Juliaのorghr!()とは？QR分解のQを明示的に取得する方法

orghr!() の役割

orghr!() は、QR分解によって得られたHouseholder reflectorの情報を使い、直交行列Qを明示的に生成します。QR分解は、行列Aを直交行列Qと上三角行列Rの積 (A = QR) に分解するもので、qr() 関数などで実行できます。 qr()の結果オブジェクトは、QとRを直接格納しているのではなく、QをHouseholder reflectorの形で効率的に保持しています。 orghr!() は、このHouseholder reflectorの情報を基に、Qの具体的な行列を計算します。

関数の引数

orghr!(A, tau)

• tau: qr() 関数で得られたQR分解の結果オブジェクトの tau フィールド (例えば qr_result.tau) から取り出したベクトルです。これはHouseholder reflectorを定義するスカラー値の配列です。
• A: 入力行列であり、関数実行後には直交行列Qに置き換わります。A は、qr() 関数で得られたQR分解の結果オブジェクトの Q フィールド (例えば qr_result.Q) から取り出した行列 (通常は元の行列Aの一部) である必要があります。特に、この行列のサイズは、Householder reflectorの数によって決まります。

処理の流れ

1. qr() 関数などを用いて行列AのQR分解を実行します。
2. QR分解の結果オブジェクトから、Q フィールドと tau フィールドを取り出します。
3. orghr!(A, tau) を呼び出します。この際、A には qr() の結果オブジェクトの Q フィールド (通常、元の行列 A の一部) を、tau には tau フィールドを渡します。
4. orghr!() は、A の内容を直交行列Qで上書きします。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)  # 3x3のランダムな行列
qr_result = qr(A) # QR分解を実行

Q = qr_result.Q # Q (Householder reflectorの形で保持)
tau = qr_result.tau # Householder reflectorを定義するスカラー値の配列

Q_explicit = copy(Q) # Qをコピー (orghr! は A を上書きするため)
orghr!(Q_explicit, tau) # Q_explicit に Q の具体的な行列を計算

println("Original Q (Householder form):\n", Q)
println("\nExplicit Q:\n", Q_explicit)

# 検算: Q_explicit が直交行列であることの確認
println("\nQ_explicit * Q_explicit' (should be close to identity):\n", Q_explicit * Q_explicit')

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よくあるエラーと原因

1. • 原因
     orghr!() に渡す引数の型やサイズが正しくない場合に発生します。特に、A (通常はqr()の結果のQフィールド) と tau (通常はqr()の結果のtauフィールド) の組み合わせが、QR分解の結果と一致していない場合に起こりやすいです。
   • 対策
     
     • qr() 関数で得られた結果オブジェクトから Q と tau を取り出し、そのまま orghr!() に渡すようにします。
     • A のサイズが、Householder reflectorの数と一致しているか確認します。A は、通常、元の行列 A の一部 (例えば、A[:, 1:k], where k is the number of reflectors) です。
     • tau の長さも、Householder reflectorの数と一致している必要があります。
     • Q と tau が同じ qr() の結果から取り出されたものであることを確認します。異なる qr() の結果から取り出したものを組み合わせるとエラーが発生します。

2. DimensionMismatch (次元の不一致)
   

   • 原因
     A の次元が、tau から計算される直交行列の次元と一致しない場合に発生します。
   • 対策
     A の行数と列数、そして tau の長さを確認し、矛盾がないか確認します。通常、A は qr() 関数の出力の Q の一部であり、そのサイズは tau の長さによって決まります。

3. LinearAlgebra.LAPACK.geqrf!/qr! 関連のエラー
   

   • 原因
     orghr!() を呼び出す前に、qr() (または geqrf!()) が正しく実行されていない可能性があります。
   • 対策
     
     • qr() の実行が成功しているか確認します。
     • qr() の結果オブジェクトが正しく取得できているか確認します。

トラブルシューティングのヒント

1. println() デバッグ
   

   • A、tau の型、サイズ、内容を println() で出力し、期待通りの値になっているか確認します。
   • qr() の結果オブジェクトの中身を println() で確認し、Q と tau が正しく格納されているか確認します。

2. @assert を利用したチェック
   

   • A と tau のサイズが期待通りであることを @assert で確認します。例えば、@assert size(A, 2) == length(tau) のように記述します。

3. 最小限のコードで再現
   

   • エラーが発生する最小限のコードを作成し、問題を特定しやすくします。

4. Julia のバージョン
   

   • 古い Julia のバージョンを使用している場合、バグが存在する可能性があります。最新の安定版にアップデートすることを検討してください。

5. ドキュメントの確認
   

   • Julia のドキュメントで qr() と orghr!() の使い方を再度確認します。

例

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
qr_result = qr(A)

Q = qr_result.Q
tau = qr_result.tau

# エラーが発生しやすいコード (例):
# Q_wrong = rand(4,4) # サイズが違う
# orghr!(Q_wrong, tau) # エラー

Q_explicit = copy(Q) # Qをコピー (orghr! は A を上書きするため)

# サイズのチェック
@assert size(Q_explicit, 2) == length(tau)

orghr!(Q_explicit, tau)

println("Explicit Q:\n", Q_explicit)

