LinearAlgebra.LAPACK.ggev!()

2025-02-21

一般化固有値問題とは

通常の固有値問題は、行列 A に対して、Ax = λx を満たす固有値 λ と固有ベクトル x を求める問題です。一方、一般化固有値問題は、2つの行列 A と B に対して、Ax = λBx を満たす固有値 λ と固有ベクトル x を求める問題です。

ggev!() の機能

"LinearAlgebra.LAPACK.ggev!()" は、与えられた2つの行列 A と B について、以下の情報を計算します。

行列 A と B の分解
入力行列 A と B を、Schur分解（または一般化Schur分解）の形式に変換します。ggev!()は、入力行列を直接変更(in-place)します。
右固有ベクトル
行列 A と B の右一般化固有ベクトルを計算します。
左固有ベクトル
行列 A と B の左一般化固有ベクトルを計算します。
一般化固有値
λ = α/β の形式で表される一般化固有値を計算します。ここで、α と β は複素数です。

ggev!() の引数

"LinearAlgebra.LAPACK.ggev!()" は、以下の引数を取ります。

info::Ref{BlasInt}: エラーコードを格納する参照です。
work::Vector{<:Number}: 作業用ベクトルです。
vr::Matrix{<:Number}: 右固有ベクトルを格納する行列です (jobvr = 'V' の場合)。
vl::Matrix{<:Number}: 左固有ベクトルを格納する行列です (jobvl = 'V' の場合)。
beta::Vector{<:Number}: 計算された β 値を格納するベクトルです。
alpha::Vector{<:Number}: 計算された α 値を格納するベクトルです。
B::Matrix{<:Number}: 一般化固有値問題における行列 B です。
A::Matrix{<:Number}: 一般化固有値問題における行列 A です。
jobvr::Char: 右固有ベクトルを計算するかどうかを指定します。'N' (計算しない) または 'V' (計算する) を指定します。
jobvl::Char: 左固有ベクトルを計算するかどうかを指定します。'N' (計算しない) または 'V' (計算する) を指定します。

ggev!() の使用例

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]

n = size(A, 1)
alpha = Vector{ComplexF64}(undef, n)
beta = Vector{ComplexF64}(undef, n)
vl = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
vr = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
work = Vector{ComplexF64}(undef, 8 * n)
info = Ref{BlasInt}(0)

LinearAlgebra.LAPACK.ggev!('V', 'V', A, B, alpha, beta, vl, vr, work, info)

if info[] == 0
    println("一般化固有値 (alpha/beta):")
    for i in 1:n
        println(alpha[i] / beta[i])
    end
    println("左固有ベクトル:")
    println(vl)
    println("右固有ベクトル:")
    println(vr)
else
    println("エラーが発生しました。エラーコード: ", info[])
end

エラーコード info を確認して、計算が正常に終了したかどうかを確認してください。
作業用ベクトル work のサイズは、少なくとも 8*n である必要があります。
計算結果の一般化固有値は α/β の形式で表されます。β が 0 の場合、固有値は無限大になります。
ggev!() は入力行列 A と B を直接変更します。元の行列を保持する必要がある場合は、コピーを作成してください。

一般的なエラーとトラブルシューティング

- エラー
  MethodError や DimensionMismatch など。
- 原因
  引数の型（例：Matrix{Float64} と Matrix{ComplexF64} の混在）やサイズが関数が期待するものと異なっている。
- 対策
  - 引数の型をドキュメントで確認し、一致させる。
  - 行列のサイズが整合しているか（例：A と B が同じサイズであるか）を確認する。
  - alpha, beta, vl, vr, work のサイズが適切か確認する。特にworkのサイズは8*n以上である必要がある。
作業用ベクトル work のサイズ不足
- エラー
  LAPACK のエラーコード（info が 0 以外）が返される。
- 原因
  work ベクトルのサイズが不足している。
- 対策
  work ベクトルのサイズを少なくとも 8 * n に設定する。nは行列の行数（列数）です。
エラーコード info が 0 以外の場合
- エラー
  LAPACK のエラーを示す info の値。
- 原因
  LAPACK の計算中に何らかのエラーが発生した。
- 対策
  - info の値を確認し、LAPACK のドキュメントを参照してエラーの内容を特定する。
  - 行列 A と B の値を確認し、特異な値（例：非常に大きな値や非常に小さな値）がないか確認する。
  - 行列 A と B が特異行列（正則でない行列）である場合、一般化固有値問題が適切に解けない可能性がある。
固有値が NaN や Inf になる場合
- エラー
  結果の固有値が NaN (Not a Number) や Inf (Infinity) になる。
- 原因
  - 行列 A や B に特異な値が含まれている。
  - 行列 B が特異行列であるため、β が 0 になり、α/β が Inf になる。
  - 計算過程での数値的な不安定性。
- 対策
  - 入力行列の値をチェックし、特異な値があれば修正する。
  - 行列 B の特異性を確認し、必要に応じて正則化を検討する。
  - 計算精度を上げるために、より高精度のデータ型（例：Float64 から BigFloat）を使用する。
左/右固有ベクトルが期待通りに計算されない場合
- エラー
  計算された固有ベクトルが理論的な結果と異なる。
- 原因
  - jobvl や jobvr の設定が間違っている。
  - 数値的な誤差が累積している。
  - 固有値が重複している場合、固有ベクトルの選択肢が複数存在し、LAPACK が特定の解を選択している。
- 対策
  - jobvl と jobvr の設定を確認し、必要な固有ベクトルが計算されるようにする。
  - 計算精度を上げる。
  - 固有値の重複を確認し、必要に応じて固有ベクトルの解釈を調整する。

