Julia 最新情報: trsen!() を活用した線形代数ライブラリの探求

2025-05-16

LinearAlgebra.LAPACK.trsen!() は、Juliaの標準ライブラリである LinearAlgebra モジュールに含まれており、LAPACK（Linear Algebra PACKage）という数値線形代数のための高性能ライブラリのルーチンをJuliaから直接利用するための関数の一つです。具体的には、実または複素の上三角行列（または準三角行列）の固有値の選択と、それに対応する不変部分空間の計算を行います。

この関数は、選択された固有値に対応する固有ベクトル（または一般化固有ベクトル）によって張られる部分空間（不変部分空間）の直交基底を求め、必要に応じて固有値の感度（条件数）も評価します。! が関数名の末尾についているのは、この関数が入力として与えられた行列などの変数を破壊的に変更する可能性があることを示しています。

関数の主な目的と機能

固有値の選択
与えられた上三角行列（または準三角行列）の対角要素である固有値の中から、指定した条件（例えば、特定の実部または虚部の範囲に入るなど）を満たす固有値を選択します。
不変部分空間の計算
選択された固有値に対応する不変部分空間の直交基底を計算します。不変部分空間とは、その部分空間内の任意のベクトルに線形変換（この場合は行列の作用）を施しても、結果が再びその部分空間内に留まるような空間です。
固有値と固有部分空間の感度評価（オプション）
選択された固有値とそれに対応する不変部分空間の感度（条件数）を計算することができます。これは、入力行列のわずかな摂動が固有値や不変部分空間にどの程度影響を与えるかを示す指標となります。

関数の引数

LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select::Vector{Bool}, T::AbstractMatrix{<:BlasFloat}, Q::AbstractMatrix{<:BlasFloat}[, job::AbstractChar='B', compq::AbstractChar='V'])

compq::AbstractChar='V': Q 行列の扱いを指定します。
- 'N': Q は与えられず、不変部分空間の基底は計算されません。
- 'V': Q はシューアベクトルの初期直交行列として与えられ、出力時に選択された不変部分空間の直交基底を含むように更新されます。
job::AbstractChar='B': 実行する計算の種類を指定します。
- 'N': 感度評価は行いません。
- 'E': 選択された固有値の感度（条件数）のみを計算します。
- 'V': 選択された不変部分空間の感度（条件数）のみを計算します。
- 'B': 選択された固有値と不変部分空間の両方の感度（条件数）を計算します。
Q::AbstractMatrix{<:BlasFloat}: compq = 'V' の場合に、T をシューア分解した際のユニタリ（または直交）行列を与えます。出力時には、選択された固有値に対応する不変部分空間の基底を含むように更新されます。compq = 'N' の場合は、この引数は無視されます。
T::AbstractMatrix{<:BlasFloat}: 実または複素の上三角行列（または準三角行列）です。この行列は関数によって上書きされる可能性があります。
select::Vector{Bool}: 長さが T の対角要素（固有値）の数と同じである論理値のベクトルです。true に対応する固有値が選択されます。

戻り値

関数は、選択された固有値の数、実固有値の分離（実シューア形式の場合）、固有値の感度（job = 'E' または 'B' の場合）、および不変部分空間の感度（job = 'V' または 'B' の場合）を返します。

使用例

using LinearAlgebra

# 例として、適当な上三角行列を作成
T = [1.0 2.0 3.0; 0.0 4.0 5.0; 0.0 0.0 6.0]
Q = Matrix(I, 3, 3) # 初期ユニタリ行列（単位行列）

# 固有値の実部が 3 より大きいものを選択
select = [false, true, true]

# trsen!() 関数を実行
s, sep, Wr, Wi, Vl, Vr, sepvec = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select, T, Q, 'B', 'V')

println("選択された固有値の数: ", s)
println("分離 (sep): ", sep)
println("選択された固有値の実部 (Wr): ", Wr)
println("選択された固有値の虚部 (Wi): ", Wi)
println("左特異ベクトル (Vl): ", Vl)
println("右特異ベクトル (Vr): ", Vr)
println("不変部分空間の分離 (sepvec): ", sepvec)
println("更新された上三角行列 T:\n", T)
println("更新されたユニタリ行列 Q:\n", Q)

この例では、上三角行列 T の固有値のうち、select ベクトルで true と指定されたもの（この場合は 4.0 と 6.0）に対応する不変部分空間とその感度を計算しています。Q は初期のユニタリ行列として単位行列を与え、関数実行後には選択された固有値に対応する不変部分空間の基底を含むように更新されます。T 自体も、選択された固有値が左上に集まるように変換される可能性があります。

