Julia 線形代数 LAPACK sytrs! 関数の解説とプログラミング例

2025-05-16

関数の役割

sytrs!() の主な役割は、以下の形式の連立一次方程式を解くことです。

AX=B

ここで、A は実対称行列であり、sptrf! 関数によって上三角または下三角に分解され、ピボット情報が保存されています。X は解きたい未知の行列（またはベクトル）、そして B は与えられた右辺の行列（またはベクトル）です。

関数の引数

sytrs!() 関数は通常、以下の引数を取ります。

uplo::Char: 行列 A のどの部分（上三角 'U' または下三角 'L'）が A の分解結果として保存されているかを指定します。sptrf! 関数に渡した 'U' または 'L' と一致させる必要があります。
A::AbstractMatrix{<:BlasReal}: sptrf! 関数によって分解された実対称行列の情報を含む行列です。分解の結果が上書きされているため、元の行列 A とは内容が異なります。
ipiv::AbstractVector{<:Integer}: sptrf! 関数によって計算されたピボットインデックスのベクトルです。
B::AbstractMatrix{<:BlasReal}: 連立一次方程式の右辺を表す行列（またはベクトル）。解 X で上書きされます。

処理の流れ

sytrs!() 関数は、以下の手順で連立一次方程式を解きます。

ピボット操作の適用
ipiv ベクトルに基づいて、B の行（または要素）を入れ替えます。これは、sptrf! で行われたピボット操作と対応させるためです。
三角方程式の求解
分解された行列（上三角または下三角）を利用して、AX=B を順次解きます。前進代入と後退代入のプロセスが含まれます。

重要な点

この関数は、LAPACK の効率的なルーチンを利用しているため、大規模な線形システムに対しても高速な計算が期待できます。
sytrs!() は、与えられた右辺 B を解 X で上書きします。元の B の内容を保持したい場合は、事前にコピーを作成する必要があります。
sytrs!() を使用する前に、必ず同じ行列 A に対して sptrf! 関数を呼び出し、分解とピボット情報を計算しておく必要があります。

使用例

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺ベクトル b
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# A を上三角で分解し、ピボット情報を得る
F = factorize(Symmetric(A, :U))
sptrf_result = LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('U', F.data)
S = sptrf_result[1] # 分解された行列（上三角部分と対角要素）
ipiv = sptrf_result[2] # ピボットインデックス

# 右辺ベクトル b を解 x で上書きする形で連立一次方程式を解く
x = copy(b)
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('U', S, ipiv, x)

println("解 x: ", x)

# 検算
println("A * x: ", A * x)

この例では、まず実対称行列 A を factorize(Symmetric(A, :U)) を用いて分解しています。内部的には sptrf! が呼ばれ、分解された行列とピボット情報が F に格納されます。その後、LinearAlgebra.LAPACK.sytrs! を用いて、分解された行列 S、ピボットインデックス ipiv、そして右辺ベクトル x を渡すことで、連立一次方程式の解が x に上書きされます。