トラブルシューティングの一般的な手順

エラーメッセージを確認する
エラーメッセージには、問題の原因に関する重要な情報が含まれています。
引数の型とサイズを確認する
ドキュメントを参照して、引数が正しい型とサイズであることを確認します。
エラーコード info を確認する
info が 0 以外の場合、LAPACK のドキュメントを参照してエラーの内容を特定します。
入力行列をチェックする
行列 A と B の値を確認し、特異な値や特異性がないか確認します。
作業用ベクトルのサイズを確認する
work ベクトルのサイズが十分であることを確認します。
計算精度を上げる
必要に応じて、より高精度のデータ型を使用します。
簡単な例で試す
問題を特定するために、より小さな行列で試してみます。

例1: 基本的な一般化固有値問題の解法

using LinearAlgebra

# 行列 A と B を定義
A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]

# 行列のサイズを取得
n = size(A, 1)

# 結果を格納するベクトルと行列を初期化
alpha = Vector{ComplexF64}(undef, n)
beta = Vector{ComplexF64}(undef, n)
vl = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
vr = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
work = Vector{ComplexF64}(undef, 8 * n)
info = Ref{BlasInt}(0)

# 一般化固有値問題を解く (左/右固有ベクトルも計算)
LinearAlgebra.LAPACK.ggev!('V', 'V', A, B, alpha, beta, vl, vr, work, info)

# 結果の表示
if info[] == 0
    println("一般化固有値 (alpha/beta):")
    for i in 1:n
        println(alpha[i] / beta[i])
    end
    println("\n左固有ベクトル:")
    println(vl)
    println("\n右固有ベクトル:")
    println(vr)
else
    println("エラーが発生しました。エラーコード: ", info[])
end

説明

info の値が 0 であれば、計算が正常に終了しています。
計算結果の一般化固有値は alpha[i] / beta[i] で求められます。
'V', 'V' を引数に指定することで、左固有ベクトルと右固有ベクトルも計算しています。
この例では、2x2 の行列 A と B に対して一般化固有値問題を解いています。

例2: 左固有ベクトルのみを計算する

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]
n = size(A, 1)
alpha = Vector{ComplexF64}(undef, n)
beta = Vector{ComplexF64}(undef, n)
vl = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
work = Vector{ComplexF64}(undef, 8 * n)
info = Ref{BlasInt}(0)

# 左固有ベクトルのみを計算
LinearAlgebra.LAPACK.ggev!('V', 'N', A, B, alpha, beta, vl, Matrix{ComplexF64}(undef, n, n), work, info)

if info[] == 0
    println("一般化固有値 (alpha/beta):")
    for i in 1:n
        println(alpha[i] / beta[i])
    end
    println("\n左固有ベクトル:")
    println(vl)
else
    println("エラーが発生しました。エラーコード: ", info[])
end

説明

右固有ベクトルを格納する引数には、適切なサイズの空の行列を渡しています。
'V', 'N' を引数に指定することで、左固有ベクトルのみを計算しています。右固有ベクトルは計算されません。

例3: 固有値のみを計算する

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]
n = size(A, 1)
alpha = Vector{ComplexF64}(undef, n)
beta = Vector{ComplexF64}(undef, n)
work = Vector{ComplexF64}(undef, 8 * n)
info = Ref{BlasInt}(0)

# 固有値のみを計算
LinearAlgebra.LAPACK.ggev!('N', 'N', A, B, alpha, beta, Matrix{ComplexF64}(undef, n, n), Matrix{ComplexF64}(undef, n, n), work, info)

if info[] == 0
    println("一般化固有値 (alpha/beta):")
    for i in 1:n
        println(alpha[i] / beta[i])
    end
else
    println("エラーが発生しました。エラーコード: ", info[])
end

説明

固有ベクトルを格納する引数には、適切なサイズの空の行列を渡しています。
'N', 'N' を引数に指定することで、固有値のみを計算しています。固有ベクトルは計算されません。

