JuliaのBLAS.ger!を徹底解説：高速なランク1更新で線形代数計算を最適化

2025-05-26

Juliaにおける LinearAlgebra.BLAS.ger!() は、線形代数演算の基本的なルーチンを提供するBLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) の機能の一つです。具体的には、ランク1更新を実行するための関数です。

`ger!` の意味

! (bang): Juliaでは、関数名の最後に ! が付いている場合、その関数が引数として渡されたオブジェクトを**変更する（in-place operation）**ことを示します。つまり、ger!() は、既存の行列 A を直接変更します。
ger: "General Rank-1 Update" の略です。これは、行列 A をベクトル x と y の外積（outer product）で更新する操作を指します。
BLAS: "Basic Linear Algebra Subprograms" の略で、ベクトルや行列の基本的な演算（ベクトル-ベクトル積、行列-ベクトル積、行列-行列積など）を効率的に行うための標準的なAPIです。JuliaのLinearAlgebraモジュールは、これらのBLASルーチンへのラッパーを提供しています。

`ger!()` が行う計算

LinearAlgebra.BLAS.ger!(alpha, x, y, A) は、以下の計算を実行します。

A←A+α⋅xyT

ここで、

y は列ベクトル（1次元配列）。yT は y の転置で、行ベクトルとして扱われます。
x は列ベクトル（1次元配列）。
α (alpha) はスカラ値。
A は更新される行列（通常は2次元配列）。

この操作は、「ベクトル x と y の外積にスカラ α を掛けたものを、行列 A に加える」というものです。結果は A に直接書き込まれます。

使用例

using LinearAlgebra

# 行列 A を定義
A = [1.0 2.0; 3.0 4.0]

# ベクトル x と y を定義
x = [1.0, 2.0]
y = [3.0, 4.0]

# スカラ alpha を定義
alpha = 2.0

# ger! を呼び出して A を更新
BLAS.ger!(alpha, x, y, A)

println(A)

このコードを実行すると、A は以下のように更新されます。

元の A: A=(1324)

xyT の計算: xyT=(12)(34)=(1⋅32⋅31⋅42⋅4)=(3648)

α⋅xyT の計算: 2.0⋅(3648)=(612816)

最終的な A の更新: A←(1324)+(612816)=(7151020)

したがって、出力は次のようになります。

2×2 Matrix{Float64}:
  7.0  10.0
 15.0  20.0

BLAS.ger!() のようなBLAS関数は、手動でループを書いて同様の計算を行うよりも、はるかに高速に動作するように最適化されています。これは、これらの関数が低レベルのCやFortranで実装されており、特定のCPUアーキテクチャに合わせて高度にチューニングされているためです（SIMD命令の活用、キャッシュの効率的な利用など）。

次元不一致 (Dimension Mismatch)

これは最も一般的なエラーの一つです。ger!() は A←A+α⋅xyT の計算を行うため、入力される行列とベクトルの次元には特定の関係が必要です。

エラーメッセージの例
DimensionMismatch("...")

原因

ベクトル y の長さと行列 A の列数が一致しない。
ベクトル x の長さと行列 A の行数 (または x の長さと y の長さが不正な場合) が一致しない。

具体的には、

x が長さ m のベクトル、y が長さ n のベクトルである場合、A は m×n 行列でなければなりません。

トラブルシューティング

コード内で、ベクトルや行列を生成する際の次元指定が正しいか見直します。特に、転置操作（'）や、reshape を使用している場合は注意が必要です。
size(A), length(x), length(y) を確認し、以下の関係が成り立っているか確認します。
- size(A, 1) == length(x)
- size(A, 2) == length(y)

例

using LinearAlgebra

A = zeros(3, 2) # 3x2 行列
x = [1.0, 2.0, 3.0] # 長さ3のベクトル
y = [10.0, 20.0, 30.0] # 長さ3のベクトル

# x の長さは A の行数 (3) と一致。
# y の長さ (3) が A の列数 (2) と一致しないため、DimensionMismatch エラーが発生する
# BLAS.ger!(1.0, x, y, A) # エラーが発生するコード

# 修正例: y の長さを A の列数に合わせる
y_correct = [10.0, 20.0] # 長さ2のベクトル
BLAS.ger!(1.0, x, y_correct, A)
println(A)

型の不一致 (Type Mismatch)

BLAS関数は通常、特定の数値型（Float32, Float64, ComplexF32, ComplexF64 など）に特化しています。異なる型の引数を渡すとエラーになることがあります。

エラーメッセージの例
MethodError: no method matching ger!(...) ArgumentError: ...

