Juliaのldlt()徹底ガイド：基本から応用、そしてトラブルシューティング

2025-04-26

LinearAlgebra.ldlt() 関数は、与えられた行列のLDLᵀ分解（またはLDLt分解）を計算します。これは、正方行列 A を下三角行列 L、対角行列 D、そしてLの転置行列 Lᵀ（または複素共役転置行列 Lt）の積に分解するものです。

数式で表すと、以下のようになります。

複素数行列の場合
A = LDLt
実数行列の場合
A = LDLᵀ

ここで、

Lᵀ (Lt)
L の転置行列（または複素共役転置行列）
D
対角行列
L
対角成分がすべて1である下三角行列

LDLᵀ分解は、行列が正定値または半正定値である場合に特に有用です。なぜなら、この分解は一意であり、計算効率が良いからです。

LinearAlgebra.ldlt() の主な特徴と利点：

様々な応用
線形方程式系の求解、逆行列の計算、行列式の計算、固有値問題など、様々な計算に応用できます。
メモリ効率
分解された L, D, Lᵀ (Lt) の要素は、元の行列 A のメモリ領域を共有することができ、メモリ効率が良い場合があります。（ただし、ldlt! のように in-place な関数もあります。）
高速な計算
LDLᵀ分解は、LU分解に比べて計算量が少なく、特に正定値行列に対しては効率的に計算できます。
正定値行列に特化
ldlt() は、入力行列が正定値であると仮定します。もし正定値でない行列を与えると、エラーが発生するか、予期しない結果になる可能性があります。正定値性を確認してから使うことを推奨します。

LinearAlgebra.ldlt() の使い方

using LinearAlgebra

# 正定値行列の例
A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0]

# LDLᵀ分解を実行
F = ldlt(A)

# 分解された L, D, Lᵀ (Lt) を取得
L = F.L
D = F.D
Lt = F.U  # F.U は Lᵀ (Lt) を表す

# 分解結果を確認
println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("Lt = \n", Lt)

# 元の行列 A を復元できることを確認
A_reconstructed = L * D * Lt
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)

# 線形方程式 Ax = b を解く例
b = [1.0, 2.0, 3.0]
x = F \ b  # LDLᵀ分解を使って x を計算 (A\b と同じ)
println("x = \n", x)


# 非正定値行列の例 (エラーになる場合がある)
B = [1.0 2.0; 2.0 1.0] # 正定値ではない
# ldlt(B) # エラーが発生する可能性がある。正定値性を確認してから使うこと。

上記コード例では、ldlt(A) で行列 A のLDLᵀ分解を実行し、F.L、F.D、F.U でそれぞれ L、D、Lᵀ (Lt) を取得しています。また、F \ b で線形方程式 Ax = b を効率的に解く方法も示しています。

ldlt! のように、行列を直接変更する in-place な関数も存在します。必要に応じて使い分けましょう。

LinearAlgebra.ldlt() は、行列が正定値であるという前提で動作します。したがって、最も一般的なエラーは、入力行列が正定値でない場合に発生します。

入力行列が正定値でない

トラブルシューティング
- 正定値性の確認
  isposdef(A) 関数を使って、行列 A が正定値かどうかを確認します。
- 他の分解方法の検討
  行列が正定値でない場合は、LU分解 (lu())、QR分解 (qr())、特異値分解 (svd()) など、他の分解方法を検討してください。これらの分解は、正定値性を持たない行列にも適用できます。
- 誤差の考慮
  浮動小数点演算の誤差により、理論上は正定値である行列でも、わずかな負の固有値を持つと判定されることがあります。許容誤差範囲内で負の固有値を無視できる場合は、chol(A, check=false) のように check=false オプションを使用することもできますが、注意が必要です。基本的には、正定値性を確認してから使うべきです。
- 対称性の確認
  ldlt は対称行列に対して効率的に動作します。もし行列が対称に近いが完全にそうでない場合、わずかな非対称性が原因で正定値性が失われている可能性があります。この場合、(A + A')/2 などで対称化を試みることも有効かもしれません。
原因
行列が正定値でない（半正定値、不定値、または負定値）可能性があります。
エラーメッセージの例
PosDefException: matrix is not positive definite; cholesky factorization failed. または、他のエラーメッセージでも、コレスキー分解（LDLᵀ分解と密接に関連する）が失敗したことが示されている場合があります。

