Juliaのldlt!()で学ぶLDLᵀ分解：理論と実践
2025-03-21
LinearAlgebra.ldlt!()関数は、与えられた正方行列のLDLᵀ分解（またはLDLT分解）をインプレースで計算します。 "インプレース"とは、元の行列のメモリ領域を直接変更することを意味します。これは、メモリ効率の点で有利ですが、元の行列が変更されることに注意が必要です。
LDLᵀ分解 (LDL^T decomposition)
LDLᵀ分解は、正定値行列Aを、下三角行列L、対角行列D、Lの転置行列Lᵀの積に分解するものです。数式で表すと以下のようになります。
A = LDLᵀ
- Lᵀ
Lの転置行列 (上三角行列) - D
対角成分が正である対角行列 - L
対角成分が1である下三角行列
LDLT分解 (LDLT decomposition)
Aが正定値行列 でない 場合でも、LDLT分解が可能な場合があります。この場合、Dは対角行列ですが、必ずしも正である必要はありません。 ldlt!関数は、正定値行列だけでなく、より一般的な行列に対しても適用可能です。
LinearAlgebra.ldlt!() の特徴
- 戻り値
LDLT型のオブジェクトを返します。このオブジェクトを使って、分解された行列L、D、Lᵀにアクセスしたり、線形方程式を解いたりすることができます。 - 正定値行列だけでなく、より一般的な行列にも適用可能
正定値行列だけでなく、LDLT分解が可能な行列であれば使用できます。 - インプレース
元の行列を直接変更するため、メモリ効率が良い。大きな行列を扱う場合に特に有効です。
使用例
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0] # 例の正方行列
F = ldlt!(A) # AをLDLᵀ分解し、結果をFに格納
L = F.L # 下三角行列L
D = F.D # 対角行列D
# Lᵀ は F.U でアクセス可能 (F.U は Lᵀ と同じ)
println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("Lᵀ = \n", F.U)
# 線形方程式 Ax = b を解く例
b = [1.0, 2.0, 3.0]
x = F \ b # LDLᵀ分解の結果を使って x を計算 (A\b と同じ)
println("x = \n", x)
println("元の行列Aは変更されました:\n", A) # Aの内容が変化していることを確認
- 行列が正定値でない場合、LDLT分解が存在しない可能性や、数値的に不安定になる可能性があります。
- 元の行列が変更されるため、必要であればコピーを作成してから
ldlt!を使用してください。A_copy = copy(A); ldlt!(A_copy)
行列が正方行列でない場合
- 対策
入力行列が正方行列であることを確認してください。 - 原因
ldlt!は正方行列に対してのみ定義されています。非正方行列を渡すとDimensionMismatchエラーが発生します。 - エラーメッセージ
DimensionMismatch("matrix A must be square")
行列が特異行列（正則でない）場合
- 対策
入力行列が正則であることを確認してください。行列の行列式を計算したり、条件数を調べたりすることで確認できます。 特異値分解(SVD)など、他の分解方法を検討してください。 - 原因
特異行列はLDLT分解を持ちません。ldlt!を特異行列に適用するとSingularExceptionが発生します。 - エラーメッセージ
SingularException(0)(または類似のエラー)
行列が正定値でない場合 (LDLT分解の場合)
- 対策
- 行列が本当に正定値であるべきか確認してください。もしそうであれば、入力データの精度や行列の構成方法を見直してください。
- 正定値でない可能性が高い場合は、Cholesky分解(
cholesky!)ではなく、LU分解(lu!)やQR分解(qr!)などの他の分解方法を検討してください。 - ピボット付きのLU分解 (
lu!(A, pivot=Val(true))) を試すことで、数値的安定性を改善できる場合があります。
- 原因
ldlt!は正定値行列だけでなく、より一般的な行列にも適用できますが、正定値でない場合は数値的に不安定になる可能性があります。特に、対角成分が非常に小さい、あるいは負の値を持つ場合、計算が不安定になります。 - エラーメッセージ
特に明確なエラーが出ない場合もありますが、計算結果がNaNやInfになる、あるいはその後の計算結果がおかしくなることがあります。
インプレース変更による影響
- 対策
- 元の行列を変更したくない場合は、
copy()を使ってコピーを作成してからldlt!を適用してください。 例:F = ldlt!(copy(A)) - インプレース変更の影響を理解し、必要に応じてコピーを作成するなどの対策を講じてください。
- 元の行列を変更したくない場合は、
- 問題
ldlt!は元の行列を直接変更します。そのため、元の行列が意図せず変更されてしまうことがあります。
数値誤差
- 対策
- 入力データの精度を見直してください。
- 必要に応じて、より高精度な演算（
BigFloatなど）を使用することを検討してください。 - 計算結果の検証を行い、誤差が許容範囲内であることを確認してください。
- 問題
浮動小数点演算の性質上、数値誤差は避けられません。特に、行列のサイズが大きい場合や条件数が大きい場合、誤差が大きくなる可能性があります。
- エラーメッセージをよく読む
エラーメッセージには、問題の原因に関するヒントが含まれています。 - 入力データの確認
入力行列のサイズ、型、値などを確認してください。 - 行列の性質の確認
行列が正方行列であるか、正則であるか、正定値であるかなどを確認してください。 - 他の分解方法の検討
LDLT分解が適切でない場合は、他の分解方法（LU分解、QR分解、SVDなど）を検討してください。 - 数値計算ライブラリのドキュメントを参照
JuliaのLinearAlgebraライブラリのドキュメントには、各関数の詳細な説明や注意点が記載されています。
例1: 基本的なLDLᵀ分解
using LinearAlgebra
# 正方行列 A
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
# LDLᵀ分解を実行 (インプレース)
F = ldlt!(A)
# 分解された行列にアクセス
L = F.L # 下三角行列
D = F.D # 対角行列
U = F.U # 上三角行列 (Lᵀ と同じ)
println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("U = \n", U)
# 元の行列 A が変更されていることを確認
println("変更後の A = \n", A)