原因

BLASは通常、浮動小数点数（Float64がデフォルト）で動作するため、明示的に型を指定しないと問題になることがあります。
alpha, x, y, A の型がBLAS関数が期待する型と異なる。特に、整数型やBool型などが混ざっている場合に発生しやすいです。

トラブルシューティング

rand() や zeros() で配列を生成する際に、zeros(Float64, 3, 2) のように型を指定することを習慣にすると良いでしょう。
必要に応じて、Float64(value) や convert(Float64, array) のように明示的な型変換を行います。
全ての引数が同じ数値型（例: Float64）であることを確認します。

例

using LinearAlgebra

A_int = [1 2; 3 4] # Int64 型の行列
x_int = [1, 2] # Int64 型のベクトル
y_int = [3, 4] # Int64 型のベクトル
alpha_int = 1 # Int64 型のスカラー

# BLAS.ger!(alpha_int, x_int, y_int, A_int) # MethodError が発生する可能性が高い

# 修正例: 全ての引数を Float64 型にする
A_float = [1.0 2.0; 3.0 4.0] # Float64 型の行列
x_float = [1.0, 2.0] # Float64 型のベクトル
y_float = [3.0, 4.0] # Float64 型のベクトル
alpha_float = 1.0 # Float64 型のスカラー

BLAS.ger!(alpha_float, x_float, y_float, A_float)
println(A_float)

スレッドの問題 (Multithreading Issues)

BLASライブラリ（OpenBLASやMKLなど）自体が内部でマルチスレッドを使用している場合があります。Juliaの組み込みマルチスレッドとBLASのスレッドが競合すると、パフォーマンスの低下やクラッシュ（セグメンテーション違反など）が発生することがあります。

エラーメッセージの例

セグメンテーション違反 (Segmentation fault) やクラッシュ。
特定のエラーメッセージが出ないが、計算が異常に遅い。

原因

Juliaの Threads.@threads マクロなどを使って並列処理を行っている場合、BLASライブラリが自動的に複数のスレッドを使用しようとすると、過剰なスレッドが生成され、リソースの競合やデッドロックが発生する可能性があります。

トラブルシューティング

@threads との併用
BLASが単一スレッドで動作するように設定すれば、Juliaの Threads.@threads を使って外側のループを並列化することができます。
BLASのスレッド数を制限する
- JuliaのREPLまたはスクリプトの先頭で BLAS.set_num_threads(1) を呼び出し、BLASが単一スレッドで動作するように設定します。
- 環境変数 OPENBLAS_NUM_THREADS=1 または MKL_NUM_THREADS=1 をJulia起動前に設定します（使用しているBLASライブラリによる）。

例

using LinearAlgebra, Base.Threads

# BLASのスレッド数を1に設定
BLAS.set_num_threads(1)

# 大規模な計算を複数回繰り返す
A = zeros(1000, 1000)
x = rand(1000)
y = rand(1000)
alpha = 1.0

@threads for i in 1:10
    # 各スレッドで BLAS.ger! を呼び出すが、BLAS自体は単一スレッドで動作
    BLAS.ger!(alpha, x, y, A)
end
println("Calculation finished.")

引数の順序の間違い

LinearAlgebra.BLAS.ger!() の引数の順序は (alpha, x, y, A) です。間違った順序で引数を渡すと、MethodError や DimensionMismatch など、一見すると原因が分かりにくいエラーが発生することがあります。

関数のシグネチャを再確認し、引数の順序が正しいかを確認します。

ドキュメントを参照する
公式ドキュメントの LinearAlgebra.BLAS.ger! のセクションを参照し、引数の型や意味を再確認します。
@show または println() を使う
変数の値や型、サイズを途中で出力して、期待通りの値になっているか確認します。
- 例: println("size(A): ", size(A))
- 例: println("typeof(x): ", typeof(x))
小さな例で再現する
大規模なコードでエラーが発生した場合、問題の部分だけを切り出して、最小限のコードでエラーが再現するか試します。これにより、問題の原因を絞り込むことができます。
エラーメッセージを注意深く読む
Juliaのエラーメッセージは非常に詳細で、問題の原因を特定するのに役立つ情報（どの関数でエラーが発生したか、期待される型や次元など）が含まれています。

