Juliaのorgql!()：QL分解のQ行列生成でよくあるエラーと対策

orgql!() 関数は、LAPACK (Linear Algebra PACKage) のルーチンをJuliaから呼び出すもので、QR分解の結果として得られるQ行列（直交行列）を生成するために使用されます。 特に、QL分解の結果からQ行列を生成する際に使われます。

QL分解とは、行列 A を A = QL の形に分解するもので、Qは直交行列、Lは下三角行列です。 orgql!() は、このQL分解によって得られた情報を基に、Q行列を効率的に生成します。

orgql!(A, τ) の引数

• τ: ql!(A) で計算された Householder reflectors を表すベクトルです。これもql!の結果として得られます。
• A: QL分解の結果が格納されている行列です。 具体的には、ql!(A) などで得られた下三角部分と、Q行列の情報を格納する部分（通常は元のAの対応する部分）を含んだ行列です。元の行列Aそのものではなく、ql!の結果が格納された行列であることに注意してください。

orgql!() の動作

orgql!() 関数は、ql!(A) で計算された Householder reflectors (τ) を使って、行列 A に格納された情報から直交行列 Q を再構成します。 この処理は、A の内容を上書きする形で行われます (in-place)。つまり、関数実行後、A にはQ行列が格納されます。

戻り値

orgql!() は、A (つまり、Q行列) を返します。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)  # 例として3x3のランダムな行列を作成
F = ql!(A)     # AをQL分解
Q = orgql!(F.Q, F.τ) # QL分解の結果からQ行列を生成

println("元の行列 A:\n", A)
println("\nQL分解の結果 F:\n", F)
println("\n生成された直交行列 Q:\n", Q)

# 検算: Q*L (LはF.Lで取得可能) が元のAと等しくなるはず
L = F.L
println("\nQ*L:\n", Q * L)

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よくあるエラーと原因、そしてその対処法

1. • 原因
     orgql!() に渡す引数の型や次元が正しくない場合に発生します。特に、A は ql!() の結果が格納された行列である必要があります。元の行列 A を直接渡してしまうと、このエラーが発生します。また、τ は ql!() で計算された Householder reflectors のベクトルである必要があります。
   • 対処法
     
   • ql!(A) を実行し、その結果 (F など) を orgql!(F.Q, F.τ) のように渡してください。 元の行列 A を直接 orgql!() に渡さないでください。
   • F.Q と F.τ が ql!(A) の結果から正しく取得できているか確認してください。
   • 引数の次元が一致しているか確認してください。 A は正方行列である必要はありませんが、τ の長さは min(m, n) (m: A の行数、n: A の列数) である必要があります。

2. DimensionMismatch (次元の不一致)
   

   • 原因
     A の次元と τ の長さが一致しない場合に発生します。
   • 対処法
     τ の長さが min(m, n) であることを確認してください。通常は ql!(A) の結果から取得した F.τ をそのまま使えばこのエラーは起こりません。

3. LinearAlgebra.LAPACK.orgql! の結果が期待通りでない
   

   • 原因
     数値計算上の誤差や、ql!() の結果が正しくない可能性があります。
   • 対処法
     
   • ql!() が正しく実行されているか確認してください。
   • Q * L (Lは F.L で取得可能) を計算し、元の行列 A と比較して、QL分解が正しく行われているか検証してください。
   • 行列の条件数 (condition number) が非常に大きい場合、数値計算誤差が大きくなる可能性があります。 必要に応じて、より安定したアルゴリズムの使用を検討してください。

トラブルシューティングのヒント

• ドキュメント
  Julia のドキュメントや LAPACK のマニュアルを参照して、関数の正しい使い方や引数の意味を確認してください。
• @show マクロ
  A、τ、F の内容を @show マクロで表示し、値や型が期待通りであるか確認してください。

例

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
F = ql!(A)

# 間違った例: 元の行列Aを直接渡す
# Q = orgql!(A, F.τ)  # これはエラーになる

# 正しい例: ql!の結果を使う
Q = orgql!(F.Q, F.τ)

# 検算
L = F.L
println("A:\n", A)
println("Q:\n", Q)
println("L:\n", L)
println("Q*L:\n", Q*L)

# エラーチェックの例
if norm(A - Q*L) > 1e-10  # 許容誤差範囲内で一致するか確認
    println("QL分解の結果が正しくありません")
end

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例1: 基本的な使用例

using LinearAlgebra

# 3x3のランダムな行列を作成
A = rand(3, 3)

# AをQL分解
F = ql!(A)

# QL分解の結果から直交行列Qを生成
Q = orgql!(F.Q, F.τ)

# 下三角行列Lを取得
L = F.L

# 結果の確認
println("元の行列 A:\n", A)
println("\n直交行列 Q:\n", Q)
println("\n下三角行列 L:\n", L)

# 検算: Q*Lが元のAに等しくなることを確認
println("\nQ * L:\n", Q * L)

# 誤差を確認
error = norm(A - Q * L)
println("\n誤差: ", error)

# 許容誤差範囲内で一致するか確認
if error < 1e-10
    println("\nQL分解は正しく行われました。")
else
    println("\nQL分解に誤差があります。")
end

この例では、まずランダムな3x3行列 A を作成し、ql!(A) でQL分解を行います。 ql!() は、QL分解の結果を F (Factorizationの略) という構造体に格納します。 F.Q にはQ行列の情報の一部が、F.L にはL行列が、そして F.τ にはHouseholder reflectorsの情報が格納されています。