例4: エラー処理の例

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]
n = size(A, 1)
alpha = Vector{ComplexF64}(undef, n)
beta = Vector{ComplexF64}(undef, n)
vl = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
vr = Matrix{ComplexF64}(undef, n, n)
work = Vector{ComplexF64}(undef, 8 * n)
info = Ref{BlasInt}(0)

LinearAlgebra.LAPACK.ggev!('V', 'V', A, B, alpha, beta, vl, vr, work, info)

if info[] != 0
    println("エラーが発生しました。エラーコード: ", info[])
    # エラー処理を行う
    if info[] < 0
        println("引数", -info[], "が不正です。")
    else
        println("計算が収束しませんでした。")
    end
else
    println("一般化固有値 (alpha/beta):")
    for i in 1:n
        println(alpha[i] / beta[i])
    end
end

info の値に応じて、異なるエラー処理を行うことができます。
info の値を確認し、エラーが発生した場合にエラーメッセージを表示します。

eigen 関数 (一般化固有値問題ではない場合)

使用例
説明
- eigen 関数は、通常の固有値問題 Ax = λx を解くために使用されます。
- 一般化固有値問題 Ax = λBx を解くことはできません。
- 行列 A が対称行列またはエルミート行列の場合、eigen 関数は効率的なアルゴリズムを使用します。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
eigen_result = eigen(A)

println("固有値:")
println(eigen_result.values)
println("\n固有ベクトル:")
println(eigen_result.vectors)

欠点
- 一般化固有値問題を解くことはできません。
利点
- eigen 関数は、ggev! よりも使いやすく、より簡潔なコードで記述できます。
- 対称行列やエルミート行列の場合、効率的な計算が可能です。

GeneralizedEigen 型 (一般化固有値問題用)

使用例
説明
- LinearAlgebra パッケージに含まれる GeneralizedEigen 型は、一般化固有値問題をより使いやすい形で扱うための型です。
- ggev 関数（ggev! の非破壊版）を使用し、結果を GeneralizedEigen 型のオブジェクトとして返します。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]
gen_eigen_result = eigen(A, B)

println("一般化固有値:")
println(gen_eigen_result.values)
println("\n右一般化固有ベクトル:")
println(gen_eigen_result.vectors)

欠点
- ggev! よりもオーバーヘッドがわずかに大きくなる可能性があります。
利点
- ggev! よりも使いやすく、結果を構造化された形で取得できます。
- 非破壊的な関数であるため、元の行列 A と B を変更しません。

Arpack パッケージ (大規模な疎行列の固有値問題)

使用例
説明
- Arpack パッケージは、大規模な疎行列の固有値問題を効率的に解くためのパッケージです。
- ggev! は密行列を対象としているため、大規模な疎行列には適していません。
- Arpack パッケージは、特定の固有値（例：最大または最小の固有値）のみを計算することもできます。

using Arpack
using SparseArrays

# 大規模な疎行列 A と B を作成
n = 1000
A = sprand(n, n, 0.1)  # 疎行列を生成
B = speye(n)

# 最大の固有値と固有ベクトルを計算
eigen_result = eigs(A, B, nev=1)

println("最大の固有値:")
println(eigen_result[1])
println("\n最大の固有ベクトル:")
println(eigen_result[2])

欠点
- 密行列には適していません。
- 使い方が ggev! よりも複雑になる場合があります。
利点
- 大規模な疎行列の固有値問題を効率的に解くことができます。
- 特定の固有値のみを計算できるため、メモリ使用量を削減できます。

IterativeSolvers パッケージ (反復解法)

使用例
説明
- IterativeSolvers パッケージは、反復解法を使用して固有値問題を解くためのパッケージです。
- 大規模な行列や特異な行列の固有値問題を解く場合に有効です。
- 特定の固有値のみを計算することもできます。

using IterativeSolvers
using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]
B = [5.0 6.0; 7.0 8.0]

# 一般化固有値問題を反復解法で解く
eigen_result = eigsolve(A, B)

println("固有値:")
println(eigen_result[1])
println("\n固有ベクトル:")
println(eigen_result[2])

欠点
- 収束に時間がかかる場合があります。
- 使い方が ggev! よりも複雑になる場合があります。
利点
- 大規模な行列や特異な行列の固有値問題を解くことができます。
- 特定の固有値のみを計算できるため、メモリ使用量を削減できます。

大規模な行列や特異な行列の場合は IterativeSolvers パッケージを使用します。
大規模な疎行列の場合は Arpack パッケージを使用します。
一般化固有値問題をより簡単に扱う場合は eigen(A,B)を使用します。
通常の固有値問題の場合は eigen 関数を使用します。

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