例1：基本的な使い方（実数）

最も基本的なger!()の使い方は、実数（Float64）の行列とベクトルを使用するケースです。

using LinearAlgebra

println("--- 例1：基本的な使い方（実数） ---")

# 1. 行列 A を初期化
# ger! は既存の行列を更新するので、事前にメモリを確保しておく
A = zeros(Float64, 3, 2) # 3行2列のFloat64行列をゼロで初期化

println("初期の A:")
println(A)
# 出力例:
# 初期的な A:
# 3×2 Matrix{Float64}:
#  0.0  0.0
#  0.0  0.0
#  0.0  0.0

# 2. ベクトル x と y を定義
x = [1.0, 2.0, 3.0] # 長さ3の列ベクトル
y = [4.0, 5.0]     # 長さ2の列ベクトル

println("\nx: ", x)
println("y: ", y)

# 3. スカラ alpha を定義
alpha = 2.0

println("\nalpha: ", alpha)

# 4. BLAS.ger! を呼び出して A を更新
# A ← A + alpha * x * y'
# ここで y' は y の転置（行ベクトル）
BLAS.ger!(alpha, x, y, A)

println("\n更新後の A:")
println(A)

# 計算の内訳:
# x * y' = [1.0; 2.0; 3.0] * [4.0 5.0]
#          = [ 1.0*4.0  1.0*5.0 ] = [ 4.0  5.0 ]
#            [ 2.0*4.0  2.0*5.0 ]   [ 8.0 10.0 ]
#            [ 3.0*4.0  3.0*5.0 ]   [12.0 15.0 ]

# alpha * (x * y') = 2.0 * [ 4.0  5.0 ] = [  8.0  10.0 ]
#                        [ 8.0 10.0 ]   [ 16.0  20.0 ]
#                        [12.0 15.0 ]   [ 24.0  30.0 ]

# A_new = A_old + alpha * (x * y')
#       = [0.0 0.0; 0.0 0.0; 0.0 0.0] + [ 8.0  10.0; 16.0  20.0; 24.0  30.0 ]
#       = [ 8.0  10.0; 16.0  20.0; 24.0  30.0 ]

# 期待される出力:
# 更新後の A:
# 3×2 Matrix{Float64}:
#   8.0  10.0
#  16.0  20.0
#  24.0  30.0

例2：複素数での使用

ger!() は複素数でも同様に機能します。

using LinearAlgebra

println("\n--- 例2：複素数での使用 ---")

# 1. 行列 A を複素数型で初期化
A_complex = zeros(ComplexF64, 2, 2) # 2x2のComplexF64行列

println("初期の A_complex:")
println(A_complex)

# 2. 複素数ベクトル x と y を定義
x_complex = [1.0 + 2.0im, 3.0 - 1.0im]
y_complex = [0.5 + 0.5im, 2.0 - 1.0im]

println("\nx_complex: ", x_complex)
println("y_complex: ", y_complex)

# 3. 複素数スカラ alpha を定義
alpha_complex = 1.0 + 1.0im

println("\nalpha_complex: ", alpha_complex)

# 4. BLAS.ger! を呼び出して A_complex を更新
BLAS.ger!(alpha_complex, x_complex, y_complex, A_complex)

println("\n更新後の A_complex:")
println(A_complex)

# 計算は複素数のルールに従って行われる
# x_complex * y_complex' (ここで y_complex' は複素共役転置)
# Julia の BLAS.ger! は FORTRAN の `CGERU` または `ZGERU` に対応し、
# y の転置は「転置」であり「共役転置」ではない点に注意が必要です。
# 通常の線形代数では Hermitian transpose (共役転置) が一般的ですが、
# BLAS の ger (Rank-1 update) は y の転置 (transpose) を使用します。
# 厳密な複素共役転置が必要な場合は、`mul!(A, x, y', alpha, 1)` のように
# `y'` を明示的に転置した上で `LinearAlgebra.mul!` を使用することを検討してください。
# ただし、多くの BLAS 実装では `ger` は非共役転置(`y^T`)を使用します。
# Julia の `BLAS.ger!` は `y^T` を使います。

# y_complex^T = [0.5 + 0.5im, 2.0 - 1.0im]
# x_complex * y_complex^T =
# [ (1+2im)(0.5+0.5im)  (1+2im)(2-1im) ]
# [ (3-1im)(0.5+0.5im)  (3-1im)(2-1im) ]

