Julia stebz! の代替方法：eigen関数、eigvals関数、自作アルゴリズム

2025-05-27

この関数は、与えられた実対称三重対角行列に対して、以下のいずれか、または両方を計算します。

指定された区間内の固有値
特定の下限と上限で定義された区間内に存在するすべての固有値を求めます。
指定された区間内の固有ベクトル
上記の固有値に対応する固有ベクトルを計算します（オプション）。

! が関数名の末尾に付いていることに注意してください。これは Julia の慣習で、この関数が引数として与えられた配列の内容を直接変更（破壊的変更）する可能性があることを示しています。

引数

LinearAlgebra.LAPACK.stebz!(range, order, d, e [, abstol=0.0, vl=-Inf, vu=Inf, il=1, iu=length(d)])

以下に主な引数を説明します。

iu (Integer, optional)
range = 'I' の場合に、計算する固有値の終了インデックス（昇順）を指定します。デフォルトは length(d) です。
il (Integer, optional)
range = 'I' の場合に、計算する固有値の開始インデックス（昇順）を指定します。デフォルトは 1 です。
vu (Real, optional)
range = 'V' の場合に、固有値を探索する区間の上限を指定します。デフォルトは Inf です。
vl (Real, optional)
range = 'V' の場合に、固有値を探索する区間の下限を指定します。デフォルトは -Inf です。
abstol (Real, optional)
固有値が収束したと見なす絶対許容誤差です。デフォルトは 0.0 です。
e (Vector{<:Real})
実対称三重対角行列の対角成分のすぐ上の非対角成分（とすぐ下の非対角成分、これらは同じ値です）を含むベクトルです。e の長さは length(d) - 1 である必要があります。このベクトルは関数内で変更される可能性があります。
d (Vector{<:Real})
実対称三重対角行列の対角成分を含むベクトルです。このベクトルは関数内で変更される可能性があります。
order (Character)
固有値の並び順を指定します。以下のいずれかの値を指定します。
- 'B' (Block): 同じ固有値は隣接して並びます（ブロック形式）。
- 'E' (Element): 固有値は昇順に並びます。
range (Character)
固有値を計算する範囲を指定します。以下のいずれかの値を指定します。
- 'A' (All): すべての固有値を計算します。この場合、vl, vu, il, iu は無視されます。
- 'V' (Value): 区間 [textttvl,textttvu] 内の固有値を計算します。
- 'I' (Index): インデックス il から iu までの固有値を計算します（昇順）。

戻り値

関数は以下のタプルを返します。

info (Integer)
LAPACK ルーチンの終了ステータスを示す整数。
- 0: 正常終了。
- < 0: 第 -info 番目の引数が不正です。
- > 0: 内部エラーが発生しました。
z (Matrix{<:Real})
オプションで計算された固有ベクトルを含む行列。order = 'B' の場合、同じ固有値に対応する固有ベクトルは隣接する列に格納されます。固有ベクトルが要求されなかった場合（例えば、select = 'E' または select = 'I' で固有ベクトルの計算を指定する引数が渡されなかった場合）、この値は空の行列になります。
w (Vector{<:Real})
計算された固有値を含むベクトル。

使用例

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列の対角成分と非対角成分
d = [2.0, 1.0, 3.0, 2.0]
e = [1.0, 1.0, 0.5]

# すべての固有値を計算（固有ベクトルは計算しない）
w, _, info = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('A', 'E', copy(d), copy(e))

println("固有値 (昇順): ", w)
println("info: ", info)

# 特定の区間内の固有値と固有ベクトルを計算
vl = 0.0
vu = 2.5
w_v, z_v, info_v = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('V', 'B', copy(d), copy(e), vl=vl, vu=vu)

println("\n区間 [$vl, $vu] 内の固有値: ", w_v)
println("対応する固有ベクトル:\n", z_v)
println("info: ", info_v)

# インデックスで指定した固有値と固有ベクトルを計算
il = 2
iu = 3
w_i, z_i, info_i = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('I', 'E', copy(d), copy(e), il=il, iu=iu)

println("\nインデックス $il$ から $iu$ までの固有値 (昇順): ", w_i)
println("対応する固有ベクトル:\n", z_i)
println("info: ", info_i)

注意点

LAPACK のルーチンを直接呼び出すため、引数の型や次元には注意が必要です。
固有ベクトルの計算はオプションであり、range の指定方法や追加の引数によって制御されます。
stebz!() は破壊的な関数であるため、元の d と e の内容が変更される可能性があります。元のデータを保持したい場合は、copy() などを使ってコピーを渡すようにしてください。

