Juliaのormqr!()でつまずかない！エラー解決とトラブルシューティング
2025-04-26
Juliaの LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!() 関数について日本語で説明します。
`ormqr!` は、Juliaの LinearAlgebraパッケージに含まれるLAPACK（Linear Algebra PACKage）の関数の一つで、行列の積を計算する際に、直交行列またはユニタリ行列 Q を効率的に適用するために使用されます。特に、QR分解によって得られた Q を明示的に生成せずに、その情報を利用して計算を行うため、メモリ効率が良いという特徴があります。
**関数の役割:**
`ormqr!` は、以下のいずれかの演算を実行します。
* **`C = Q * C`**: 行列 C に左から直交行列/ユニタリ行列 Q を乗じる。
* **`C = Q' * C`**: 行列 C に左から Q の転置（または複素共役転置）を乗じる。
* **`C = C * Q`**: 行列 C に右から直交行列/ユニタリ行列 Q を乗じる。
* **`C = C * Q'`**: 行列 C に右から Q の転置（または複素共役転置）を乗じる。
ここで、Q は QR分解によって得られた直交/ユニタリ行列であり、`ormqr!` は Q そのものではなく、QR分解の結果（通常は `QR` オブジェクト）から Q に関する情報を読み取って演算を行います。
**引数:**
`ormqr!` 関数は、通常、以下の引数を取ります。
* `side`: `'L'` (左から乗算) または `'R'` (右から乗算) を指定します。
* `trans`: `'N'` (Qをそのまま使用) または `'T'` (Qの転置/複素共役転置を使用) を指定します。
* `A`: QR分解の結果（`QR` オブジェクト）を指定します。 このオブジェクトには、Q に関する情報と、必要に応じてR（上三角行列）の情報が含まれます。
* `C`: 演算対象の行列を指定します。この行列は結果によって上書きされます。
* `work`: ワークスペースとして使用する配列を指定します。`ormqr!` は内部でこの配列を使用して計算を行います。適切なサイズが必要となります。
**戻り値:**
`ormqr!` は、`C` を変更（上書き）し、変更された `C` を返します。
**使用例:**
```julia
using LinearAlgebra
A = rand(5, 3)
qr_result = qr(A) # QR分解を実行
C = rand(5, 2)
# C = Q * C を計算
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'N', qr_result, C, zeros(5))
# C = C * Q' を計算
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('R', 'T', qr_result, C, zeros(2))
println(C)
qr関数でQR分解を行い、その結果をormqr!に渡すことで、Q を利用した計算ができます。work配列のサイズは適切に設定する必要があります。サイズが不十分だとエラーが発生する可能性があります。 通常、zeros(m)またはzeros(n)のように、Cの次元に合わせて作成します。ormqr!は、Q を明示的に生成するよりも効率的に計算できます。
よくあるエラーとトラブルシューティング
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- 原因
Cの次元と、side引数で指定した乗算方向 ('L'または'R')、およびA(QR分解の結果) の次元が一致していない場合に発生します。 例えば、'L'を指定したのに、Cの行数とAの行数が一致しない、などが考えられます。 - トラブルシューティング
Cの次元とAの次元、そしてsideの指定が正しいか確認してください。Aがqr(X)の結果である場合、Xの次元とCの次元の関係を再度確認しましょう。
- 原因
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ArgumentError (引数のエラー)
- 原因
side、trans引数に'L','R','N','T'以外の文字を指定した場合に発生します。 - トラブルシューティング
sideとtransには、必ず'L','R','N','T'のいずれかの文字を指定してください。大文字小文字は区別されます。
- 原因
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LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!: work array is too small (ワーク配列が小さすぎます)
- 原因
work配列のサイズが、ormqr!の計算に必要なサイズよりも小さい場合に発生します。 - トラブルシューティング
work配列のサイズを適切に設定してください。 通常、Cの行数 (左乗算の場合) または列数 (右乗算の場合) に合わせてzeros(m)やzeros(n)のように作成します。 例えば、Cがm x nの行列で、左乗算の場合はzeros(m)、右乗算の場合はzeros(n)が目安です。workのサイズが足りないと、計算結果が不正になるだけでなく、Julia がクラッシュする可能性もあります。
- 原因
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QR分解の結果 (A) が正しくない
- 原因
ormqr!に渡す QR分解の結果 (A) が、qr()関数で正しく計算されていない可能性があります。 - トラブルシューティング
qr()関数でQR分解が正しく行われているか確認してください。 例えば、A = qr(X)の後で、norm(X - A.Q * A.R)が十分に小さいことを確認するなどの方法があります。
- 原因
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意図しない結果
- 原因
上記のようなエラーは発生しないものの、計算結果が意図したものと異なる場合があります。 - トラブルシューティング
sideとtransの指定が正しいか確認してください。Cがormqr!によって上書きされることを理解しているか確認してください。 必要であれば、Cのコピーを作成してからormqr!を実行してください。- 計算に使用している行列の型 (
Float64、ComplexF64など) が適切か確認してください。
- 原因
デバッグのヒント
- 小さいサイズの行列で試してみると、エラーの原因を特定しやすくなる場合があります。
@showマクロを使って、変数の値を表示しながらコードを実行すると、問題箇所を見つけやすくなります。- エラーメッセージをよく読んでください。 Julia が表示するエラーメッセージは、問題の原因を特定する上で非常に役立ちます。
基本的な使い方
using LinearAlgebra
# ランダムな行列 A と C を作成
A = rand(5, 3)
C = rand(5, 2)
# A の QR 分解を実行
qr_result = qr(A)
# C に Q を左から乗じる (C = Q * C)
work = zeros(5) # work 配列の準備 (C の行数に合わせて)
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'N', qr_result, C, work)
