JuliaでLQ分解後のQ行列を再構成する:orglq!()の使い方と注意点
orglq!()
は、LAPACK (Linear Algebra PACKage) の関数をJuliaから呼び出すためのものです。具体的には、LQ分解の結果から直交行列Qを再構築するために使用されます。
LQ分解とは
行列 A (m x n) を、直交行列 L (m x m) と上三角行列 Q (m x n) の積に分解するものです。 A = LQ となります。 この分解は、例えば最小二乗問題の求解などに利用されます。
orglq!() の役割
orglq!()
は、LQ分解によって得られた L と Q の一部の情報を使って、直交行列 Q を生成(再構築)します。 LQ分解の結果は、通常、L の下三角部分と Q の上三角部分を一つの行列にパックした形で返されます。 orglq!()
は、このパックされた行列と、いくつかの追加パラメータを使って、完全な直交行列 Q を計算します。
関数の引数
orglq!(A, τ)
τ
: LQ分解によって得られたスカラーτのベクトル。これは、Householder reflectors を表現するために使われます。A
: LQ分解の結果(パックされた行列)。この行列は関数によって上書きされます。
関数の戻り値
orglq!()
は、引数 A
を変更し、直交行列 Q で上書きします。 つまり、破壊的な関数です。 戻り値はありません (Void)。
具体的な使用例
using LinearAlgebra
A = rand(3, 4) # 3x4 のランダムな行列を作成
F = lq(A) # LQ分解を実行
# F.L は下三角行列Lの情報、F.Qは上三角行列Qの情報(の一部)を含む
# F.τ はHouseholder reflectorsの情報を格納したベクトル
Q = copy(F.L) # F.Lをコピー。 orglq! は A を上書きするのでコピーが必要。
orglq!(Q, F.τ) # 直交行列Qを再構築
println(Q) # Qが出力される。これが元の行列AのLQ分解における直交行列Q。
println(Q * F.R) # Q * F.R は元の行列Aとほぼ等しくなるはずです。
LinearAlgebra.LAPACK.orglq!()
は、JuliaでLQ分解の結果から直交行列Qを効率的に再構築するための関数です。 LAPACKの関数を直接呼び出すことで、高速な計算を実現しています。 使用する際は、引数の意味と、関数が破壊的であることを理解しておく必要があります。
orglq!()
は破壊的な関数であるため、必要であれば元の行列をコピーしてから渡す必要があります。orglq!()
は、lq()
の結果の一部を使ってQを再構築します。
orglq!()
はLAPACKの関数を直接呼び出すため、いくつか注意すべき点があります。
よくあるエラー
-
A
は、lq()
関数で得られたLQ分解の結果(パックされた行列)である必要があります。 単なる行列を渡すとエラーになります。τ
は、lq()
関数で得られたτ
ベクトルである必要があります。A
の次元とτ
の長さは整合している必要があります。A
が m x n なら、τ
の長さはmin(m, n)
である必要があります。
-
A の内容が変更されている
orglq!()
はA
の内容を上書きします。 もし元のA
の内容を保持する必要がある場合は、copy(A)
などでコピーを作成してからorglq!()
に渡してください。
-
lq() の結果を正しく使っていない
orglq!()
に渡すA
とτ
は、必ずlq()
関数の結果から取得する必要があります。 自分で作成した行列やベクトルを渡すと、正しい結果が得られません。
-
LAPACKの依存関係
orglq!()
はLAPACKに依存しています。 JuliaがLAPACKを正しく認識していない場合、エラーが発生することがあります。 通常はJuliaのインストール時にLAPACKもインストールされるため、この問題が発生することは少ないですが、もし問題が発生した場合は、Juliaの再インストールやパッケージの更新を試してみてください。
トラブルシューティング
-
エラーメッセージをよく読む
- Juliaのエラーメッセージは、問題の原因を特定するためのヒントを与えてくれます。 エラーメッセージをよく読み、指示に従って修正してみてください。
-
lq() の結果を確認する
lq()
関数が正しく実行されているか、その結果 (F.L
,F.τ
など) が期待通りの値になっているかを確認してください。println(F)
などでlq()
の結果を表示することができます。
-
最小限のコードで試す
- 複雑なコードの中でエラーが発生した場合、問題を切り分けるために、最小限のコードで
orglq!()
を試してみてください。 例えば、小さな行列でLQ分解を行い、orglq!()
を実行してみるなど。
- 複雑なコードの中でエラーが発生した場合、問題を切り分けるために、最小限のコードで
-
Juliaのバージョンを確認する
- 古いJuliaのバージョンを使用している場合、
orglq!()
に関連するバグが存在する可能性があります。 最新のJuliaバージョンにアップデートすることを検討してください。
- 古いJuliaのバージョンを使用している場合、
具体的な例
using LinearAlgebra
A = rand(3, 4)
F = lq(A)
# 正しい使い方
Q = copy(F.L) # Aをコピー
orglq!(Q, F.τ)
# 間違った使い方 (Aを直接渡す)
# orglq!(A, F.τ) # Aの内容が上書きされる
# 間違った使い方 (τの長さが違う)
# τ_short = F.τ[1:2] # τの長さを短くする
# orglq!(copy(F.L), τ_short) # エラーが発生する
# 間違った使い方 (lq()の結果を使わない)
# A_wrong = rand(3,3)
# τ_wrong = rand(3)
# orglq!(A_wrong, τ_wrong) # 意図しない結果になる
例1: 基本的な使い方
using LinearAlgebra
# 3x4のランダムな行列を作成
A = rand(3, 4)
# LQ分解を実行
F = lq(A)
# F.L (Lの情報を格納) をコピーしてQを格納する領域を確保
Q = copy(F.L)
# orglq! でQを再構築
orglq!(Q, F.τ)
# 結果を表示
println("Original Matrix A:")
println(A)
println("\nReconstructed Q:")
println(Q)
# Q * F.R (RはF. факторов) が元のAに近くなることを確認
println("\nQ * F.R:")