よくあるエラーとトラブルシューティング

- エラー
  sytrs!() に渡す uplo 引数が、sptrf!() で指定した uplo と異なる場合に、誤った結果が出力されたり、予期しないエラーが発生したりする可能性があります。
- 原因
  sptrf!() で上三角 ('U') で分解したにもかかわらず、sytrs!() で下三角 ('L') を指定したり、その逆の場合に起こります。
- トラブルシューティング
  - sptrf!() を呼び出す際に使用した uplo の値を記録しておき、sytrs!() に同じ値を渡しているか確認してください。
  - 分解 (sptrf!) の際にどちらの三角部分を使ったか不明な場合は、コードを見直して確認してください。
ピボットインデックス (ipiv) の誤り
- エラー
  sytrs!() に渡す ipiv ベクトルが、対応する行列 A に対して sptrf!() によって計算されたものではない場合、不正なメモリアクセスや誤った結果が生じる可能性があります。
- 原因
  - 異なる行列の分解によって得られた ipiv を使用している。
  - ipiv ベクトルが途中で変更されている。
  - sptrf!() の戻り値から正しく ipiv を取得していない。
- トラブルシューティング
  - sptrf!() の戻り値の2番目の要素として得られた ipiv を、そのまま sytrs!() に渡しているか確認してください。
  - ipiv ベクトルが、sytrs!() を呼び出すまでの間に意図せず変更されていないか確認してください。
  - sptrf!() を再度実行し、その直後の ipiv を使用して sytrs!() を呼び出すようにしてみてください。
行列やベクトルの次元の不一致
- エラー
  sytrs!() に渡す行列 A（分解されたもの）と右辺 B（またはベクトル b）の次元が、連立一次方程式の解法として適切でない場合にエラーが発生することがあります。
- 原因
  - 行列 A が n×n であるのに対し、右辺 B の行数が n でない場合。
  - 右辺がベクトルの場合、その長さが n でない場合。
- トラブルシューティング
  - 行列 A の次元と右辺 B の次元（またはベクトルの長さ）が、連立一次方程式 AX=B の形式に合致しているか確認してください。特に、B の最初の次元（行数）は A の次元と一致する必要があります。
引数の型の不一致
- エラー
  sytrs!() は、実数型の要素を持つ AbstractMatrix{<:BlasReal} 型の行列と、整数型の要素を持つ AbstractVector{<:Integer} 型のピボットインデックスを期待します。異なる型を渡すと、メソッドエラーが発生します。
- 原因
  - 複素数型の行列を渡している。
  - ピボットインデックスのベクトルが整数型 (Int64 など) ではない。
- トラブルシューティング
  - 入力行列 A と右辺 B（またはベクトル b）の要素が実数型であることを確認してください。必要であれば、real() 関数などで実数に変換してください。
  - ピボットインデックス ipiv の要素が整数型であることを確認してください。eltype(ipiv) で要素の型を確認できます。もし異なる型であれば、convert(Vector{Int64}, ipiv) などで明示的に変換してください。
sptrf!() の失敗
- エラー
  sptrf!() 自体が、与えられた行列が正定値でないなどの理由で分解に失敗することがあります。この場合、sytrs!() に渡す分解結果やピボット情報が無効である可能性があり、予期しないエラーを引き起こすことがあります。
- 原因
  - 行列 A が特異であるか、数値的に不安定である。
  - 行列 A が正定値でない（sptrf! は対称正定値行列に対して安定した結果を提供します）。
- トラブルシューティング
  - sptrf!() の戻り値を確認し、分解が成功したかどうかを示す情報を確認してください（LAPACK のエラーコードが返されることがあります）。
  - 行列 A の条件数を確認し、数値的に不安定でないか評価してください。
  - 問題の背景にある数学的な性質を再検討し、行列 A が連立一次方程式の解法に適しているか確認してください。

一般的なトラブルシューティングのヒント

公式ドキュメントを参照する
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs! の公式ドキュメントには、関数の詳細な説明や注意点が記載されています。
Julia のバージョンとライブラリのバージョンを確認する
古いバージョンの Julia やライブラリを使用している場合、既知のバグに遭遇する可能性があります。最新バージョンにアップデートしてみることも有効な場合があります。
簡単な例で試す
問題が複雑な場合に、より小さな簡単な行列とベクトルでコードを試してみて、基本的な動作が正しいか確認すると良いでしょう。
関連する変数の型と値を確認する
typeof() 関数や println() を使って、sytrs!() に渡している引数の型や値が期待通りであるか確認してください。
エラーメッセージを внимательно に読む
Julia のエラーメッセージは、問題の原因に関する貴重な情報を提供してくれます。

例1: 基本的な連立一次方程式の求解 (ベクトル右辺)

この例では、実対称行列 A と右辺ベクトル b を用意し、sptrf!() で A を分解した後、sytrs!() を用いて連立一次方程式 Ax=b を解きます。

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺ベクトル b
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# A を上三角で分解し、ピボット情報を得る
F = factorize(Symmetric(A, :U)) # Symmetric 型で明示的に対称性を示す
sptrf_result = LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('U', F.data)
S = sptrf_result[1] # 分解された行列（上三角部分と対角要素）
ipiv = sptrf_result[2] # ピボットインデックス

# 右辺ベクトル b をコピーして、解 x を格納する変数を用意
x = copy(b)

# sytrs!() を用いて連立一次方程式を解く (x に解が上書きされる)
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('U', S, ipiv, x)

println("解 x: ", x)