# (1+2im)(0.5+0.5im) = 0.5+0.5im+im+im^2 = 0.5+1.5im-1 = -0.5+1.5im
# (1+2im)(2-1im) = 2-im+4im-2im^2 = 2+3im+2 = 4+3im
# (3-1im)(0.5+0.5im) = 1.5+1.5im-0.5im-0.5im^2 = 1.5+im+0.5 = 2.0+im
# (3-1im)(2-1im) = 6-3im-2im+im^2 = 6-5im-1 = 5-5im

# Matrix = [ -0.5+1.5im  4.0+3.0im ]
#          [  2.0+1.0im  5.0-5.0im ]

# alpha_complex * Matrix = (1+1im) * Matrix
# (1+1im)(-0.5+1.5im) = -0.5+1.5im-0.5im+1.5im^2 = -0.5+im-1.5 = -2.0+1.0im
# (1+1im)(4.0+3.0im) = 4+3im+4im+3im^2 = 4+7im-3 = 1.0+7.0im
# (1+1im)(2.0+1.0im) = 2+im+2im+im^2 = 2+3im-1 = 1.0+3.0im
# (1+1im)(5.0-5.0im) = 5-5im+5im-5im^2 = 5+5 = 10.0

# Final A_complex:
# [ -2.0+1.0im  1.0+7.0im ]
# [  1.0+3.0im 10.0+0.0im ]

例3：部分配列（View）での使用

ger!() は、元の配列の一部（ビュー）に対しても適用できます。これにより、データのコピーを避け、メモリ効率とパフォーマンスを向上させることができます。

using LinearAlgebra

println("\n--- 例3：部分配列（View）での使用 ---")

# 大きな行列を定義
LargeA = zeros(Float64, 5, 5)

println("初期の LargeA:")
println(LargeA)

# LargeA の左上の 3x2 の部分行列を View として取得
# @views マクロは、後続の配列スライスがビューとして扱われるようにする
@views begin
    sub_A = LargeA[1:3, 1:2]
end

println("\nsub_A (LargeA のビュー):")
println(sub_A) # sub_A は LargeA の一部を指しているため、現在はゼロ

x_sub = [10.0, 20.0, 30.0]
y_sub = [1.0, 2.0]
alpha_sub = 0.5

# sub_A (LargeA の一部) を BLAS.ger! で更新
BLAS.ger!(alpha_sub, x_sub, y_sub, sub_A)

println("\n更新後の sub_A:")
println(sub_A)

println("\n更新後の LargeA (sub_A の変更が反映されている):")
println(LargeA)

# LargeA の左上 3x2 が更新されていることを確認できる
# sub_A と同様の計算結果が LargeA の該当部分に反映される

例4：複数回の `ger!` 呼び出しによる行列の構築

ger!() をループ内で複数回呼び出すことで、行列を徐々に構築したり、特定の目的のために行列を更新したりすることができます。これは、データがストリームで到着する場合などに有用です。

using LinearAlgebra

println("\n--- 例4：複数回の ger! 呼び出しによる行列の構築 ---")

# 初期化された行列
FinalMatrix = zeros(Float64, 4, 3)

println("初期の FinalMatrix:")
println(FinalMatrix)

# 複数回 ger! を適用する
for i in 1:3
    # 毎回異なるベクトルを生成
    x_i = rand(4) # 4次元のランダムベクトル
    y_i = rand(3) # 3次元のランダムベクトル
    alpha_i = rand() # ランダムなスカラー

    println("\n--- Iteration $i ---")
    println("x_$i: ", x_i)
    println("y_$i: ", y_i)
    println("alpha_$i: ", alpha_i)

    # FinalMatrix を更新
    BLAS.ger!(alpha_i, x_i, y_i, FinalMatrix)
    println("Intermediate FinalMatrix:")
    println(FinalMatrix)
end

println("\n最終的な FinalMatrix:")
println(FinalMatrix)

# 各イテレーションで FinalMatrix が少しずつ変更されていく様子がわかる

大規模な計算でger!()を使用する場合、JuliaのマルチスレッドとBLASライブラリ内部のマルチスレッドが競合する可能性があります。これを避けるために、BLASのスレッド数を明示的に設定することが推奨されます。

using LinearAlgebra, Base.Threads
using BenchmarkTools # パフォーマンス測定用

println("\n--- 例5：パフォーマンスの考慮（BLASスレッド設定） ---")