よくあるエラーとトラブルシューティング

- エラー例
  T に Float64 の行列を与えたのに、Q に ComplexF64 の行列を与えた場合など。
- 原因
  T と Q は、要素の型が一致している必要があります。通常は Float64 または ComplexF64 のどちらかで統一します。
- トラブルシューティング
  typeof(T) と typeof(Q) でそれぞれの型を確認し、必要に応じて convert() 関数などを用いて型を統一してください。
行列の次元の不一致
- エラー例
  select ベクトルの長さが T の次元（対角要素の数）と異なる場合。Q の列数が T の次元と異なる場合（compq = 'V' の場合）。
- 原因
  - select ベクトルは、T の対角要素（固有値）の数と正確に同じ長さを持つ必要があります。
  - compq = 'V' の場合、Q は T と同じ数の列を持つ正方行列である必要があります。通常はシューア分解の結果として得られたユニタリ/直交行列を与えます。
- トラブルシューティング
  size(T) と length(select)、および size(Q, 2) を確認し、次元が一致するように調整してください。Q を適切に初期化またはシューア分解の結果から取得しているか確認してください。
入力行列 T の形式が不正
- エラー例
  T が上三角行列（または準三角行列）でない場合。
- 原因
  trsen!() は、入力 T がシューア分解などによって得られた上三角行列（実シューア形式の場合は対角ブロックが 1x1 または 2x2 のブロック上三角行列）であることを前提としています。
- トラブルシューティング
  T を schur() 関数などを用いて事前にシューア分解し、その結果の T （通常は Schur オブジェクトの .T フィールド）を trsen!() に渡してください。
compq = 'V' で Q が単位行列で初期化されていない
- エラー例
  Q を不適切な値で初期化した場合。
- 原因
  compq = 'V' を指定する場合、Q は初期のユニタリ/直交変換行列として機能します。通常は単位行列で初期化するか、事前に schur() 分解で得られた Q を使用します。
- トラブルシューティング
  Q = Matrix(I, size(T, 1), size(T, 1)) のように単位行列で初期化するか、schur() の結果の Q を使用してください。
LAPACKのエラーメッセージ
- エラー例
  Juliaのエラーメッセージに "LAPACKException" などが含まれる場合。
- 原因
  これは、底層のLAPACKルーチンが何らかの理由で失敗したことを示しています。具体的な原因はエラーメッセージに含まれていることが多いですが、引数の不正な値などが原因である可能性があります。
- トラブルシューティング
  エラーメッセージを注意深く読み、引数の値や型、次元などがLAPACKの要求を満たしているか再度確認してください。LAPACKのドキュメント（英語）を参照することも有効です。
select ベクトルの扱い
- 注意点
  select ベクトルは、どの固有値を選択するかをブール値で指定します。true に対応する固有値が選択されます。意図した固有値が選択されているか確認してください。
戻り値の解釈
- トラブルシューティング
  関数の戻り値（s, sep, Wr, Wi, Vl, Vr, sepvec）が何を意味するのかを正しく理解することが重要です。例えば、実シューア形式の場合、Wr と Wi は実部と虚部に対応しますが、2x2 の実ブロックに対応する固有値の場合は、Wr に実部が、Wi に虚部の絶対値（常に非負）が含まれます。

一般的なトラブルシューティングの手順

エラーメッセージをよく読む
Juliaが提供するエラーメッセージは、問題の原因の手がかりとなることが多いです。
引数の型と次元を確認する
typeof() や size() を用いて、引数が期待される型と次元を持っているか確認します。
入力データの状態を確認する
T が上三角（または準三角）形式であるか、Q が適切に初期化または計算されているかなどを確認します。
ドキュメントを参照する
Juliaの LinearAlgebra.LAPACK.trsen! のドキュメントや、底層のLAPACKルーチン（通常は dtrsen（実数）または ztrsen（複素数））のドキュメントを参照すると、引数の詳細な仕様や注意点などが記載されています。
簡単な例で試す
問題が複雑な場合に、より小さな簡単な行列や select ベクトルで試してみて、基本的な動作を確認するのも有効です。

例1: 基本的な使用法 (実数行列)

この例では、実数の上三角行列を作成し、特定の固有値を選択して、対応する不変部分空間を計算します。

using LinearAlgebra

# 3x3 の実数の上三角行列を作成
T = [1.0 2.0 3.0;
     0.0 4.0 5.0;
     0.0 0.0 6.0]

# シューア分解の Q 行列として単位行列を初期化
Q = Matrix(I, 3, 3)

# 選択ベクトル: 2番目と3番目の固有値 (4.0 と 6.0) を選択
select = [false, true, true]

# trsen!() 関数を実行し、固有値と不変部分空間の感度も計算
s, sep, Wr, Wi, Vl, Vr, sepvec = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select, T, Q, 'B', 'V')

println("選択された固有値の数 (s): ", s)
println("固有値の分離 (sep): ", sep)
println("選択された固有値の実部 (Wr): ", Wr)
println("選択された固有値の虚部 (Wi): ", Wi)
println("左特異ベクトル (Vl):")
println(Vl)
println("右特異ベクトル (Vr):")
println(Vr)
println("不変部分空間の分離 (sepvec): ", sepvec)
println("更新された上三角行列 T:")
println(T)
println("更新されたユニタリ行列 Q:")
println(Q)