println("Q * C:\n", C)
# C を元の値に戻す (または別の行列で試す)
C = rand(5,2)
# C に Q' を左から乗じる (C = Q' * C)
work = zeros(5) # work 配列の準備
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'T', qr_result, C, work)
println("Q' * C:\n", C)
# C を元の値に戻す
C = rand(5,2)
# C に Q を右から乗じる (C = C * Q)
work = zeros(2) # work 配列の準備 (C の列数に合わせて)
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('R', 'N', qr_result, C, work)
println("C * Q:\n", C)
# C を元の値に戻す
C = rand(5,2)
# C に Q' を右から乗じる (C = C * Q')
work = zeros(2) # work 配列の準備
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('R', 'T', qr_result, C, work)
println("C * Q':\n", C)
この例では、ランダムな行列 A と C を作成し、qr() 関数で A の QR 分解を行っています。その後、ormqr! を使って、C に Q または Q' を左または右から乗じています。work 配列のサイズは、乗算の方向と C の次元に合わせて調整する必要があることに注意してください。
QR分解と組み合わせた応用例
using LinearAlgebra
# 行列 X と b を作成
X = rand(10, 5)
b = rand(10)
# X の QR 分解を実行
qr_result = qr(X)
# QR分解を使って線形方程式 X * x = b を解く (最小二乗解)
# まず、b に Q' を左から乗じる
y = copy(b) # bを直接変更しないようにコピー
work = zeros(10)
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'T', qr_result, y, work)
# 次に、R * x = y を解く (Rは上三角行列)
x = qr_result.R \ y # '\' は Julia の除算演算子で、上三角行列の場合に効率的な解法が使われる
println("最小二乗解 x:\n", x)
# 解の精度を確認 (X * x と b の差のノルム)
println("誤差:\n", norm(X * x - b))
この例では、QR分解を使って線形方程式 X * x = b の最小二乗解を求めています。ormqr! を使って b に Q' を乗じることで、効率的に計算を行うことができます。
using LinearAlgebra
# 複素数行列 A と C を作成
A = rand(ComplexF64, 4, 2)
C = rand(ComplexF64, 4, 3)
# A の QR 分解を実行
qr_result = qr(A)
# C に Q を左から乗じる
work = zeros(4)
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'N', qr_result, C, work)
println("複素数行列の Q * C:\n", C)
# Cを元の値に戻す
C = rand(ComplexF64, 4, 3)
# C に Q' (複素共役転置) を左から乗じる
work = zeros(4)
LinearAlgebra.LAPACK.ormqr!('L', 'T', qr_result, C, work) # 'T' は複素共役転置を意味する
println("複素数行列の Q' * C:\n", C)
明示的に Q を生成して乗算
ormqr! を使わずに、QR分解の結果から Q を明示的に生成し、それを直接行列に乗じる方法です。
using LinearAlgebra
A = rand(5, 3)
C = rand(5, 2)
qr_result = qr(A)
# Q を明示的に生成
Q = qr_result.Q
# C に Q を左から乗じる
C_new = Q * C
println("Q * C (明示的な生成):\n", C_new)
# C に Q' を左から乗じる
C_new = Q' * C
println("Q' * C (明示的な生成):\n", C_new)
# 右からの乗算も同様
C_new = C * Q
println("C * Q (明示的な生成):\n", C_new)
C_new = C * Q'
println("C * Q' (明示的な生成):\n", C_new)
この方法は、Q を他の計算にも再利用する場合や、ormqr! の使い方が難しい場合に有効です。ただし、Q を明示的に生成するため、ormqr! よりもメモリ消費量が大きくなる可能性があります。特に、A のサイズが大きい場合には注意が必要です。
* 演算子 (乗算)
Julia では、* 演算子を使って行列の乗算を直接行うことができます。QR分解の結果が QR オブジェクトの場合、Q や R にアクセスできます。
using LinearAlgebra
A = rand(5, 3)
C = rand(5, 2)
qr_result = qr(A)
# 左からの乗算
C_new = qr_result.Q * C
println("Q * C (演算子):\n", C_new)
C_new = qr_result.Q' * C
println("Q' * C (演算子):\n", C_new)
# 右からの乗算
C_new = C * qr_result.Q
println("C * Q (演算子):\n", C_new)
C_new = C * qr_result.Q'
println("C * Q' (演算子):\n", C_new)
この方法は、簡潔に記述できるため便利ですが、内部的には Q が生成されるため、ormqr! ほどの効率性はありません。
lq() (LQ分解) と ormlq!()
もし、直交/ユニタリ行列を右から乗算したい場合で、A のLQ分解が利用できるのであれば、lq() と ormlq!() が利用できます。ormlq!() は、LQ分解の結果を使って、効率的に行列に乗算を行う関数です。
using LinearAlgebra
A = rand(3, 5) # Aの行数 < 列数である必要がある
C = rand(2, 5)
lq_result = lq(A)
work = zeros(5) # Cの列数に合わせる
LinearAlgebra.LAPACK.ormlq!('R', 'N', lq_result, C, work) # C * Q
println("C * Q (LQ分解):\n", C)
work = zeros(5) # Cの列数に合わせる
LinearAlgebra.LAPACK.ormlq!('R', 'T', lq_result, C, work) # C * Q'
println("C * Q' (LQ分解):\n", C)
ormlq! は ormqr! と同様に、Q を明示的に生成せずに効率的な計算が可能です。
特殊な構造を持つ行列の場合
A が特定の構造（例えば、対角行列、三角行列など）を持つ場合、より効率的な乗算方法が存在することがあります。その構造を利用した専用の関数やアルゴリズムを検討してみてください。