# 大規模な行列とベクトルを準備
N_rows = 2000
N_cols = 1500
A_large = zeros(Float64, N_rows, N_cols)
x_large = rand(N_rows)
y_large = rand(N_cols)
alpha_large = 1.0

# BLASのスレッド数を1に設定（推奨）
# これにより、Juliaの@threadsとBLASの内部スレッドが競合するのを防ぐ
BLAS.set_num_threads(1)
println("BLAS thread count set to: ", BLAS.get_num_threads())

println("\n単一の BLAS.ger! の実行時間:")
@btime BLAS.ger!($alpha_large, $x_large, $y_large, $A_large);

# 複数の ger! 呼び出しを並列実行する場合
# (Julia の `@threads` を使用)
println("\n@threads を使用して複数の BLAS.ger! を並列実行 (BLASスレッドは1):")
results = Vector{Matrix{Float64}}(undef, nthreads())
for i in 1:nthreads()
    results[i] = zeros(Float64, N_rows, N_cols) # 各スレッドで個別の行列を更新する場合
end

@btime begin
    @threads for i in 1:nthreads()
        # ここでは各スレッドが独立した行列を更新する例
        # もし一つの行列を共有して更新する場合は、Atomic operation が必要になる
        # (ger! 自体はアトミックではないので、並列書き込みは危険)
        BLAS.ger!($alpha_large, $x_large, $y_large, results[i])
    end
end setup=(x_large=rand(N_rows); y_large=rand(N_cols))

# 注：一つの行列を複数のスレッドで同時に更新する場合 (in-place operation) は、
# BLAS.ger! はスレッドセーフではありません。
# その場合は、ロック機構を導入するか、`mul!` など別の方法を検討する必要があります。
# 上記の例では、各スレッドが異なる `results[i]` を更新することでスレッドセーフ性を確保しています。
# 共有された一つの行列 `A_large` を更新するなら、ループを並列化するのではなく、
# `BLAS.ger!` そのものがマルチスレッドで動作するよう設定（ただし、その場合はBLASの内部実装に依存）
# または、ループの各反復で独立した操作を行い、最後に結果を結合する必要があります。

LinearAlgebra.mul! を使用する方法

LinearAlgebra.mul! は、行列の乗算と加算を組み合わせた汎用的な関数で、BLASの gemm (General Matrix Multiply) や ger といった低レベルルーチンを効率的にラップしています。ger!() と同じ計算を行う最も推奨される代替手段の一つです。

形式
mul!(C, A, B, alpha, beta) は C←αAB+βC を計算します。

ger!() の A←A+α⋅xyT を実現するには、A を C と beta C の両方に、x を A に、y' を B に、そして alpha を alpha に対応させます。beta は 1.0 に設定します。

using LinearAlgebra

println("--- 1. LinearAlgebra.mul! を使用する方法 ---")

A_mul = zeros(Float64, 3, 2)
x = [1.0, 2.0, 3.0]
y = [4.0, 5.0]
alpha = 2.0

println("初期の A_mul:")
println(A_mul)

# BLAS.ger!(alpha, x, y, A_mul) と同じ結果になる
# mul!(C, A, B, alpha, beta) は C ← alpha * A * B + beta * C を計算
# ここでは A_mul ← alpha * x * y' + 1.0 * A_mul
mul!(A_mul, x, y', alpha, 1.0) # y' は y の転置を表す

println("\nmul! で更新後の A_mul:")
println(A_mul)

# A_mul =
# [ 8.0  10.0 ]
# [ 16.0 20.0 ]
# [ 24.0 30.0 ]

利点

より汎用的なインターフェースなので、様々な行列積の計算に応用できます。
ger!() と同様に、**インプレース（in-place）**で計算が行われるため、メモリの割り当てが最小限に抑えられます。
BLASに基づいているため、非常に高いパフォーマンスが期待できます。

欠点

ger!() よりも引数の数が多いです。

外積と加算を直接記述する方法

数学的な定義通りに、外積を計算してから行列に加算する方法です。この方法は非常に直感的ですが、通常はBLAS.ger!()やmul!に比べてパフォーマンスが劣ります。

using LinearAlgebra

println("\n--- 2. 外積と加算を直接記述する方法 ---")

