Juliaで高速な三重対角行列計算！pttrf!の性能を最大限に引き出す
2025-02-21
Juliaプログラミングにおける `LinearAlgebra.LAPACK.pttrf!()` 関数について説明します。
この関数は、**対称三重対角行列**のLU分解（またはコレスキー分解）を計算するために使われます。特に、LAPACK（Linear Algebra PACKage）のルーチンをJuliaから呼び出す形で実装されています。 `pttrf!` は、"packed" 形式で格納された三重対角行列を扱うことに注意してください。
**関数名 `pttrf!` の意味:**
* `pttrf`: 対称三重対角行列 (symmetric **tri**diagonal matrix) の分解 (factorization) を意味します。
* `!`: Juliaの慣習で、この関数が引数を**破壊的に変更**することを示します。つまり、入力の行列自体が分解された結果で上書きされます。
**関数の引数:**
`pttrf!(D, E)`
* `D`: 長さ `n` のベクトルで、三重対角行列の対角成分を格納します。
* `E`: 長さ `n-1` のベクトルで、三重対角行列の副対角成分（上側または下側）を格納します。 **"packed" 形式** では、副対角成分は一つのベクトルにまとめられます。 上側副対角成分を使うか下側副対角成分を使うかは、`uplo` 引数で指定します (後述)。
**返り値:**
`pttrf!` は、分解が成功したかどうかを示す情報を返します。通常は、`'U'` (上三角行列) または `'L'` (下三角行列) の文字と、分解が成功した場合は0、特異な行列の場合は非ゼロの整数値を返します。 返り値の型は `LinearAlgebra.Factorization{Float64}` (もしくは適切な型) です。
**`uplo` 引数:**
`pttrf!` には、オプションの引数 `uplo` を指定できます。
* `uplo = 'U'`: `E` が上側副対角成分を表すことを示します（デフォルト）。
* `uplo = 'L'`: `E` が下側副対角成分を表すことを示します。
**使用例:**
```julia
using LinearAlgebra
# 例：対称三重対角行列
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0]
E = [1.0, 2.0, 3.0] # 上側副対角成分
# LU分解
fact = pttrf!(D, E)
# 分解の結果を表示
println(fact)
println(D) # Dは分解された結果で上書きされる
println(E) # Eも分解された結果で上書きされる
# コレスキー分解 (正定値行列の場合)
# コレスキー分解は、DとEが適切であれば、以下のように可能
# fact_chol = pttrf!(D,E, uplo='L')
# println(fact_chol)
# 特異な行列の例
D_singular = [1.0, 2.0, 1.0]
E_singular = [1.0, 1.0]
fact_singular = pttrf!(D_singular, E_singular)
println(fact_singular) # 0以外の値が返る可能性がある
pttrf!は、"packed" 形式で格納された三重対角行列を扱うため、通常の行列形式の三重対角行列を扱う場合は、事前に適切な変換が必要です。- 三重対角行列が正定値である場合、コレスキー分解 (
uplo='L') を使う方が効率的です。 pttrf!は、入力のDとEを破壊的に変更します。 元の行列を保持したい場合は、コピーを作成してからpttrf!を実行してください。
Juliaの `LinearAlgebra.LAPACK.pttrf!()` を使ったプログラミングの例をいくつか示します。
**例1: 基本的なLU分解**
```julia
using LinearAlgebra
# 対称三重対角行列の定義
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0] # 対角成分
E = [1.0, 2.0, 3.0] # 上側副対角成分
# LU分解
fact = pttrf!(D, E)
# 分解結果の表示
println(fact) # 分解の種類 ('U' または 'L') と成功/失敗
println(D) # 分解後の D (上三角行列の対角成分)
println(E) # 分解後の E (上三角行列の副対角成分)
# 元の行列を保持する場合 (コピーを作成)
D_copy = copy(D)
E_copy = copy(E)
fact_copy = pttrf!(D_copy, E_copy)
println("コピー:", fact_copy)
println("オリジナルD:", D) # 変更されていない
println("コピーD:",D_copy)
# DとEから三重対角行列を復元する例
function reconstruct_tridiagonal(D, E)
n = length(D)
A = zeros(n, n)
for i in 1:n
A[i, i] = D[i]
if i < n
A[i, i+1] = E[i]
A[i+1, i] = E[i] # 対称性
end
end
return A
end
A = reconstruct_tridiagonal(copy(D), copy(E)) # 分解後のDとEをコピーして復元
println("復元された行列 A:\n", A)
例2: 下側副対角成分を使った分解
using LinearAlgebra
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0]
E = [1.0, 2.0, 3.0] # 下側副対角成分
fact = pttrf!(D, E, uplo='L') # uplo='L' を指定