# 検算: A * x が b に近いか確認
println("A * x: ", A * x)
println("b: ", b)

解説

using LinearAlgebra: 線形代数関連の関数を使用するためにロードします。
A と b: 解きたい連立一次方程式の係数行列と右辺ベクトルを定義します。A は実対称行列です。
factorize(Symmetric(A, :U)): Symmetric 型を使って A が対称行列であることを明示し、上三角部分を使って分解するためのファクタライゼーションオブジェクトを作成します。内部的には sptrf! が呼び出されます。
LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('U', F.data): factorize の結果から分解された行列データ (F.data) を取り出し、LAPACK の sptrf! 関数を直接呼び出して上三角分解を実行します。戻り値として、分解された行列（上三角部分と対角要素が格納された行列） S とピボットインデックスのベクトル ipiv を受け取ります。! が末尾についている関数は、通常、引数の値を上書きすることに注意してください。
x = copy(b): 右辺ベクトル b のコピーを作成し、これを解を格納するための変数 x とします。sytrs!() は x を解で上書きするため、元の b を保持したい場合はコピーが必要です。
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('U', S, ipiv, x): LAPACK の sytrs! 関数を呼び出し、以下の引数を渡します。
- 'U': sptrf! で上三角部分を使って分解したことを指定します。
- S: sptrf! によって得られた分解済み行列。
- ipiv: sptrf! によって得られたピボットインデックスベクトル。
- x: 右辺ベクトル（であり、この関数呼び出し後に解で上書きされます）。
println("解 x: ", x): 計算された解 x を出力します。
println("A * x: ", A * x) と println("b: ", b): 検算として、Ax を計算し、元の右辺ベクトル b と比較します。数値的な誤差により完全に一致しない場合があります。

例2: 複数の右辺ベクトルを持つ連立一次方程式の求解 (行列右辺)

右辺が複数のベクトルを列として持つ行列 B である場合、AX=B のように複数の連立一次方程式を同時に解くことができます。

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A (例1と同じ)
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺行列 B (2つの右辺ベクトルを持つ)
B = [1.0 4.0;
     2.0 5.0;
     3.0 6.0]

# A を上三角で分解し、ピボット情報を得る (例1と同じ)
F = factorize(Symmetric(A, :U))
sptrf_result = LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('U', F.data)
S = sptrf_result[1]
ipiv = sptrf_result[2]

# 右辺行列 B をコピーして、解行列 X を格納する変数を用意
X = copy(B)

# sytrs!() を用いて連立一次方程式を解く (X に解行列が上書きされる)
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('U', S, ipiv, X)

println("解行列 X: ", X)

# 検算: A * X が B に近いか確認
println("A * X: ", A * X)
println("B: ", B)

解説

この例は、右辺がベクトル b ではなく行列 B になっている点を除いて、例1とほぼ同じです。sytrs!() は、B の各列をそれぞれ右辺ベクトルとする連立一次方程式を解き、その解を X の対応する列に上書きします。

例3: 下三角分解を使用する場合

行列 A を下三角で分解した場合 (sptrf!('L', ...)) は、sytrs!() の uplo 引数にも 'L' を指定する必要があります。

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A (例1と同じ)
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺ベクトル b (例1と同じ)
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# A を下三角で分解し、ピボット情報を得る
F = factorize(Symmetric(A, :L)) # 下三角分解を指定
sptrf_result = LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('L', F.data) # 'L' を指定
S_lower = sptrf_result[1]
ipiv_lower = sptrf_result[2]

# 右辺ベクトル b をコピー
x_lower = copy(b)

# sytrs!() を用いて連立一次方程式を解く ('L' を指定)
LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('L', S_lower, ipiv_lower, x_lower) # 'L' を指定

println("下三角分解による解 x_lower: ", x_lower)

# 検算
println("A * x_lower: ", A * x_lower)
println("b: ", b)

解説

この例では、factorize(Symmetric(A, :L)) と LinearAlgebra.LAPACK.sptrf!('L', F.data) によって下三角分解を行っています。対応して、LinearAlgebra.LAPACK.sytrs!('L', S_lower, ipiv_lower, x_lower) の uplo 引数にも 'L' を指定している点に注意してください。上三角で分解した場合と下三角で分解した場合でも、数学的な解は（数値的な誤差を除いて）同じになるはずです。

直接的な因数分解 (factorize) と逆行列の利用 (一般の行列にも適用可能)

実対称行列 A が正則であれば、その逆行列 A−1 を計算し、x=A−1b によって解を求めることができます。Julia の LinearAlgebra パッケージでは、factorize() 関数を使って行列の分解（LU分解、Cholesky分解など）を行い、その後、分解されたオブジェクトを使って逆行列を計算したり、直接解を求めたりできます。