型に関するエラー

トラブルシューティング
- 型の確認
  typeof(A) で入力行列 A の型を確認します。
- 適切な型への変換
  必要であれば、Matrix{Float64}(A) のように、適切な型に変換します。
原因
入力行列の型が ldlt() で扱える型でない可能性があります。
エラーメッセージの例
MethodError: no method matching ldlt!(...) など、型に関するエラーが表示されることがあります。

サイズに関するエラー

トラブルシューティング
- 行列のサイズの確認
  size(A) で入力行列 A のサイズを確認します。
- 正方行列であることの確認
  入力行列が正方行列であることを確認します。
原因
入力行列のサイズが正方行列でない可能性があります。 ldlt() は正方行列に対してのみ適用可能です。
エラーメッセージの例
DimensionMismatch など、行列のサイズに関するエラーが表示されることがあります。

数値的な問題

トラブルシューティング
- 条件数の確認
  cond(A) で入力行列 A の条件数を確認します。条件数が大きい場合は、数値的に不安定な可能性があります。
- 正則化
  必要であれば、A + λ*I (λ は小さな正の数、I は単位行列) のように、行列に小さな値を加えて正則化を試みることもありますが、結果の解釈には注意が必要です。
原因
入力行列が特異に近い（条件数が大きい）場合、数値計算上の問題が発生し、LDLᵀ分解が失敗することがあります。
エラーメッセージの例
SingularException など、行列が特異に近い場合に発生するエラーが表示されることがあります。

ドキュメントを参照
Julia のドキュメント (?ldlt) やオンラインコミュニティで情報を探します。
Julia のバージョンを確認
古いバージョンの Julia を使用している場合、バグが修正されている可能性があります。最新バージョンにアップデートすることを検討してください。
最小限のコードで再現
問題を再現する最小限のコードを作成し、それを共有することで、他の人に助けを求めやすくなります。
エラーメッセージをよく読む
エラーメッセージには、問題の原因に関するヒントが含まれていることが多いです。

基本的な LDLᵀ 分解

using LinearAlgebra

# 正定値行列の例
A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0]

# LDLᵀ分解を実行
F = ldlt(A)

# 分解された L, D, Lᵀ を取得
L = F.L
D = F.D
Lt = F.U  # F.U は Lᵀ を表す

# 結果の確認
println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("Lᵀ = \n", Lt)

# 元の行列 A を復元できることを確認
A_reconstructed = L * D * Lt
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)

# isapprox でより厳密な比較
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

この例では、正定値行列 A に対して ldlt() を適用し、L, D, Lᵀ を取得しています。F.U が Lᵀ に相当することに注意してください。isapprox() を使うことで、浮動小数点数の誤差を考慮した比較ができます。

線形方程式系の求解

using LinearAlgebra

A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0]
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# LDLᵀ分解
F = ldlt(A)

# 線形方程式 Ax = b を解く
x = F \ b  # A\b と同じ

println("x = \n", x)

# 解の検証
println("A*x ≈ b: ", isapprox(A * x, b)) # true

ldlt() で得られた F を使って、線形方程式 Ax = b を効率的に解くことができます。\ 演算子は、LDLᵀ分解を利用して解を計算します。

行列式の計算

using LinearAlgebra

A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0]

# LDLᵀ分解
F = ldlt(A)

# 行列式を計算 (det(A) = det(L)*det(D)*det(Lᵀ) = det(D)  LとLᵀの行列式は1)
det_A = prod(diag(F.D)) # F.Dの対角成分の積

println("det(A) = ", det_A)