println(Q * F. факторов)
# 誤差を確認
println("\nError |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))
この例では、まずランダムな行列 A
を作成し、lq()
関数でLQ分解を行います。 lq()
の結果は、F
というオブジェクトに格納されます。 F.L
にはLの情報がパックされた形で格納されており、F.τ
にはHouseholder reflectorの情報が格納されています。
orglq!()
は A
(ここでは F.L
のコピー) を上書きするため、copy(F.L)
でコピーを作成し、それを Q
に格納します。 その後、orglq!(Q, F.τ)
を呼び出すことで、Q
に直交行列 Q が再構築されます。
最後に、元の行列 A
と、再構築された Q
と F.factors
(Rに相当) の積を比較し、誤差が小さいことを確認しています。
using LinearAlgebra
function reconstruct_q_from_lq(A)
F = lq(A)
Q = copy(F.L)
orglq!(Q, F.τ)
return Q
end
A = rand(5, 3)
Q = reconstruct_q_from_lq(A)
println("Original Matrix A:")
println(A)
println("\nReconstructed Q:")
println(Q)
println("\nQ * F.R:")
F = lq(A)
println(Q * F.factors)
println("\nError |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))
例3: lq
の結果を直接使う(非推奨)
using LinearAlgebra
A = rand(4, 4)
F = lq(A)
# orglq! は F.L を変更するので、F.Lを直接使うのは非推奨
# Q = F.L # これはコピーではないので、元の F.L が変更されてしまう
# orglq!(Q, F.τ)
# 正しい方法 (コピーを使う)
Q = copy(F.L)
orglq!(Q, F.τ)
println(Q)
この例は、F.L
を直接 orglq!
に渡すことが非推奨であることを示しています。 orglq!
は F.L
の内容を上書きしてしまうため、元の F.L
の情報が失われてしまいます。 必ず copy(F.L)
でコピーを作成してから orglq!
に渡すようにしてください。
- エラーが発生した場合は、エラーメッセージをよく読み、
lq()
の結果 (F.L
,F.τ
など) を確認すること。 orglq!()
に渡すA
とτ
は、必ずlq()
関数の結果から取得すること。orglq!()
は破壊的な関数なので、元の行列を保持したい場合はcopy()
でコピーを作成してから渡すこと。
lq() の結果を直接使う
lq()
関数は、LQ分解の結果をL
とQ
(実際にはR
に相当する部分)およびτ
として返します。多くの場合、orglq!()
を使わずに、lq()
の結果を直接利用できます。
using LinearAlgebra
A = rand(3, 4)
F = lq(A)
# F.L は L (下三角行列)
# F.factors は R (上三角行列、Qの転置に相当)
# F.τ は Householder reflectors
# Qが必要な場合は、以下のように計算できる
Q = F.L * inv(UpperTriangular(F.factors)) # Qを計算
# または、QR分解の結果を利用する(後述)
println("Q:")
println(Q)
println("Q * R:")
println(Q * F.factors)
println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))
この例では、F.L
とF.factors
を使ってQ
を計算しています。 F.factors
はQ
の転置に相当するため、UpperTriangular()
で上三角行列に変換し、inv()
で逆行列を計算しています。
QR分解を使う
もし、最終的にQ
とR
の積(QR
)を計算したいだけであれば、最初からQR分解を使う方が効率的な場合があります。
using LinearAlgebra
A = rand(3, 4)
Q, R = qr(A) # QR分解
println("Q:")
println(Q)
println("R:")
println(R)
println("Q * R:")
println(Q * R)
println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * R))
qr()
関数は、Q
とR
を直接返します。 この方法では、orglq!()
やlq()
の結果を加工する必要はありません。 もし、LQ分解の結果が既に得られている場合は、以下のようにQR分解に変換することも可能です。
F = lq(A)
Q, R = qr(F.L * inv(UpperTriangular(F.factors))), F.factors # LQ分解の結果からQR分解の結果を得る
println("Q:")
println(Q)
println("R:")
println(R)
println("Q * R:")
println(Q * R)
println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * R))
LinearAlgebra.qr を使う(より効率的)
QR分解は、lq()
+ orglq!()
よりも一般的に計算コストが低いです。 もし、Q
を再構築する必要がない、あるいは最終的にQR
の形が必要なのであれば、最初からqr()
を使うことを推奨します。
特殊なケース
もし、A
が正方行列であるなど、特殊な条件が満たされる場合は、より効率的なアルゴリズムが存在する可能性があります。 例えば、A
が対称行列であれば、固有値分解やCholesky分解などが利用できます。
qr()
関数は、lq()
+orglq!()
よりも一般的に高速であるため、特に理由がない限り、qr()
を使うことを推奨します。- 最終的にどのような結果が必要なのか、行列の性質はどうかなどを考慮して、適切な方法を選択することが重要です。
orglq!()
は、LQ分解の結果からQ
を再構築するための関数ですが、多くの場合、lq()
の結果を直接使ったり、QR分解を使ったりする方が効率的です。