このコードでは、T は初期の上三角行列、Q はシューアベクトルの初期値（単位行列）です。select ベクトルで true になっているインデックスに対応する固有値が選択されます。job = 'B' と compq = 'V' を指定しているため、固有値と不変部分空間の両方の感度が計算され、Q は選択された不変部分空間の基底を含むように更新されます。

例2: 複素数行列での使用法

複素数の上三角行列に対しても同様に trsen!() を使用できます。

using LinearAlgebra

# 2x2 の複素数の上三角行列を作成
T_complex = [1.0 + 1.0im  2.0 + 0.5im;
             0.0          3.0 - 2.0im]

# シューア分解の Q 行列として単位行列を初期化
Q_complex = Matrix(I, 2, 2)

# 最初の固有値 (1.0 + 1.0im) を選択
select_complex = [true, false]

# trsen!() 関数を実行
s_complex, sep_complex, Wr_complex, Wi_complex, Vl_complex, Vr_complex, sepvec_complex = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select_complex, T_complex, Q_complex, 'B', 'V')

println("\n複素数行列の例:")
println("選択された固有値の数 (s_complex): ", s_complex)
println("固有値の分離 (sep_complex): ", sep_complex)
println("選択された固有値の実部 (Wr_complex): ", Wr_complex)
println("選択された固有値の虚部 (Wi_complex): ", Wi_complex)
println("左特異ベクトル (Vl_complex):")
println(Vl_complex)
println("右特異ベクトル (Vr_complex):")
println(Vr_complex)
println("不変部分空間の分離 (sepvec_complex): ", sepvec_complex)
println("更新された上三角行列 T_complex:")
println(T_complex)
println("更新されたユニタリ行列 Q_complex:")
println(Q_complex)

この例では、複素数の行列 T_complex を扱い、最初の固有値を選択しています。複素数の場合でも、基本的な使い方は実数行列と同様です。

例3: シューア分解の結果と組み合わせて使用する

通常、trsen!() は、まず行列をシューア分解し、その結果得られた上三角行列とユニタリ行列に対して適用されます。

using LinearAlgebra

# 適当な実数行列 A を作成
A = [1.0 2.0 3.0;
     4.0 5.0 6.0;
     7.0 8.0 9.0]

# シューア分解を実行
S = schur(A)
T_schur = S.T
Q_schur = S.Q

# シューア分解された T の対角要素 (固有値) を選択する条件
# 例えば、実部が 0 より小さい固有値を選択
select_schur = real.(diag(T_schur)) .< 0

# trsen!() 関数を適用
s_schur, sep_schur, Wr_schur, Wi_schur, Vl_schur, Vr_schur, sepvec_schur = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select_schur, T_schur, Q_schur, 'B', 'V')

println("\nシューア分解と組み合わせた例:")
println("選択された固有値の数 (s_schur): ", s_schur)
println("固有値の分離 (sep_schur): ", sep_schur)
println("選択された固有値の実部 (Wr_schur): ", Wr_schur)
println("選択された固有値の虚部 (Wi_schur): ", Wi_schur)
println("左特異ベクトル (Vl_schur):")
println(Vl_schur)
println("右特異ベクトル (Vr_schur):")
println(Vr_schur)
println("不変部分空間の分離 (sepvec_schur): ", sepvec_schur)
println("更新されたシューア形式 T_schur:")
println(T_schur)
println("更新されたユニタリ行列 Q_schur:")
println(Q_schur)

この例では、まず schur() 関数で行列 A をシューア分解し、得られた上三角行列 T_schur とユニタリ行列 Q_schur を trsen!() に渡しています。select_schur ベクトルは、T_schur の対角要素（固有値）の実部に基づいて作成されています。

例4: 感度評価のみを行う

job 引数を 'E' (固有値の感度のみ) または 'V' (不変部分空間の感度のみ) に設定することで、特定の感度評価のみを行うことができます。

using LinearAlgebra

# 上三角行列 T とユニタリ行列 Q (シューア分解の結果など) を用意
A_sens = [2.0 1.0; -1.0 2.0]
S_sens = schur(A_sens)
T_sens = S_sens.T
Q_sens = S_sens.Q

select_sens = [true, false]

