JuliaでLQ分解後のQ行列を再構成する：orglq!()の使い方と注意点

2025-04-26

orglq!() は、LAPACK (Linear Algebra PACKage) の関数をJuliaから呼び出すためのものです。具体的には、LQ分解の結果から直交行列Qを再構築するために使用されます。

LQ分解とは

行列 A (m x n) を、直交行列 L (m x m) と上三角行列 Q (m x n) の積に分解するものです。 A = LQ となります。この分解は、例えば最小二乗問題の求解などに利用されます。

orglq!() の役割

orglq!() は、LQ分解によって得られた L と Q の一部の情報を使って、直交行列 Q を生成（再構築）します。 LQ分解の結果は、通常、L の下三角部分と Q の上三角部分を一つの行列にパックした形で返されます。 orglq!() は、このパックされた行列と、いくつかの追加パラメータを使って、完全な直交行列 Q を計算します。

関数の引数

orglq!(A, τ)

τ: LQ分解によって得られたスカラーτのベクトル。これは、Householder reflectors を表現するために使われます。
A: LQ分解の結果（パックされた行列）。この行列は関数によって上書きされます。

関数の戻り値

orglq!() は、引数 A を変更し、直交行列 Q で上書きします。つまり、破壊的な関数です。戻り値はありません (Void)。

具体的な使用例

using LinearAlgebra

A = rand(3, 4)  # 3x4 のランダムな行列を作成
F = lq(A)       # LQ分解を実行

# F.L は下三角行列Lの情報、F.Qは上三角行列Qの情報（の一部）を含む
# F.τ はHouseholder reflectorsの情報を格納したベクトル

Q = copy(F.L) # F.Lをコピー。 orglq! は A を上書きするのでコピーが必要。
orglq!(Q, F.τ) # 直交行列Qを再構築

println(Q) # Qが出力される。これが元の行列AのLQ分解における直交行列Q。
println(Q * F.R) # Q * F.R は元の行列Aとほぼ等しくなるはずです。

LinearAlgebra.LAPACK.orglq!() は、JuliaでLQ分解の結果から直交行列Qを効率的に再構築するための関数です。 LAPACKの関数を直接呼び出すことで、高速な計算を実現しています。使用する際は、引数の意味と、関数が破壊的であることを理解しておく必要があります。

orglq!() は破壊的な関数であるため、必要であれば元の行列をコピーしてから渡す必要があります。
orglq!() は、lq() の結果の一部を使ってQを再構築します。

orglq!() はLAPACKの関数を直接呼び出すため、いくつか注意すべき点があります。

よくあるエラー

- A は、lq() 関数で得られたLQ分解の結果（パックされた行列）である必要があります。単なる行列を渡すとエラーになります。
- τ は、lq() 関数で得られた τ ベクトルである必要があります。
- A の次元と τ の長さは整合している必要があります。 A が m x n なら、τ の長さは min(m, n) である必要があります。
A の内容が変更されている
- orglq!() は A の内容を上書きします。もし元の A の内容を保持する必要がある場合は、copy(A) などでコピーを作成してから orglq!() に渡してください。
lq() の結果を正しく使っていない
- orglq!() に渡す A と τ は、必ず lq() 関数の結果から取得する必要があります。自分で作成した行列やベクトルを渡すと、正しい結果が得られません。
LAPACKの依存関係
- orglq!() はLAPACKに依存しています。 JuliaがLAPACKを正しく認識していない場合、エラーが発生することがあります。通常はJuliaのインストール時にLAPACKもインストールされるため、この問題が発生することは少ないですが、もし問題が発生した場合は、Juliaの再インストールやパッケージの更新を試してみてください。

トラブルシューティング

エラーメッセージをよく読む
- Juliaのエラーメッセージは、問題の原因を特定するためのヒントを与えてくれます。エラーメッセージをよく読み、指示に従って修正してみてください。
lq() の結果を確認する
- lq() 関数が正しく実行されているか、その結果 (F.L, F.τ など) が期待通りの値になっているかを確認してください。 println(F) などで lq() の結果を表示することができます。
最小限のコードで試す
- 複雑なコードの中でエラーが発生した場合、問題を切り分けるために、最小限のコードで orglq!() を試してみてください。例えば、小さな行列でLQ分解を行い、orglq!() を実行してみるなど。
Juliaのバージョンを確認する
- 古いJuliaのバージョンを使用している場合、orglq!() に関連するバグが存在する可能性があります。最新のJuliaバージョンにアップデートすることを検討してください。

具体的な例

using LinearAlgebra

A = rand(3, 4)
F = lq(A)