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A (正定値である必要があります)
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺ベクトル b
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# Cholesky 分解 (対称正定値行列に対して効率的)
try
    F = cholesky(A)
    x_chol = F \ b # バックスラッシュ演算子で解を求める
    println("Cholesky分解による解 x_chol: ", x_chol)
catch e
    if isa(e, PosDefException)
        println("行列 A は正定値ではありません。他の方法を検討してください。")
    else
        throw(e)
    end
end

# LU 分解 (一般の正方行列に適用可能)
F_lu = lu(A)
x_lu = F_lu \ b
println("LU分解による解 x_lu: ", x_lu)

# 逆行列の計算 (計算コストが高い場合がある)
A_inv = inv(A)
x_inv = A_inv * b
println("逆行列による解 x_inv: ", x_inv)

解説

inv(A): 行列 A の逆行列を計算します。その後、逆行列と右辺ベクトルを乗算して解を求めます。逆行列の計算は一般的に計算コストが高くなるため、大規模な問題では \ 演算子を使う方が効率的です。
lu(A): 行列 A の LU 分解を行います。これも分解されたオブジェクト F_lu を使ってバックスラッシュ演算子で解を求められます。LU分解は、必ずしも正定値である必要のない一般的な正方行列に適用できます。
cholesky(A): 行列 A が対称正定値である場合に、Cholesky 分解を行います。分解されたオブジェクト F を使って、バックスラッシュ演算子 \ で効率的に Ax=b の解を求めることができます。

バックスラッシュ演算子 (\)

Julia のバックスラッシュ演算子 \ は、線形方程式系を解くための高レベルで便利な方法です。行列の性質（対称性、正定値性など）に応じて、適切な解法（Cholesky分解、LU分解など）を自動的に選択して実行します。

using LinearAlgebra

# 実対称行列 A
A = [4.0 1.0 2.0;
     1.0 5.0 3.0;
     2.0 3.0 6.0]

# 右辺ベクトル b
b = [1.0, 2.0, 3.0]

# バックスラッシュ演算子で直接解く
x_backslash = A \ b
println("バックスラッシュ演算子による解 x_backslash: ", x_backslash)

解説

A \ b: この一行で、Julia は行列 A の性質を自動的に判断し、適切な解法（例えば、A が対称正定値であれば Cholesky 分解、そうでなければ LU 分解など）を用いて連立一次方程式 Ax=b の解を計算します。これは、多くの場合、最も簡潔で推奨される方法です。

反復法

大規模な疎行列に対しては、直接法（因数分解など）よりも反復法が効率的な場合があります。Julia の IterativeSolvers パッケージには、共役勾配法 (Conjugate Gradient method) など、対称正定値行列に特化した反復法が含まれています。

using IterativeSolvers
using LinearAlgebra

# 大きな疎な対称正定値行列 A (ここでは小さい密な行列で例示)
A = [10.0 -1.0 0.0;
     -1.0 10.0 -1.0;
     0.0 -1.0 10.0]

# 右辺ベクトル b
b = [9.0, 8.0, 9.0]

# 共役勾配法 (A が対称正定値である必要がある)
x_cg, history = cg(A, b; maxiter=100, tol=1e-6)
println("共役勾配法による解 x_cg: ", x_cg)
println("反復回数: ", length(history.residuals))

解説

cg(A, b; ...): 共役勾配法を用いて Ax=b の解を近似的に求めます。maxiter は最大反復回数、tol は収束判定の許容誤差です。この方法は、行列 A が対称正定値である必要があります。
using IterativeSolvers: 反復解法のためのパッケージをロードします。

反復法
大規模な疎行列に対して有効であり、メモリ使用量を抑えることができます。ただし、収束までに時間がかかる場合や、行列の性質によっては収束しないことがあります。
factorize() と \ 演算子
これらはより高レベルなインターフェースを提供し、行列の性質に応じて適切な解法を自動的に選択します。多くの場合、簡潔で使いやすいですが、特定の分解方法を明示的に制御したい場合や、分解結果を再利用したい場合には sptrf! と sytrs! の組み合わせが有利です。
sytrs!() の利点
事前に sptrf!() で分解しておけば、複数の右辺ベクトルに対して非常に効率的に解を求めることができます。LAPACK の高度に最適化されたルーチンを利用しているため、パフォーマンスが高いです。