A_direct = zeros(Float64, 3, 2)
x = [1.0, 2.0, 3.0]
y = [4.0, 5.0]
alpha = 2.0

println("初期の A_direct:")
println(A_direct)

# 外積を計算 (x * y')
outer_product = x * y'

# スカラ倍して加算
A_direct .= A_direct .+ alpha .* outer_product # .= はブロードキャスト代入（インプレース）

println("\n直接計算で更新後の A_direct:")
println(A_direct)

利点

コードが非常に読みやすく、直感的です。数学的な表現に近いです。

欠点

BLASルーチンほどパフォーマンスが最適化されていません。特に大規模な計算では顕著な差が出ます。
x * y' の部分で一時的な中間行列（outer_product）が割り当てられるため、大規模なベクトルではメモリ使用量が多くなり、ガベージコレクションのオーバーヘッドが発生する可能性があります。

最も低レベルな方法で、計算をループで明示的に記述します。教育目的や、BLASの最適化が利用できない特定のニッチなケース（例えば、非常に特殊なデータ型など）を除いて、通常は推奨されません。

println("\n--- 3. ループを使って手動で実装する方法 ---")

A_loop = zeros(Float64, 3, 2)
x = [1.0, 2.0, 3.0]
y = [4.0, 5.0]
alpha = 2.0

println("初期の A_loop:")
println(A_loop)

m = length(x) # 行数
n = length(y) # 列数

for j in 1:n
    for i in 1:m
        A_loop[i, j] += alpha * x[i] * y[j]
    end
end

println("\nループで更新後の A_loop:")
println(A_loop)

利点

中間メモリの割り当てがありません。
計算の仕組みを完全に制御できます。

インデックスの管理が必要になるため、バグを導入しやすいです。
コードが冗長になり、可読性が低下します。
パフォーマンスは通常最も低いです。JuliaのJITコンパイラは非常に優れていますが、BLASルーチンはCやFortranで書かれ、CPUのSIMD命令やキャッシュなどを最大限に活用するように手動で最適化されています。

方法	パフォーマンス	メモリ使用量	可読性	推奨度
`LinearAlgebra.BLAS.ger!()`	高い	少ない (インプレース)	中	推奨：最も効率的で、この用途に特化している
`LinearAlgebra.mul!(C, x, y', alpha, 1.0)`	高い	少ない (インプレース)	中	推奨：`ger!`の代替として非常に優れている
`A .= A .+ alpha .* x * y'`	中程度	多い (一時行列)	高い	簡潔なコードが必要で、パフォーマンスが重要でない場合
ループによる手動実装	低い	少ない (インプレース)	低い	非推奨：特殊なケース以外は避けるべき

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Julia プログラミング言語における kron() 関数は、クロネッカー積 (Kronecker product) を計算するために使用されます。クロネッカー積は、2つの行列（またはベクトル）から新しい大きな行列を作成する演算です。行列 A が m×n 行列、行列 B が p×q 行列である場合、それらのクロネッカー積 A⊗B は mp×nq 行列になります。

Juliaプログラミング：`kron!()`の破壊的挙動とベストプラクティス

Julia プログラミング言語における kron!() は、通常、クロネッカー積を計算する関数 kron() を指していると考えられますが、感嘆符 ! が付いているため、破壊的（in-place）な操作を示唆している可能性があります。Juliaでは、関数名の最後に ! を付ける慣例があり、これはその関数が引数として渡されたオブジェクトを直接変更する（破壊的な操作を行う）ことを示します。もし kron! のような関数が存在する場合、それはおそらく、計算結果を新しい配列として返すのではなく、既存の配列（おそらく引数として渡されたものの一つ）を上書きしてクロネッカー積の結果を格納する、という意味合いになります。

JuliaのBLAS.ger!を徹底解説：高速なランク1更新で線形代数計算を最適化

ger! の意味

ger!() が行う計算

使用例

次元不一致 (Dimension Mismatch)

型の不一致 (Type Mismatch)

スレッドの問題 (Multithreading Issues)

引数の順序の間違い

例1：基本的な使い方（実数）

例2：複素数での使用

例3：部分配列（View）での使用

例4：複数回の ger! 呼び出しによる行列の構築

LinearAlgebra.mul! を使用する方法

外積と加算を直接記述する方法

`ger!` の意味

`ger!()` が行う計算

例4：複数回の `ger!` 呼び出しによる行列の構築