一般的なエラーとトラブルシューティング

- エラー例
  d や e に数値型以外の配列を渡したり、ベクトルの長さが不正な場合に発生します。例えば、e の長さが length(d) - 1 でない場合などです。
- トラブルシューティング
  - d と e が Vector{<:Real} 型であることを確認してください。
  - e の長さが length(d) - 1 であることを確認してください。
  - 必要に応じて、eltype() 関数で要素の型を確認してください。
range 引数の不正な値
- エラー例
  'A', 'V', 'I' 以外の文字を range に渡した場合に発生します。
- トラブルシューティング
  - range 引数が 'A', 'V', 'I' のいずれかの大文字の文字であることを確認してください。
order 引数の不正な値
- エラー例
  'B', 'E' 以外の文字を order に渡した場合に発生します。
- トラブルシューティング
  - order 引数が 'B' または 'E' の大文字の文字であることを確認してください。
range = 'V' における vl と vu の関係
- エラー例
  vl > vu の場合に、意図しない結果やエラーが発生する可能性があります。
- トラブルシューティング
  - 固有値を探索する区間の下限 vl が上限 vu 以下であることを確認してください。
range = 'I' における il と iu の範囲
- エラー例
  il < 1、iu > length(d)、または il > iu の場合に、不正なインデックスアクセスが発生する可能性があります。
- トラブルシューティング
  - il が 1 以上、iu が length(d) 以下であることを確認してください。
  - il が iu 以下であることを確認してください。
LAPACK ルーチンからのエラー (info が 0 以外)
- エラー例
  関数が 0 以外の info 値を返した場合、LAPACK の内部でエラーが発生しています。具体的な原因は info の値によって異なります。
  - info < 0: 第 -info 番目の引数が不正です。
  - info > 0: 固有値の計算が収束しなかったなどの内部エラーが発生しました。
- トラブルシューティング
  - info の値を確認し、負の値であれば対応する引数の型や値が正しいか再度確認してください。
  - 正の値であれば、問題の詳細を特定するために、入力データ（d, e など）の特性（例えば、極端な値がないか、行列が特異でないかなど）を確認したり、abstol の値を調整したりすることを試してみてください。
  - より詳細な LAPACK のドキュメントを参照することも有効です。
破壊的な変更による意図しない結果
- エラー例
  元の d や e の値を保持したまま計算を行いたい場合に、stebz!() に直接渡してしまうと、これらの値が変更されてしまいます。
- トラブルシューティング
  - 元のデータを保持したい場合は、関数に渡す前に copy(d) や copy(e) を使用してコピーを作成してください。
浮動小数点数の精度による問題
- エラー例
  abstol が小さすぎる場合、計算がなかなか収束せず、時間がかかることがあります。また、丸め誤差の影響で期待通りの精度が得られないこともあります。
- トラブルシューティング
  - abstol の値を適切に設定してください。問題のスケールや要求される精度に応じて調整する必要があります。

トラブルシューティングの一般的な手順

エラーメッセージを確認する
Julia が出力するエラーメッセージは、問題の原因の手がかりとなることが多いです。
引数の型と値を確認する
関数に渡している引数の型、次元、値の範囲が関数の要求仕様を満たしているか丁寧に確認してください。
ドキュメントを参照する
Julia のドキュメントや LAPACK のドキュメントを参照して、関数の正確な使い方や引数の意味を再確認してください。
簡単な例で試す
問題が複雑な場合に、より簡単な入力データで関数を試してみて、基本的な動作を確認すると良いでしょう。
info の値を確認する
関数が返す info の値は、LAPACK ルーチンの実行結果を示しています。0 以外の値が出た場合は、その意味を理解することが重要です。
変数の内容を検査する
計算の途中の変数や関数の入出力の値を確認するために、println() などを使って変数の内容を出力してみるのも有効です。

例1: 全ての固有値を計算する (固有ベクトルは計算しない)

この例では、実対称三重対角行列の全ての固有値を昇順に計算します。固有ベクトルは計算しません。

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列の対角成分と非対角成分
d = [2.0, 1.0, 3.0, 2.0]
e = [1.0, 1.0, 0.5]

# stebz!() を呼び出して全ての固有値を計算
# 'A': 全ての固有値を計算
# 'E': 固有値を昇順に並べる
# copy(d), copy(e): 元の配列を保護するためにコピーを渡す
w, _, info = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('A', 'E', copy(d), copy(e))

println("計算された固有値 (昇順): ", w)
println("LAPACK info: ", info)

if info == 0
    println("固有値の計算は正常に終了しました。")
else
    println("エラーが発生しました。info コード: ", info)
end