# 固有値の感度のみを計算
s_e, sep_e, Wr_e, Wi_e, Vl_e, Vr_e, sepvec_e = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select_sens, T_sens, Q_sens, 'E', 'N')
println("\n固有値の感度評価のみ:")
println("選択された固有値の数 (s_e): ", s_e)
println("固有値の分離 (sep_e): ", sep_e)
println("選択された固有値の実部 (Wr_e): ", Wr_e)
println("選択された固有値の虚部 (Wi_e): ", Wi_e)

# 不変部分空間の感度のみを計算
s_v, sep_v, Wr_v, Wi_v, Vl_v, Vr_v, sepvec_v = LinearAlgebra.LAPACK.trsen!(select_sens, T_sens, Q_sens, 'V', 'V')
println("\n不変部分空間の感度評価のみ:")
println("選択された固有値の数 (s_v): ", s_v)
println("不変部分空間の分離 (sepvec_v): ", sepvec_v)

代替的な方法

- eigen() 関数は、与えられた行列の全ての固有値と対応する固有ベクトルを計算します。trsen!() のように特定の固有値を選択することは直接的ではありませんが、eigen() の結果をフィルタリングすることで、特定の条件を満たす固有値に対応する固有ベクトルを取り出すことができます。
- 利点
  より高レベルなインターフェースで、扱いやすい Eigen 型のオブジェクトを返します。
- 欠点
  全ての固有値と固有ベクトルを計算するため、大規模な行列や特定の固有値のみに関心がある場合には計算コストが高くなる可能性があります。また、不変部分空間の直交基底や感度評価は直接的には得られません。
- 例
```
using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0 3.0;
     4.0 5.0 6.0;
     7.0 8.0 9.0]

eig = eigen(A)
eigenvalues = eig.values
eigenvectors = eig.vectors

# 例えば、実部が正の固有値に対応する固有ベクトルを選択
selected_eigenvectors = eigenvectors[:, real.(eigenvalues) .> 0]

println("固有値:")
println(eigenvalues)
println("\n対応する固有ベクトル:")
println(selected_eigenvectors)
```
シューア分解 (schur() 関数) とその後の処理
- schur() 関数は、行列をシューア形式（実シューア形式または複素シューア形式）に分解します。シューア形式の対角要素（または対角ブロック）は固有値に対応しており、シューアベクトルの行列 Q は不変部分空間の基底と関連しています。
- trsen!() のように自動的な選択や感度評価は行われませんが、schur() の結果を利用して、必要に応じて固有値の選択や不変部分空間の操作を自分で行うことができます。
- 利点
  trsen!() の前提となるシューア分解を明示的に行い、その結果を直接操作できるため、より柔軟な処理が可能です。
- 欠点
  固有値の選択や不変部分空間の操作、感度評価などを自分で実装する必要があります。
- 例
```
using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
S = schur(A)
T_schur = S.T
Q_schur = S.Q
eigenvalues_schur = diag(T_schur)

# 例えば、絶対値が 3 より大きい固有値に対応するシューアベクトルを取り出す
selected_eigenvectors_schur = Q_schur[:, abs.(eigenvalues_schur) .> 3]

println("シューア形式 T:")
println(T_schur)
println("\nシューアベクトル Q:")
println(Q_schur)
println("\n選択されたシューアベクトル:")
println(selected_eigenvectors_schur)
```
他の数値線形代数ライブラリの利用
- Juliaのエコシステムには、LinearAlgebra 以外にも数値線形代数の機能を提供するライブラリが存在します。例えば、Arpack.jl は大規模疎行列の固有値問題を扱うのに特化しており、特定の範囲の固有値や特異値を効率的に計算できます。
- 利点
  特定の問題領域に特化した効率的なアルゴリズムを利用できる場合があります。
- 欠点
  外部ライブラリの導入と学習が必要になる場合があります。また、trsen!() と同等の機能が直接提供されているとは限りません。
手動での実装
- 特定の簡単なケースや、学習目的の場合には、固有値や固有ベクトル、不変部分空間の計算をアルゴリズムに基づいて手動で実装することも考えられます。ただし、これは一般的には非効率であり、数値的な安定性の問題も考慮する必要があります。
- 利点
  アルゴリズムの理解を深めることができます。
- 欠点
  実用的な問題に対しては非効率であり、実装が複雑になる可能性があります。

trsen!() を直接使用しない場合の考慮事項

数値的安定性
LAPACKルーチンは、数値的な安定性が高く設計されています。手動実装や他のライブラリの利用においては、数値的安定性に注意を払う必要があります。
機能
trsen!() は、固有値の選択、不変部分空間の計算、そして感度評価を一度に行うことができます。代替手法では、これらの機能を個別に実装または組み合わせる必要がある場合があります。
性能
trsen!() は、LAPACKという高性能ライブラリのルーチンを直接呼び出しているため、効率的に計算が行われます。代替手法では、特に大規模な行列の場合に性能が劣る可能性があります。

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