# LDLᵀ分解の結果を使って行列 A を再構成できることを確認
A_reconstructed = L * D * U
println("再構成された A = \n", A_reconstructed)
この例では、正方行列Aに対してldlt!を実行し、LDLᵀ分解を行います。分解された行列L、D、U（Lᵀ）にアクセスし、表示しています。また、ldlt!が元の行列Aをインプレースで変更することを実証しています。最後に、分解された行列を使って元の行列を再構成できることを示しています。
例2: コピーを使って元の行列を保持
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
# A のコピーを作成
A_copy = copy(A)
# コピーに対して LDLᵀ分解を実行
F = ldlt!(A_copy)
println("L = \n", F.L)
println("D = \n", F.D)
# 元の行列 A は変更されていない
println("元の A = \n", A)
println("コピーの A = \n", A_copy)
この例では、copy()を使って元の行列Aのコピーを作成し、そのコピーに対してldlt!を実行しています。これにより、元の行列Aは変更されずに保持されます。
例3: 線形方程式を解く
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
b = [1.0, 2.0, 3.0]
# LDLᵀ分解
F = ldlt!(copy(A)) # Aのコピーに対してldlt!を実行
# 線形方程式 Ax = b を解く
x = F \ b # または x = ldiv!(F, b)
println("解 x = \n", x)
# 解の検証
println("A * x = \n", A * x)
この例では、ldlt!を使って行列AのLDLᵀ分解を行い、その結果を使って線形方程式Ax = bを解いています。\演算子（またはldiv!関数）を使うことで、効率的に解を計算できます。 Aのコピーに対してldlt!を実行しているため、元のAは変更されません。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
F = ldlt!(copy(A))
println("F の型: ", typeof(F)) # Fの型を表示
println("L の型: ", typeof(F.L)) # Lの型を表示
println("D の型: ", typeof(F.D)) # Dの型を表示
println("U の型: ", typeof(F.U)) # Uの型を表示
cholesky!() (コレスキー分解)
- 使用例
- 欠点
正定値対称行列にしか適用できない。 - 利点
ldlt!よりも高速で数値的に安定。 - 特徴
入力行列が正定値対称行列である場合に利用できます。LDLT分解と似ていますが、cholesky!はA = LLᵀの形に分解します (Lは下三角行列)。計算量が少なく、数値的にも安定しているため、正定値対称行列に対しては最も効率的な方法です。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0; 1.0 2.0] # 正定値対称行列
C = cholesky!(copy(A))
L = C.L
U = C.U # Lᵀ と同じ
println("L = \n", L)
println("U = \n", U)
lu!() (LU分解)
- 使用例
- 欠点
LDLT分解よりも計算量が多い。 - 利点
正方行列に対して適用可能。 - 特徴
正方行列に対して適用できます。A = PLUの形に分解します (Pは置換行列、Lは下三角行列、Uは上三角行列)。LDLT分解よりも適用範囲が広いですが、計算量は多くなります。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
F = lu!(copy(A))
L = F.L
U = F.U
P = F.P
println("L = \n", L)
println("U = \n", U)
println("P = \n", P)
qr!() (QR分解)
- 使用例
- 欠点
LDLT分解やLU分解とは目的が異なる。 - 利点
任意のサイズの行列に適用可能。 - 特徴
任意のサイズの行列に対して適用できます。A = QRの形に分解します (Qは直交行列、Rは上三角行列)。線形最小二乗問題などに利用されます。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0; 1.0 2.0; 2.0 1.0] # 非正方行列
F = qr!(copy(A))
Q = F.Q
R = F.R
println("Q = \n", Q)
println("R = \n", R)
svd!() (特異値分解)
- 使用例
- 欠点
LDLT分解やLU分解とは目的が異なる。計算量が比較的多い。 - 利点
任意のサイズの行列に適用可能。特異値分解は、行列の性質を詳しく調べたり、低ランク近似を求めたりするのに役立ちます。 - 特徴
任意のサイズの行列に対して適用できます。A = UΣVᵀの形に分解します (UとVは直交行列、Σは特異値を含む対角行列)。行列のランクや条件数、線形方程式の最小二乗解などを求めるのに利用されます。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0; 1.0 2.0; 2.0 1.0] # 非正方行列
F = svd!(copy(A))
U = F.U
S = F.S # 特異値
V = F.V
println("U = \n", U)
println("S = \n", S)
println("V = \n", V)
ldlt (コピーを返す非インプレース版)
- 使用例
- 欠点
ldlt!に比べてメモリ使用量が増える可能性がある。 - 利点
元の行列を変更しない。 - 特徴
ldlt!の非インプレース版です。元の行列を変更せずに、LDLT分解の結果を新しいオブジェクトとして返します。
using LinearAlgebra
A = [4.0 1.0 2.0; 1.0 2.0 1.0; 2.0 1.0 3.0]
F = ldlt(A) # Aは変更されない
println("L = \n", F.L)
println("D = \n", F.D)
println("U = \n", F.U)
println("元の A = \n", A) # Aは変更されていない
- LDLT分解が必要で、元の行列を変更したくない
ldlt(A) - 任意のサイズの行列
qr!()またはsvd!() - 正方行列
lu!()(または、元の行列を変更したくない場合はldlt(A)) - 正定値対称行列
cholesky!()