# 直接計算
println("det(A) = ", det(A)) # 確認用

ldlt() 分解を用いると、行列式を効率的に計算できます。det(A) = det(D) であることを利用します。

複素数行列への適用

using LinearAlgebra

A = [ComplexF64(4.0, 0.0) ComplexF64(12.0, 1.0) ComplexF64(-16.0, -2.0);
     ComplexF64(12.0, -1.0) ComplexF64(37.0, 0.0) ComplexF64(-43.0, 3.0);
     ComplexF64(-16.0, 2.0) ComplexF64(-43.0, -3.0) ComplexF64(98.0, 0.0)]

F = ldlt(A)

L = F.L
D = F.D
Lt = F.U # 複素共役転置

println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("Lt = \n", Lt)

A_reconstructed = L * D * Lt
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)

println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

複素数行列に対しても同様に ldlt() を適用できます。この場合、F.U は L の複素共役転置行列 (Lt) になります。

using LinearAlgebra

A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0]
A_copy = copy(A) # Aをコピー

F = ldlt!(A_copy) # A_copyが分解され上書きされる

L = F.L
D = F.D
Lt = F.U

println("L = \n", L)
println("D = \n", D)
println("Lt = \n", Lt)

println("A_copy (分解後) = \n", A_copy) # A_copyの内容が変化している

A_reconstructed = L * D * Lt
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)

println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

println("A (オリジナル) = \n", A) # オリジナルのAは変化していない

正定値行列ではない場合

ldlt() は、入力行列が正定値であることを前提としています。もし行列が正定値でない場合は、他の分解方法を検討する必要があります。

LU 分解 (lu())
正方行列に対して適用可能で、正定値である必要はありません。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 2.0 1.0] # 正定値ではない例

F = lu(A)

L = F.L
U = F.U
P = F.P # Permutation matrix

println("L = \n", L)
println("U = \n", U)
println("P = \n", P)

A_reconstructed = P * L * U
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

x = F \ b # 線形方程式 Ax = b を解く

QR 分解 (qr())
任意の行列に対して適用可能で、正方行列である必要もありません。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 2.0 1.0]

F = qr(A)

Q = F.Q
R = F.R

println("Q = \n", Q)
println("R = \n", R)

A_reconstructed = Q * R
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

特異値分解 (svd())
任意の行列に対して適用可能で、行列の特異値を計算します。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 2.0 1.0]

F = svd(A)

U = F.U
S = F.S # 特異値
Vt = F.Vt

println("U = \n", U)
println("S = \n", S)
println("Vt = \n", Vt)

A_reconstructed = U * Diagonal(S) * Vt
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

対称行列の場合 (正定値とは限らない)

行列が対称であることが分かっている場合は、固有値分解 (eigen()) を利用できます。

using LinearAlgebra

A = [1.0 2.0; 2.0 1.0] # 対称行列

F = eigen(A)

values = F.values # 固有値
vectors = F.vectors # 固有ベクトル

println("固有値 = \n", values)
println("固有ベクトル = \n", vectors)

A_reconstructed = vectors * Diagonal(values) * transpose(vectors) # A = V*Λ*Vᵀ
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

コレスキー分解 (cholesky())

行列が正定値である場合に、ldlt() の代わりに cholesky() を使うこともできます。 cholesky() は A = LLᵀ (またはA = LLt) の分解を計算します。 ldlt() と似ていますが、D が対角行列ではなく、Lの対角成分が1である必要もありません。

using LinearAlgebra

A = [4.0 12.0 -16.0; 12.0 37.0 -43.0; -16.0 -43.0 98.0] # 正定値行列

C = cholesky(A)

L = C.L

println("L = \n", L)

A_reconstructed = L * transpose(L)
println("A_reconstructed = \n", A_reconstructed)
println("A ≈ A_reconstructed: ", isapprox(A, A_reconstructed)) # true

大規模な疎行列の場合

行列が大規模な疎行列である場合は、ldlt() を直接適用するとメモリ効率が悪くなることがあります。この場合は、SparseArrays パッケージの ldlt() を使用するか、他の適切な疎行列ソルバーを検討する必要があります。

using SparseArrays, LinearAlgebra

# 例: 疎行列 A を作成
n = 1000
A = spzeros(n, n)
# ... A に値を設定 ...

F = ldlt(A) # SparseArrays の ldlt を使う

# ...