解説

info が 0 であれば、計算は正常に終了しています。
戻り値として、固有値のベクトル w、固有ベクトル（この場合は計算していないので _ で無視）、そして LAPACK の終了ステータス info を受け取ります。
LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('A', 'E', copy(d), copy(e)) を呼び出しています。
- 第一引数 'A' は、全ての固有値を計算することを指定します。
- 第二引数 'E' は、計算された固有値を昇順に並べることを指定します。
- 第三引数と第四引数には、元の d と e のコピーを渡しています。これは、stebz!() がこれらの配列を破壊的に変更する可能性があるため、元のデータを保護するためです。
d と e は、それぞれ実対称三重対角行列の対角成分と対角成分のすぐ上の非対角成分を表すベクトルです。

例2: 指定した値の範囲内の固有値と固有ベクトルを計算する

この例では、指定した値の範囲 [vl, vu] 内にある固有値とそれに対応する固有ベクトルを計算します。

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列の対角成分と非対角成分
d = [2.0, -1.0, 3.0, 0.5]
e = [1.5, 0.8, -1.2]

# 探索する値の範囲
vl = -1.5
vu = 2.2

# stebz!() を呼び出して指定範囲内の固有値と固有ベクトルを計算
# 'V': 指定した値の範囲内の固有値を計算
# 'B': 同じ固有値に対応する固有ベクトルを隣接する列に格納 (ブロック形式)
w, z, info = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('V', 'B', copy(d), copy(e), vl=vl, vu=vu)

println("範囲 [$vl, $vu] 内の固有値: ", w)
println("対応する固有ベクトル:\n", z)
println("LAPACK info: ", info)

if info == 0
    println("指定範囲内の固有値と固有ベクトルの計算は正常に終了しました。")
else
    println("エラーが発生しました。info コード: ", info)
end

解説

固有ベクトルも計算されるため、戻り値の2番目の要素 z に行列が格納されます。
order 引数に 'B' を指定しているため、戻り値の固有ベクトル行列 z では、同じ固有値に対応する固有ベクトルが隣接する列に格納されます。
range 引数に 'V' を指定し、vl と vu キーワード引数で探索する固有値の範囲を設定しています。

例3: インデックスで指定した固有値と固有ベクトルを計算する

この例では、昇順に並んだ固有値のうち、指定したインデックス il から iu までの固有値とそれに対応する固有ベクトルを計算します。

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列の対角成分と非対角成分
d = [4.0, -2.0, 5.0, 1.0]
e = [2.0, -1.0, 3.0]

# 計算する固有値のインデックス範囲 (昇順)
il = 2
iu = 3

# stebz!() を呼び出して指定インデックス範囲の固有値と固有ベクトルを計算
# 'I': 指定したインデックス範囲の固有値を計算
# 'E': 固有値を昇順に並べる
w, z, info = LinearAlgebra.LAPACK.stebz!('I', 'E', copy(d), copy(e), il=il, iu=iu)

println("インデックス $il$ から $iu$ までの固有値 (昇順): ", w)
println("対応する固有ベクトル:\n", z)
println("LAPACK info: ", info)

if info == 0
    println("指定インデックス範囲の固有値と固有ベクトルの計算は正常に終了しました。")
else
    println("エラーが発生しました。info コード: ", info)
end

指定されたインデックス範囲の固有値に対応する固有ベクトルが、戻り値の2番目の要素 z に格納されます。
order 引数に 'E' を指定しているため、戻り値の固有値ベクトル w は昇順に並んでいます。
range 引数に 'I' を指定し、il と iu キーワード引数で計算する固有値のインデックス範囲（昇順でのインデックス）を設定しています。

固有ベクトルの計算は、range の指定方法や追加の引数によって制御されます。必要に応じて、関数のドキュメントで詳細な引数の使い方を確認してください。
戻り値の info は、LAPACK ルーチンの実行結果を示す重要な情報です。常に info の値を確認し、エラーが発生していないかを確認する習慣をつけると良いでしょう。
これらの例では、copy() 関数を使って元の d と e の配列を保護しています。もし元の配列を変更しても構わない場合は、copy() を省略できますが、意図しない変更には注意が必要です。

eigen() 関数 (標準ライブラリ)

Julia の標準ライブラリ LinearAlgebra に含まれる eigen() 関数は、一般の行列の固有値と固有ベクトルを計算するために使用できます。実対称三重対角行列に対しても適用可能です。

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列を生成
d = [2.0, 1.0, 3.0, 2.0]
e = [1.0, 1.0, 0.5]
T = SymTridiagonal(d, e)

# eigen() 関数で固有値と固有ベクトルを計算
eig_result = eigen(T)

println("固有値: ", eig_result.values)
println("固有ベクトル:\n", eig_result.vectors)