println(fact)
println(D)
println(E)
A = reconstruct_tridiagonal(copy(D), copy(E))
println("復元された行列 A:\n", A)
例3: 特異な行列の場合
using LinearAlgebra
D = [1.0, 2.0, 1.0] # 特異な行列
E = [1.0, 1.0]
fact = pttrf!(D, E)
println(fact) # 0 以外の値が返る (分解失敗)
println(D) # Dは分解を試みた結果で上書きされている
println(E) # Eは分解を試みた結果で上書きされている
例4: コレスキー分解 (正定値行列の場合)
using LinearAlgebra
D = [4.0, 3.0, 2.0] #正定値行列
E = [1.0, 1.0]
fact = pttrf!(D, E, uplo = 'L') # コレスキー分解は下三角行列
println(fact)
println(D)
println(E)
using LinearAlgebra
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0]
E = [1.0, 2.0, 3.0]
n = length(D)
A = zeros(n, n)
for i in 1:n
A[i, i] = D[i]
if i < n
A[i, i+1] = E[i] # 上側副対角成分の場合
A[i+1, i] = E[i] # 対称性
end
end
println("通常の行列形式:\n", A)
fact = pttrf!(D, E)
println(fact)
println(D)
println(E)
A_reconstructed = reconstruct_tridiagonal(copy(D), copy(E))
println("復元された行列 A:\n", A_reconstructed)
ldlt! (LDLᵀ分解)
pttrf! はLU分解（またはコレスキー分解）を提供しますが、ldlt! はLDLᵀ分解を提供します。LDLᵀ分解は、対称三重対角行列に対して、より安定で効率的な場合があります。
using LinearAlgebra
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0]
E = [1.0, 2.0, 3.0]
# LDLᵀ分解
fact = ldlt!(Tridiagonal(E, D, E)) # 三重対角行列をTridiagonal型で作成
println(fact)
println(fact.D) # 対角成分
println(fact.L) # 下三角行列 (単位下三角行列)
# 三重対角行列の作成
A = Tridiagonal(E, D, E)
# LDLT分解
fact2 = ldlt!(A)
println(fact2)
println(fact2.D) # 対角成分
println(fact2.L) # 下三角行列 (単位下三角行列)
cholesky! (コレスキー分解)
もし三重対角行列が正定値であれば、cholesky! を使うことができます。cholesky! はコレスキー分解を計算し、pttrf! よりも高速で安定している可能性があります。ただし、cholesky! は密行列に対して使用されるため、三重対角行列を事前に Tridiagonal 型に変換する必要があります。
using LinearAlgebra
D = [4.0, 3.0, 2.0] # 正定値行列の例
E = [1.0, 1.0]
A = Tridiagonal(E, D, E) # Tridiagonal型に変換
fact = cholesky!(A) # コレスキー分解
println(fact)
println(fact.L) # 下三角行列
# pttrf!でコレスキー分解を行う場合
fact_pttrf = pttrf!(copy(D), copy(E), uplo='L')
println(fact_pttrf)
println(copy(D))
println(copy(E))
lu! (LU分解)
pttrf! は "packed" 形式の三重対角行列を扱うのに対し、lu! は通常の行列形式の三重対角行列を扱うことができます。 Tridiagonal 型の行列を Matrix 型に変換してから lu! を使用します。
using LinearAlgebra
D = [2.0, 3.0, 4.0, 5.0]
E = [1.0, 2.0, 3.0]
A = Tridiagonal(E, D, E) # 三重対角行列を作成
A_matrix = Matrix(A) # Matrix型に変換
fact = lu!(A_matrix)
println(fact)
println(fact.L) # 下三角行列
println(fact.U) # 上三角行列
println(fact.P) # 置換行列
手動実装
非常に特殊なケースや、高度な最適化が必要な場合は、三重対角行列の分解を手動で実装することも可能です。ただし、これは複雑で時間がかかるため、通常は既存の関数を使う方が推奨されます。
外部パッケージ
特定の用途に特化した外部パッケージが存在する場合があります。例えば、大規模な三重対角行列を扱うための最適化されたソルバーなどが考えられます。必要に応じて、Juliaのパッケージレジストリを検索してみてください。
- メモリ
"packed" 形式はメモリ効率が良いですが、通常の行列形式も状況によっては有効です。 - 使いやすさ
lu!は通常の行列形式を扱うため、pttrf!の "packed" 形式に慣れていない場合は使いやすいかもしれません。 - パフォーマンス
ldlt!やcholesky!は、特定の条件下でpttrf!よりも高速になる可能性があります。 - 行列の種類
対称行列、正定値行列など、行列の特性によって適切な分解方法が異なります。