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例1: 基本的な使い方

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)  # 3x3のランダムな行列を生成
qr_result = qr(A) # QR分解を実行

Q = qr_result.Q # QR分解の結果からQを取り出す (Householder reflectorの形で保持)
tau = qr_result.tau # QR分解の結果からtauを取り出す (Householder reflectorを定義するスカラー値の配列)

Q_explicit = copy(Q) # Qをコピー (orghr! は A を上書きするため)
orghr!(Q_explicit, tau) # Q_explicitにQの具体的な行列を計算

println("Original Q (Householder form):\n", Q)
println("\nExplicit Q:\n", Q_explicit)

# 検算: Q_explicitが直交行列であることの確認 (Q*Q' ≈ I)
println("\nQ_explicit * Q_explicit' (should be close to identity):\n", Q_explicit * Q_explicit')

この例では、まずランダムな3x3行列 A を生成し、qr() 関数でQR分解を行います。qr() の結果オブジェクトから Q (Householder reflectorの形で保持) と tau を取り出します。orghr!() は A (この場合は Q をコピーしたもの) を直接変更するため、copy(Q) でコピーを作成し、コピーに対して orghr!() を実行します。最後に、Q_explicit が直交行列であることを確認するため、Q_explicit * Q_explicit' を計算し、単位行列に近いことを確認しています。

例2: 一部の列だけを直交化

using LinearAlgebra

A = rand(5, 4) # 5x4の行列
qr_result = qr(A)
Q = qr_result.Q
tau = qr_result.tau

# 最初の3列だけを直交化
n = 3 # 直交化する列数
Q_partial = copy(Q[:, 1:n]) # 最初のn列をコピー
tau_partial = tau[1:n] # 最初のn個のtau要素

orghr!(Q_partial, tau_partial)

println("Partial Q (first $n columns):\n", Q_partial)

# 元のQの対応する部分を置き換え
Q[:, 1:n] = Q_partial

println("\nQ with first $n columns orthogonalized:\n", Q)

この例では、5x4の行列 A の最初の3列だけを直交化しています。Q の最初の3列と tau の最初の3要素を取り出し、orghr!() に渡しています。orghr!() は Q_partial を直接変更するため、コピーを作成して渡しています。その後、計算された Q_partial で元の Q の対応する部分を置き換えています。

using LinearAlgebra

A = rand(4, 4)
A_copy = copy(A) # Aをコピー。qr! は A を変更するため

qr!(A) # inplace QR分解。AはRに、QはAの下三角部分にHouseholder reflectorの形で格納される
Q = LowerTriangular(A) # 下三角部分からQを抽出 (Householder reflectorの形で保持)
tau = qr!(A_copy).tau # A_copyに対してqr!を実行し、tauを取得

Q_explicit = copy(Q)
orghr!(Q_explicit, tau)

println("Explicit Q:\n", Q_explicit)

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Matrix(Q)

最も簡単な方法は、qr() 関数の結果オブジェクトの Q フィールドを直接 Matrix() コンストラクタに渡すことです。Q は QRCompactQ 型のオブジェクトであり、Matrix() を使うことで密な行列に変換できます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
qr_result = qr(A)

Q = qr_result.Q

Q_explicit = Matrix(Q) # 直接 Matrix に変換

println("Explicit Q:\n", Q_explicit)

この方法は、orghr!() を使うよりも簡潔で、多くの場合に十分です。Matrix(Q) は内部で効率的な処理を行っているため、性能面でも大きな問題はありません。

* 演算子 (行列乗算)

Q が QRCompactQ 型の場合、Q に単位行列を乗算することでも密な行列を得られます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
qr_result = qr(A)

Q = qr_result.Q

Q_explicit = Q * I(size(Q, 1)) # 単位行列を乗算

println("Explicit Q:\n", Q_explicit)

I(n) は n x n の単位行列を生成する関数です。この方法は、Matrix(Q) とほぼ同等の結果が得られます。

collect(Q)

collect(Q) を使用することでも、QRCompactQ 型の Q を密な行列に変換できます。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
qr_result = qr(A)

Q = qr_result.Q

Q_explicit = collect(Q)

println("Explicit Q:\n", Q_explicit)

collect() は、iterable なオブジェクトを配列に変換する関数です。QRCompactQ も iterable なので、collect() で密な行列に変換できます。

手動での Householder 変換の適用 (教育目的)

Householder reflectorの定義に基づいて、一つずつ変換を適用していくことも可能です。この方法は、orghr!() や Matrix(Q) の内部処理を理解するのに役立ちますが、計算コストが高くなるため、実用的な場面では推奨されません。

using LinearAlgebra

A = rand(3, 3)
qr_result = qr(A)

Q = qr_result.Q
tau = qr_result.tau

n = size(A, 2)
Q_explicit = Matrix(I(size(A, 1))) # 単位行列で初期化

for k in 1:n
    v = view(Q.factors, k:size(A, 1), k) # k番目のHouseholder vector
    τ = tau[k]
    H = I(size(A, 1)) - τ * v * v' / (v' * v) # Householder変換行列
    Q_explicit = Q_explicit * H # 変換を適用
end

println("Explicit Q (manual):\n", Q_explicit)