orgql!(F.Q, F.τ) を用いて、F.Q と F.τ から直交行列 Q を生成します。 その後、Q * L を計算し、元の行列 A と比較することで、QL分解が正しく行われたかを検証しています。

例2: orgql! の in-place 性

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
F = ql!(A)

# orgql! は A (F.Q) を上書きする
Q = orgql!(F.Q, F.τ)  # Qには上書きされたF.Q (つまりQ) への参照が入る

println("F.Q (orgql! 実行後):\n", F.Q) # F.Qの内容が変化していることを確認
println("\nQ:\n", Q) # QはF.Qを参照しているため、同じ値が出力される

A = rand(3,3)
F = ql!(A)
Q_copy = copy(F.Q) # F.Qのコピーを作成
Q = orgql!(Q_copy, F.τ) # コピーに対してorgql!を実行

println("Q_copy (orgql! 実行後):\n", Q_copy) # Q_copyの内容が変化していることを確認
println("\nF.Q (orgql! 実行前):\n", F.Q) # F.Qの内容は変化していないことを確認
println("\nQ:\n", Q) # QにはQ_copyの内容が格納されている

orgql! は第一引数の行列を in-place で変更します。つまり、orgql! の実行後、第一引数に渡した行列の内容がQ行列に置き換わります。上の例では、F.Q が orgql! によって直接変更されることが示されています。F.Qのコピーを作成し、コピーに対してorgql!を実行することで、元のF.Qが変更されないことを確認できます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
F = ql!(A)
Q = Matrix(I, size(A, 1), size(A, 1)) # 単位行列を作成
for i in 1:min(size(A)...)
    Q = Q * HouseholderQ(F.τ[i], F.Q[i:end, i]) # Householder変換を順に適用
end

println("Q (orgql!なしで生成):\n", Q)

Q_orgql = orgql!(F.Q, F.τ)
println("Q (orgql!で生成):\n", Q_orgql)

println("二つのQの差:\n", norm(Q - Q_orgql)) # ほぼ0になるはず

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qr!() と Matrix() の組み合わせ (QR分解)

QL分解ではなくQR分解を利用する方法です。QR分解の結果からQ行列を直接取得できます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
F = qr!(A)  # QR分解を実行

Q = Matrix(F.Q) # F.QはQR分解のQを保持する特殊な型なのでMatrix()で通常の行列に変換
# または
Q = F.Q * I(size(A,1)) # F.Qを単位行列に掛けることでも通常の行列に変換可能

println("Q (QR分解由来):\n", Q)

# 検算 (A ≈ QR)
R = F.R
println("\nR:\n", R)
println("\nQ*R:\n", Q*R)

この方法では、qr!() でQR分解を行い、その結果の F.Q を Matrix() で通常の行列に変換することでQ行列を取得します。 QR分解は A = QR の形に分解するもので、Qは直交行列、Rは上三角行列です。 QL分解と似ていますが、Lが下三角行列である点が異なります。

eigen() (固有値分解)

行列が正方行列の場合、固有値分解を利用してQ行列を生成することも可能です。ただし、これは計算コストが高く、QR分解やQL分解に比べて効率的ではありません。また、一般の行列に対しては利用できません。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3) # 正方行列であること

F = eigen(A)
Q = F.vectors # 固有ベクトルがQ行列になる

println("Q (固有値分解由来):\n", Q)

# 検算 (A*Q ≈ Q*D, Dは対角行列)
D = F.values # 固有値
println("\nD:\n", D)
println("\nA*Q:\n", A*Q)
println("\nQ*diagm(D):\n", Q*diagm(D))

eigen() 関数は、行列の固有値と固有ベクトルを計算します。 正方行列の場合、固有ベクトルを並べた行列が直交行列（ユニタリ行列）となり、これをQ行列として利用できます。

手動でのHouseholder変換の適用 (非効率)

Householder変換を一つずつ適用していくことでQ行列を生成することも可能ですが、これは非常に非効率であり、実用的な方法ではありません。 orgql!() や qr!() が内部で Householder 変換を利用しているため、直接 Householder 変換を実装する必要は通常ありません。

他のライブラリの利用

Juliaの他の線形代数ライブラリ (例えば、別のパッケージ) に、QL分解やQ行列生成の関数が含まれている可能性があります。 しかし、LinearAlgebra パッケージの orgql!() は、LAPACKのルーチンを効率的に利用しているため、通常はこれを使うのが最も良い選択です。