A) で次元数、size(A) で各次元のサイズを確認できます。
原因
svdvals!() は行列を入力として受け取ります。ベクトルや高次元の配列を渡すと、次元が合わないというエラーが発生する可能性があります。
エラーメッセージの例
DimensionMismatch など（特異値分解の内部処理で発生する可能性）

LinearAlgebra モジュールがロードされていない

トラブルシューティング
- スクリプトの冒頭または使用する前に using LinearAlgebra を記述してください。
原因
svdvals!() 関数は LinearAlgebra モジュールに含まれています。このモジュールを using LinearAlgebra で明示的にロードしていない場合、関数が見つからないというエラーが発生します。
エラーメッセージの例
UndefVarError: svdvals! not defined

破壊的な操作による意図しない結果

トラブルシューティング
- 元の行列を保持しておきたい場合は、svdvals!() を呼び出す前に copy() 関数でコピーを作成し、そのコピーに対して svdvals!() を実行してください。
- 非破壊的な svdvals() 関数を使用することも検討してください。S = svdvals(A) のように使用すると、元の行列 A は変更されず、特異値が新しいベクトル S として返されます。
原因
svdvals!() は入力行列を上書きする破壊的な関数であるため、計算に必要な作業領域として入力行列のメモリを再利用します。
エラーではないが問題となるケース
元の行列の内容が svdvals!() の実行後に変更されてしまい、後続の処理で元の行列が必要となる場合に問題が発生します。

数値的な問題

トラブルシューティング
- 入力データのスケーリングを検討してください。
- より高精度のデータ型 (BigFloat など) の使用を検討してください（ただし、計算コストが増加します）。
- 特異値分解の結果の妥当性を検証するために、他の方法で計算された結果と比較したり、理論的な考察を行ったりしてください。
原因
特異値分解のアルゴリズムは数値的な安定性に配慮されていますが、極端な条件の行列では精度が低下する可能性があります。
エラーではないが、期待通りの精度が得られないケース
大きな値と小さな値が混在する行列や、条件数の悪い行列の場合、数値計算上の誤差が大きくなることがあります。

変数の内容をチェックする
println() などを使って、計算の途中の変数の値や型を確認することで、予期しない状態になっていないかを確認できます。
簡単な例で試す
問題が複雑な場合に、小さな行列や簡単なデータで svdvals!() を試してみることで、基本的な使い方や挙動を確認できます。
Julia のドキュメントを参照する
?LinearAlgebra.svdvals! のように Julia の REPL で入力すると、関数のドキュメントが表示され、引数の型や返り値、関連する情報などを確認できます。
エラーメッセージを注意深く読む
エラーメッセージは、問題の原因を特定するための重要な情報を含んでいます。行番号や具体的なエラーの内容を確認しましょう。

基本的な使用例

using LinearAlgebra

# 浮動小数点数型の行列を作成
A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
println("元の行列 A:")
println(A)

# svdvals!() を使って特異値を計算（A の内容は変更される）
S = LinearAlgebra.svdvals!(A)
println("\n計算された特異値 S:")
println(S)

println("\nsvdvals!() 実行後の行列 A:")
println(A) # A の内容が特異値計算の過程で変更されている

この例では、2x2 の浮動小数点数型の行列 A を作成し、LinearAlgebra.svdvals!(A) を呼び出してその特異値を計算しています。計算された特異値はベクトル S に格納されます。重要な点として、svdvals!() は破壊的な関数であるため、実行後に元の行列 A の内容が変化していることがわかります。

元の行列を保持したい場合

using LinearAlgebra

A_original = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
println("元の行列 A_original:")
println(A_original)

# 元の行列をコピーしてから svdvals!() を実行
A_copy = copy(A_original)
S = LinearAlgebra.svdvals!(A_copy)
println("\n計算された特異値 S (コピーに対して):")
println(S)

println("\nコピーに対して svdvals!() 実行後の行列 A_copy:")
println(A_copy) # コピーの内容は変更される

println("\n元の行列 A_original (変更なし):")
println(A_original) # 元の行列はそのまま

この例では、元の行列 A_original を copy() 関数でコピーし、そのコピー A_copy に対して svdvals!() を実行しています。これにより、特異値は計算されますが、元の行列 A_original の内容は保持されます。

非破壊的な svdvals() の使用例

using LinearAlgebra

B = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
println("元の行列 B:")
println(B)

# 非破壊的な svdvals() を使って特異値を計算
T = LinearAlgebra.svdvals(B)
println("\n計算された特異値 T (非破壊的):")
println(T)

println("\nsvdvals() 実行後の行列 B (変更なし):")
println(B) # 元の行列 B は変更されない

この例では、非破壊的な関数 svdvals() を使用しています。svdvals(B) を呼び出すと、行列 B の特異値が計算され、新しいベクトル T として返されます。元の行列 B の内容は変更されません。