解説

eig_result.values で固有値のベクトルに、eig_result.vectors で固有ベクトルを列に持つ行列にアクセスできます。
eigen(T) 関数は、この三重対角行列 T の全ての固有値と対応する固有ベクトルを計算し、Eigen 型のオブジェクトとして返します。
SymTridiagonal(d, e) は、対角成分が d、上下の非対角成分が e である実対称三重対角行列を生成します。

利点

LAPACK の詳細を意識する必要がありません。
固有値と固有ベクトルを同時に簡単に取得できます。
高レベルなインターフェースで、SymTridiagonal 型と組み合わせて直感的に使用できます。

注意点

行列のサイズが大きい場合、eigen() は内部的により一般的なアルゴリズムを使用するため、stebz!() ほど効率的ではない可能性があります（特に特定の範囲の固有値のみが必要な場合）。
stebz!() のように、特定の範囲の固有値やインデックスで指定した固有値のみを計算する機能は直接的には提供されていません。全ての固有値と固有ベクトルが計算されます。

LinearAlgebra.eigvals() 関数 (標準ライブラリ)

固有値のみが必要な場合は、LinearAlgebra.eigvals() 関数を使用できます。これも実対称三重対角行列に対して適用可能です。

using LinearAlgebra

# 実対称三重対角行列を生成
d = [2.0, 1.0, 3.0, 2.0]
e = [1.0, 1.0, 0.5]
T = SymTridiagonal(d, e)

# eigvals() 関数で固有値を計算
eigenvalues = eigvals(T)

println("固有値: ", eigenvalues)

解説

eigvals(T) 関数は、実対称三重対角行列 T の全ての固有値をベクトルとして返します。

利点

高レベルなインターフェースで使いやすいです。
固有値のみが必要な場合に、より効率的に計算できる可能性があります。

注意点

特定の範囲やインデックスによる固有値の選択はできません。
固有ベクトルは計算されません。

反復法 (例えば、QR法)

実対称三重対角行列の固有値問題を解くための反復法を自分で実装することも可能です。例えば、QR法は、行列を直交行列と上三角行列の積に分解する操作を繰り返し行うことで、固有値を対角成分に収束させるアルゴリズムです。

function qr_eigenvalues(T::SymTridiagonal; max_iter=1000, tol=1e-8)
    A = Matrix(T) # SymTridiagonal を密な行列に変換 (効率のためには工夫が必要)
    n = size(A, 1)
    for iter in 1:max_iter
        Q, R = qr(A)
        A = R * Q
        if maximum(abs.(tril(A, -1))) < tol
            return diag(A)
        end
    end
    @warn "QR iteration did not converge within $max_iter iterations."
    return diag(A)
end

# 実対称三重対角行列を生成
d = [2.0, 1.0, 3.0, 2.0]
e = [1.0, 1.0, 0.5]
T = SymTridiagonal(d, e)

# 自作の QR 法で固有値を計算
eigenvalues_qr = qr_eigenvalues(T)
println("QR法で計算された固有値: ", eigenvalues_qr)

解説

反復処理を行い、下三角部分の非対角成分が十分に小さくなったら、対角成分を固有値とみなします。
qr(A) は行列 A の QR 分解を計算します。
上記は簡単な QR 法の実装例です。実対称三重対角行列の構造を効率的に利用するためには、より特化したQR法のバリアント（例えば、シフト付きQR法）を実装する必要があります。

利点

必要に応じてアルゴリズムをカスタマイズできます。
アルゴリズムの理解を深めることができます。

注意点

標準ライブラリの関数ほど最適化されていない可能性があります。
収束性や計算効率に注意が必要です。
実装が複雑になる可能性があります。

特殊なアルゴリズムの実装 (必要に応じて)

実対称三重対角行列の固有値問題を解くための、分割統治法 (Divide and Conquer) や Sturm 列を用いた二分法など、より特殊なアルゴリズムを自分で実装することも考えられます。これらのアルゴリズムは、特定の状況下で stebz!() と同等またはそれ以上の効率を発揮する可能性があります。

利点

高度な制御や最適化が可能です。

アルゴリズムに関する深い知識が必要です。
実装は非常に専門的で困難です。

アルゴリズムの理解やカスタマイズ
より深くアルゴリズムを理解したい場合や、特殊なニーズに合わせてカスタマイズしたい場合は、反復法や特殊なアルゴリズムを自分で実装することも可能です。ただし、実装の複雑さや効率には注意が必要です。
特定の範囲やインデックスの固有値
LinearAlgebra.LAPACK.stebz!() は、特定の範囲やインデックスで固有値を効率的に計算する必要がある場合に最適な選択肢です。
高レベルな簡便性
ほとんどの場合、LinearAlgebra パッケージの eigen() や eigvals() 関数で十分です。特に、行列のサイズがそれほど大きくない場合や、全ての固有値・固有ベクトルが必要な場合に適しています。

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