# 正しい使い方
Q = copy(F.L) # Aをコピー
orglq!(Q, F.τ)

# 間違った使い方 (Aを直接渡す)
# orglq!(A, F.τ)  # Aの内容が上書きされる

# 間違った使い方 (τの長さが違う)
# τ_short = F.τ[1:2] # τの長さを短くする
# orglq!(copy(F.L), τ_short) # エラーが発生する

# 間違った使い方 (lq()の結果を使わない)
# A_wrong = rand(3,3)
# τ_wrong = rand(3)
# orglq!(A_wrong, τ_wrong) # 意図しない結果になる

例1: 基本的な使い方

using LinearAlgebra

# 3x4のランダムな行列を作成
A = rand(3, 4)

# LQ分解を実行
F = lq(A)

# F.L (Lの情報を格納) をコピーしてQを格納する領域を確保
Q = copy(F.L)

# orglq! でQを再構築
orglq!(Q, F.τ)

# 結果を表示
println("Original Matrix A:")
println(A)
println("\nReconstructed Q:")
println(Q)

# Q * F.R (RはF. факторов) が元のAに近くなることを確認
println("\nQ * F.R:")
println(Q * F. факторов)

# 誤差を確認
println("\nError |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))

この例では、まずランダムな行列 A を作成し、lq() 関数でLQ分解を行います。 lq() の結果は、F というオブジェクトに格納されます。 F.L にはLの情報がパックされた形で格納されており、F.τ にはHouseholder reflectorの情報が格納されています。

orglq!() は A (ここでは F.L のコピー) を上書きするため、copy(F.L) でコピーを作成し、それを Q に格納します。その後、orglq!(Q, F.τ) を呼び出すことで、Q に直交行列 Q が再構築されます。

最後に、元の行列 A と、再構築された Q と F.factors (Rに相当) の積を比較し、誤差が小さいことを確認しています。

using LinearAlgebra

function reconstruct_q_from_lq(A)
  F = lq(A)
  Q = copy(F.L)
  orglq!(Q, F.τ)
  return Q
end

A = rand(5, 3)
Q = reconstruct_q_from_lq(A)

println("Original Matrix A:")
println(A)
println("\nReconstructed Q:")
println(Q)

println("\nQ * F.R:")
F = lq(A)
println(Q * F.factors)

println("\nError |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))

例3: lq の結果を直接使う（非推奨）

using LinearAlgebra

A = rand(4, 4)
F = lq(A)

# orglq! は F.L を変更するので、F.Lを直接使うのは非推奨
# Q = F.L  # これはコピーではないので、元の F.L が変更されてしまう
# orglq!(Q, F.τ)

# 正しい方法 (コピーを使う)
Q = copy(F.L)
orglq!(Q, F.τ)

println(Q)

この例は、F.L を直接 orglq! に渡すことが非推奨であることを示しています。 orglq! は F.L の内容を上書きしてしまうため、元の F.L の情報が失われてしまいます。必ず copy(F.L) でコピーを作成してから orglq! に渡すようにしてください。

エラーが発生した場合は、エラーメッセージをよく読み、lq() の結果 (F.L, F.τ など) を確認すること。
orglq!() に渡す A と τ は、必ず lq() 関数の結果から取得すること。
orglq!() は破壊的な関数なので、元の行列を保持したい場合は copy() でコピーを作成してから渡すこと。

lq() の結果を直接使う

lq()関数は、LQ分解の結果をLとQ（実際にはRに相当する部分）およびτとして返します。多くの場合、orglq!()を使わずに、lq()の結果を直接利用できます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 4)
F = lq(A)

# F.L は L (下三角行列)
# F.factors は R (上三角行列、Qの転置に相当)
# F.τ は Householder reflectors

# Qが必要な場合は、以下のように計算できる
Q = F.L * inv(UpperTriangular(F.factors)) # Qを計算

# または、QR分解の結果を利用する（後述）

println("Q:")
println(Q)

println("Q * R:")
println(Q * F.factors)

println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * F.factors))

この例では、F.LとF.factorsを使ってQを計算しています。 F.factorsはQの転置に相当するため、UpperTriangular()で上三角行列に変換し、inv()で逆行列を計算しています。

QR分解を使う

もし、最終的にQとRの積（QR）を計算したいだけであれば、最初からQR分解を使う方が効率的な場合があります。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 4)
Q, R = qr(A)  # QR分解

println("Q:")
println(Q)

println("R:")
println(R)

println("Q * R:")
println(Q * R)

println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * R))

qr()関数は、QとRを直接返します。この方法では、orglq!()やlq()の結果を加工する必要はありません。もし、LQ分解の結果が既に得られている場合は、以下のようにQR分解に変換することも可能です。

F = lq(A)
Q, R = qr(F.L * inv(UpperTriangular(F.factors))), F.factors # LQ分解の結果からQR分解の結果を得る

println("Q:")
println(Q)

println("R:")
println(R)

println("Q * R:")
println(Q * R)

println("Error |A - QR|:")
println(norm(A - Q * R))

LinearAlgebra.qr を使う（より効率的）

QR分解は、lq() + orglq!() よりも一般的に計算コストが低いです。もし、Qを再構築する必要がない、あるいは最終的にQRの形が必要なのであれば、最初からqr()を使うことを推奨します。

特殊なケース

もし、Aが正方行列であるなど、特殊な条件が満たされる場合は、より効率的なアルゴリズムが存在する可能性があります。例えば、Aが対称行列であれば、固有値分解やCholesky分解などが利用できます。

qr()関数は、lq() + orglq!() よりも一般的に高速であるため、特に理由がない限り、qr()を使うことを推奨します。
最終的にどのような結果が必要なのか、行列の性質はどうかなどを考慮して、適切な方法を選択することが重要です。
orglq!()は、LQ分解の結果からQを再構築するための関数ですが、多くの場合、lq()の結果を直接使ったり、QR分解を使ったりする方が効率的です。