異なる型の行列での使用例 (型変換が必要な場合)

using LinearAlgebra

C_int = [1 2; 3 4]
println("整数型の行列 C_int:")
println(C_int)

# 浮動小数点数型に変換してから svdvals!() を実行
C_float = float.(C_int)
S_c = LinearAlgebra.svdvals!(C_float)
println("\n計算された特異値 S_c (浮動小数点数型に変換後):")
println(S_c)

println("\nsvdvals!() 実行後の行列 C_float:")
println(C_float)

この例では、整数型の行列 C_int を作成し、float.(C_int) を使って要素を浮動小数点数型に変換した新しい行列 C_float に対して svdvals!() を実行しています。svdvals!() は通常、浮動小数点数型の行列を扱うため、必要に応じて型変換を行います。

より大きなサイズの行列での使用例

using LinearAlgebra

# 5x3 のランダムな行列を作成
D = rand(5, 3)
println("ランダムな行列 D (5x3):")
println(D)

# svdvals!() を使って特異値を計算
singular_values_D = LinearAlgebra.svdvals!(copy(D)) # 元の行列を保持するためにコピー
println("\n行列 D の特異値:")
println(singular_values_D)

この例では、rand(5, 3) を使って 5x3 のランダムな行列 D を作成し、その特異値を計算しています。ここでは、元の行列 D を保持するために copy() を使用しています。

非破壊的な LinearAlgebra.svdvals() 関数

使用例
説明
これは svdvals!() の非破壊的なバージョンです。入力行列を変更せずに、特異値を新しいベクトルとして返します。元の行列を保持したい場合に推奨されます。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
singular_values = LinearAlgebra.svdvals(A)
println("特異値 (非破壊的):")
println(singular_values)
println("元の行列 A (変更なし):")
println(A)

特異値分解全体を計算する LinearAlgebra.svd() 関数

使用例
返り値
svd() は SVD 型のオブジェクトを返します。このオブジェクトは、左特異行列 (U)、特異値のベクトル (S)、および右特異行列 (V') を含んでいます。
説明
svd() 関数は、特異値だけでなく、特異ベクトル（左特異ベクトルと右特異ベクトル）も同時に計算します。特異値に加えてこれらのベクトルが必要な場合に利用します。

using LinearAlgebra

B = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
svd_result = LinearAlgebra.svd(B)

U = svd_result.U
S = svd_result.S
V = svd_result.V

println("左特異行列 U:")
println(U)
println("\n特異値 S:")
println(S)
println("\n右特異行列 V:")
println(V)

特異値のみが必要な場合は、svd(B).S のようにして特異値ベクトルに直接アクセスできます。

固有値分解を利用する方法 (対称行列の場合)

使用例 (実対称行列)
注意
これは対称行列またはエルミート行列にのみ適用可能です。
説明
入力行列 A が実対称行列（AT=A）またはエルミート行列（AH=A、複素共役転置が自身と等しい）の場合、特異値は固有値の絶対値と一致します。したがって、固有値分解 (eigen()) を利用して特異値を計算できます。

using LinearAlgebra

C = [4.0 1.0; 1.0 4.0] # 実対称行列
eigen_result = LinearAlgebra.eigen(C)
eigenvalues = eigen_result.values
singular_values_from_eigen = abs.(eigenvalues)

println("固有値:")
println(eigenvalues)
println("\n特異値 (固有値の絶対値から):")
println(singular_values_from_eigen)

使用例
注意
この方法は、特に大きな行列の場合、計算コストが高くなる可能性があります。また、数値的な安定性の問題が生じる可能性もあります。一般的には svd() または svdvals() の使用が推奨されます。
説明
特異値 sigma_i は、ATA (または AAT) の固有値 lambda_i の平方根として定義されます (sigma_i=sqrtlambda_i). したがって、これらの行列の固有値を計算し、その平方根を取ることで特異値を求めることができます。

using LinearAlgebra

D = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
ATA = transpose(D) * D
eigen_result_ATA = LinearAlgebra.eigen(ATA)
eigenvalues_ATA = eigen_result_ATA.values
singular_values_explicit = sqrt.(abs.(eigenvalues_ATA)) # 絶対値を取ってから平方根

println("A^T A の固有値:")
println(eigenvalues_ATA)
println("\n特異値 (A^T A の固有値から):")
println(singular_values_explicit)

陽に ATA または AAT の固有値を計算する方法は理論的な理解には役立ちますが、計算コストや数値的な安定性の観点から、通常は svd() または svdvals() の使用が推奨されます。
入力行列が実対称またはエルミート行列である場合は LinearAlgebra.eigen() を利用して固有値を計算し、その絶対値が特異値となります。
特異値に加えて特異ベクトルも必要な場合は LinearAlgebra.svd() を使用します。
単に特異値が必要で、元の行列を変更したくない場合は LinearAlgebra.svdvals() を使用します。

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